Przypomnijmy, w jaki sposób skonstruowaliśmy potęgę o wykładniku rzeczywistym.

Zaczęliśmy od wykładników będących liczbami naturalnymi. Takie potęgowanie to po prostu uogólnienie mnożenia: iloczyn kilku równych czynników zapisujemy w postaci potęgi, np.: 5555=54.

Jeżeli wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną, wówczas minus z wykładnika zamienia podstawę potęgi na jej odwrotność, np.: 5-3=153=151515=1125.

Następnie omówiliśmy potęgi o wykładnikach wymiernych. W tym przypadku, po zapisaniu wykładnika w postaci ułamka zwykłego (być może niewłaściwego), jego mianownik można zamienić na stopień pierwiastka, którym należy spierwiastkować podstawę potęgi, np.: 823=823=832=22.

Potęgę o wykładniku niewymiernym moglibyśmy zaś zdefiniować dzięki faktowi, że liczby niewymierne pozwalają się przybliżać liczbami wymiernymi.

Ponieważ 2=1,41421356..., więc do dokładnej wartości potęgi 32 zbliża nas ciąg potęg o wykładnikach wymiernych:

31,4, 31,41, 31,414, 31,4142, 31,41421, 31,414213, 31,4142135, 31,41421356, ...

Na każdym etapie konstruowania potęgowania jako działania, niezależnie od tego do jakiego zbioru liczbowego należy wykładnik, zwracaliśmy uwagę, że chcemy zachować własności działań na potęgach, które były prawdziwe dla wykładników naturalnych.

Zatem dla dowolnych liczb dodatnich ab oraz dowolnych liczb rzeczywistych xy zachodzą następujące własności:

  1. iloczyn potęg o takich samych podstawach: axay=ax+y,

  2. iloraz potęg o takich samych podstawach: ax:ay=ax-y,

  3. potęga potęgi: axy=ax·y,

  4. iloczyn potęg o takich samych wykładnikach (rozdzielność potęgowania względem mnożeniarozdzielność potęgowania względem mnożeniarozdzielność potęgowania względem mnożenia): axbx=a·bx,

  5. iloraz potęg o takich samych wykładnikach (rozdzielność potęgowania względem dzieleniarozdzielność potęgowania względem dzieleniarozdzielność potęgowania względem dzielenia): ax:bx=a:bx.

Przykład 1

Rozważmy wyrażenie 53. Korzystając z definicji potęgi o wykładniku wymiernym i własności potęgowania mamy:

53=51213=516=56

Powyższy przykład można uogólnić.

Rozważmy anm, gdzie a0 oraz mn są liczbami naturalnymi większymi od 1.

Wówczas:

anm=a1n1m=a1n·m=an·m
Przykład 2

Dla x różnego od zera rozważmy wyrażenie x-2-x-12x+x2:

x-2-x-12x+x2=2xx-2-x-1+x2x-2-x-1=

=2xx-2-2xx-1+x2x-2-x2x-1=

=2x1-2-2x1-1+x2-2-x2-1=2x-1-2+1-x=2x-1-x-1

Przykład 3

Uprościmy poniższe wyrażenia korzystając z własności potęgowania:

z własności 1):

2,5342,554=2,534+54=2,584=2,52=6,25

z własności 2):

810,5 : 810,25=810,25=814=3

z własności 3):

322=322= 32=3

z własności 4):

1,21,50,31,5=1,20,31,5=0,361,5=0,3632=0,363=0,63=0,216

z własności 5):

20023:0,223=200:0,223=100023=100032=102=100

Przykład 4

Obliczymy wartości wyrażeń:

a) 312312+3212212=3312+32212=3212+6412=3+64=3+8=11

b) 16133213+7134913=163213+74913=51213+7313=

=5123+7313=8+7=15

Zwróćmy uwagę na kolejność wykonywania działań, gdy wykładnik potęgi również ma postać potęgi.
Jeśli liczby a, bc są dodatnie, wówczas zapis abc rozumiemy jako abc.

Przykład 5

Obliczymy wartości potęg:

a) 222=222=22=4

b) 223=223=28=256

Dla porównania 223=43=64.

Słownik

rozdzielność potęgowania względem mnożenia
rozdzielność potęgowania względem mnożenia

własność potęgowania, która orzeka, że dla dowolnych liczb dodatnich ab oraz dowolnej liczby rzeczywistej r zachodzi równość

abr=arbr
rozdzielność potęgowania względem dzielenia
rozdzielność potęgowania względem dzielenia

własność potęgowania, która orzeka, że dla dowolnych liczb dodatnich ab oraz dowolnej liczby rzeczywistej r zachodzi równość

a:br=ar:br