Na ilustracji przedstawiono tablicę, na której zapisano n:agłówek: Własności działań na potęgach. Poniżej rozpatrzono pięć przypadków. Pierwszy przyadek: Dla $a>0$, $x\in \mathrm{ℝ}$, $y\in \mathrm{ℝ}$ mamy: $a^x·a^y=a^{x+y}$.
Przykłady

1.

$7^{10}·7^{-8}=7^{10+\left(-8\right)}=7^2=49$

2.

$3^{2-\sqrt{2}}·3^{\sqrt{2}}=3^{2-\sqrt{2}+\sqrt{2}}=$
$=3^2=9$ Przypadek drugi: Dla $a>0$, $x\in \mathrm{ℝ}$, $y\in \mathrm{ℝ}$ mamy: $a^x:a^y=a^{x-y}$.
Przykłady

1.

$5^8:5^5=5^{8-5}=5^3=125$

2.

$6^{\sqrt{2}}:6^{\sqrt{2}+1}=6^{\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}+1\right)}=$
$=6^{-1}=\frac{1}{6}$ Przypadek trzeci: Dla $a>0$, $b>0$, $x\in \mathrm{ℝ}$ mamy: $a^x·b^x={\left(a·b\right)}^x$.
Przykłady

1.

${32}^{\frac{3}{2}}·{\left(\frac{1}{8}\right)}^{\frac{3}{2}}={\left(32·\frac{1}{8}\right)}^{\frac{3}{2}}=$
$=4^{\frac{3}{2}}={\left(\sqrt{4}\right)}^3=2^3=8$

2.

$7^{\frac{2}{3}}·{49}^{\frac{2}{3}}={\left(7·49\right)}^{\frac{2}{3}}={343}^{\frac{2}{3}}=$
$={\left(\sqrt[3]{343}\right)}^2=7^2=49$ Przypadek czwarty: Dla $a>0$, $b>0$, $x\in \mathrm{ℝ}$ mamy: $a^x:b^x={\left(a:b\right)}^x$.
Przykłady

1.

${125}^{\frac{3}{2}}:5^{\frac{3}{2}}={\left(125:5\right)}^{\frac{3}{2}}=$
$={25}^{\frac{3}{2}}={\left(\sqrt{25}\right)}^3=5^3=125$

2.

${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-4}:{\left(\frac{2}{9}\right)}^{-4}={\left(\frac{2}{3}:\frac{2}{9}\right)}^{-4}=$
$={\left(\frac{2}{3}·\frac{9}{2}\right)}^{-4}=3^{-4}=\frac{1}{81}$ Przypadek piąty: Dla $a>0$, $x\in \mathrm{ℝ}$, $y\in \mathrm{ℝ}$ mamy: ${\left(a^x\right)}^y=a^{x·y}$.
Przykłady

1.

${\left(5^{\sqrt{\frac{2}{3}}}\right)}^{\sqrt{\frac{3}{2}}}=5^{\sqrt{\frac{2}{3}}·\sqrt{\frac{3}{2}}}=$
$=5^{\sqrt{\frac{2}{3}·\frac{3}{2}}}=5^{\sqrt{1}}=5$

2.

${\left({\sqrt{3}}^6\right)}^{\frac{1}{3}}={\left(\sqrt{3}\right)}^{6·\frac{1}{3}}=$
$={\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$