Zapoznaj się z poniższą infografiką, na której przedstawiono sposób na sprawdzenie czy funkcja posiada granicę w punkcie . Zwróc uwagę, że punkt ten nie należy do dziedziny funkcji . Po zapoznaniu się ze sposobem przedstawionym w infografice, wykonaj zawarte pod nią polecenia.
R3uB0MhBAWYrX
Sprawdzimy, czy funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka posiada granicę w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden. 1. Dziedzina funkcji f. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. Bierzemy dowolny ciąg argumentów funkcji f zbieżny do jeden. x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, należy do, D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, przecinek, limes, n, strzałka w prawo, nieskończoność, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, 3. Sprawdzamy, czy ciąg wartości f nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu posiada granicę. limes, n, strzałka w prawo, nieskończoność, f nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, limes, n, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, 4. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. równa się, limes, n, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, limes, n, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 5. Korzystamy z faktu, że ciąg x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego jest zbieżny do jeden oraz z twierdzeń o arytmetyce działań na granicach ciągów zbieżnych. równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, jeden, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. Ponieważ ciąg wartości f nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu posiada granicę i jest ona zawsze równa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, więc funkcja f posiada granicę w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden równą początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka. limes, n, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka.
Sprawdzimy, czy funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka posiada granicę w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden. 1. Dziedzina funkcji f. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. Bierzemy dowolny ciąg argumentów funkcji f zbieżny do jeden. x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, należy do, D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, przecinek, limes, n, strzałka w prawo, nieskończoność, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, 3. Sprawdzamy, czy ciąg wartości f nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu posiada granicę. limes, n, strzałka w prawo, nieskończoność, f nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, limes, n, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, 4. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. równa się, limes, n, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, limes, n, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 5. Korzystamy z faktu, że ciąg x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego jest zbieżny do jeden oraz z twierdzeń o arytmetyce działań na granicach ciągów zbieżnych. równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, jeden, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. Ponieważ ciąg wartości f nawias, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu posiada granicę i jest ona zawsze równa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, więc funkcja f posiada granicę w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden równą początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka. limes, n, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka.
Polecenie 2
Dana jest funkcja
.
Wyznacz dziedzinę funkcji .
Polecenie 3
Dana jest funkcja
.
Sprawdź, czy funkcja posiada granicę w punkcie . Jeśli tak, to oblicz wartość tej granicy. Skorzystaj z definicji granicy funkcji w punkcie według Heinego.