Przeczytaj

Przypomnijmy, w jaki sposób skonstruowaliśmy potęgę o wykładniku rzeczywistym.

Zaczęliśmy od wykładników będących liczbami naturalnymi. Takie potęgowanie to po prostu uogólnienie mnożenia: iloczyn kilku równych czynników zapisujemy w postaci potęgi, np.: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{4}$ .

Jeżeli wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną, wówczas minus z wykładnika zamienia podstawę potęgi na jej odwrotność, np.: $5^{- 3} = {(\frac{1}{5})}^{3} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{125}$ .

Następnie omówiliśmy potęgi o wykładnikach wymiernych. W tym przypadku, po zapisaniu wykładnika w postaci ułamka zwykłego (być może niewłaściwego), jego mianownik można zamienić na stopień pierwiastka, którym należy spierwiastkować podstawę potęgi, np.: $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^{2}} = {(\sqrt[3]{8})}^{2} = 2^{2}$ .

Potęgę o wykładniku niewymiernym moglibyśmy zaś zdefiniować dzięki faktowi, że liczby niewymierne pozwalają się przybliżać liczbami wymiernymi.

Ponieważ $\sqrt{2} = 1,41421356 . . .$ , więc do dokładnej wartości potęgi $3^{\sqrt{2}}$ zbliża nas ciąg potęg o wykładnikach wymiernych:

$3^{1,4}$ , $3^{1,41}$ , $3^{1,414}$ , $3^{1,4142}$ , $3^{1,41421}$ , $3^{1,414213}$ , $3^{1,4142135}$ , $3^{1,41421356}$ , $. . .$

Na każdym etapie konstruowania potęgowania jako działania, niezależnie od tego do jakiego zbioru liczbowego należy wykładnik, zwracaliśmy uwagę, że chcemy zachować własności działań na potęgach, które były prawdziwe dla wykładników naturalnych.

Zatem dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ zachodzą następujące własności:

iloczyn potęg o takich samych podstawach: $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ ,
iloraz potęg o takich samych podstawach: $a^{x} : a^{y} = a^{x - y}$ ,
potęga potęgi: ${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$ ,
iloczyn potęg o takich samych wykładnikach (rozdzielność potęgowania względem mnożeniarozdzielność potęgowania względem mnożenia): $a^{x} \cdot b^{x} = {(a \cdot b)}^{x}$ ,
iloraz potęg o takich samych wykładnikach (rozdzielność potęgowania względem dzieleniarozdzielność potęgowania względem dzielenia): $a^{x} : b^{x} = {(a : b)}^{x}$ .

Przykład 1

Rozważmy wyrażenie $\sqrt[3]{\sqrt{5}}$ . Korzystając z definicji potęgi o wykładniku wymiernym i własności potęgowania mamy:

$\sqrt[3]{\sqrt{5}} = {(5^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{5}$

Powyższy przykład można uogólnić.

Rozważmy $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$ , gdzie $a \geq 0$ oraz $m$ i $n$ są liczbami naturalnymi większymi od $1$ .

Wówczas:

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = {(a^{\frac{1}{n}})}^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{n \cdot m}} = \sqrt[n \cdot m]{a}

Przykład 2

Dla $x$ różnego od zera rozważmy wyrażenie $(x^{- 2} - x^{- 1}) (2 x + x^{2})$ :

$(x^{- 2} - x^{- 1}) (2 x + x^{2}) = 2 x (x^{- 2} - x^{- 1}) + x^{2} (x^{- 2} - x^{- 1}) =$

$= 2 x \cdot x^{- 2} - 2 x \cdot x^{- 1} + x^{2} \cdot x^{- 2} - x^{2} \cdot x^{- 1} =$

$= 2 x^{1 - 2} - 2 x^{1 - 1} + x^{2 - 2} - x^{2 - 1} = 2 x^{- 1} - 2 + 1 - x = 2 x^{- 1} - x - 1$

Przykład 3

Uprościmy poniższe wyrażenia korzystając z własności potęgowania:

z własności 1):

$2, 5^{\frac{3}{4}} \cdot 2, 5^{\frac{5}{4}} = 2, 5^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}} = 2, 5^{\frac{8}{4}} = 2, 5^{2} = 6,25$

z własności 2):

$81^{0,5} : 81^{0,25} = 81^{0,25} = \sqrt[4]{81} = 3$

z własności 3):

${({(\sqrt{3})}^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{2}} = {(\sqrt{3})}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = {(\sqrt{3})}^{2} = 3$

z własności 4):

$1, 2^{1,5} \cdot 0, 3^{1,5} = {(1,2 \cdot 0,3)}^{1,5} = {0,36}^{1,5} = {0,36}^{\frac{3}{2}} = {(\sqrt{0,36})}^{3} = 0, 6^{3} = 0,216$

z własności 5):

$200^{\frac{2}{3}} : 0, 2^{\frac{2}{3}} = {(200 : 0,2)}^{\frac{2}{3}} = 1000^{\frac{2}{3}} = {(\sqrt[3]{1000})}^{2} = 10^{2} = 100$

Przykład 4

Obliczymy wartości wyrażeń:

a) $3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 32^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = {(3 \cdot 3)}^{\frac{1}{2}} + {(32 \cdot 2)}^{\frac{1}{2}} = {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} + 64^{\frac{1}{2}} = 3 + \sqrt{64} = 3 + 8 = 11$

b) $16^{\frac{1}{3}} \cdot 32^{\frac{1}{3}} + 7^{\frac{1}{3}} \cdot 49^{\frac{1}{3}} = {(16 \cdot 32)}^{\frac{1}{3}} + {(7 \cdot 49)}^{\frac{1}{3}} = 512^{\frac{1}{3}} + {(7^{3})}^{\frac{1}{3}} =$

$= \sqrt[3]{512} + 7^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 8 + 7 = 15$

Zwróćmy uwagę na kolejność wykonywania działań, gdy wykładnik potęgi również ma postać potęgi.
Jeśli liczby $a$ , $b$ i $c$ są dodatnie, wówczas zapis $a^{b^{c}}$ rozumiemy jako $a^{(b^{c})}$ .

Przykład 5

Obliczymy wartości potęg:

a) $2^{{\sqrt{2}}^{2}} = 2^{({\sqrt{2}}^{2})} = 2^{2} = 4$

b) $2^{2^{3}} = 2^{(2^{3})} = 2^{8} = 256$

Dla porównania ${(2^{2})}^{3} = 4^{3} = 64$ .

Słownik

rozdzielność potęgowania względem mnożenia

własność potęgowania, która orzeka, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ oraz dowolnej liczby rzeczywistej $r$ zachodzi równość

{(a \cdot b)}^{r} = a^{r} \cdot b^{r}

rozdzielność potęgowania względem dzielenia

własność potęgowania, która orzeka, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ oraz dowolnej liczby rzeczywistej $r$ zachodzi równość

{(a : b)}^{r} = a^{r} : b^{r}

Wprowadzenie

Infografika

Słownik