Strona główna
Liceum ogólnokształcące i technikum
Matematyka
Granica funkcji w punkcie według
Heinego
Sprawdź się
Powrót
Infografika
Dla nauczyciela
Sprawdź się
1
Pokaż ćwiczenia:
R1Qd0h32ReYF9
1
Ćwiczenie
1
Korzystając z definicji Heinego funkcji w punkcie, sprawdź, czy funkcja określona wzorem
f
(
x
)
=
x
2
-
x
+
1
posiada granicę w punkcie
x
0
=
0
. Możliwe odpowiedzi: 1. Posiada granicę., 2. Nie posiada granicy.
RBGmRMYDVkNyr
1
Ćwiczenie
2
Korzystając z definicji Heinego funkcji w punkcie, sprawdź, czy funkcja określona wzorem
f
(
x
)
=
4
x
+
1
posiada granicę w punkcie
x
0
=
-
1
. Możliwe odpowiedzi: 1. Posiada granicę i jest ona równa
-
3
., 2. Posiada granicę i jest ona równa
3
., 3. Nie posiada granicy., 4. Posiada granicę i jest ona równa
1
.
R1I0fLoK8gJ2v
2
Ćwiczenie
3
Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
x
(
x
+
2
)
. Przeciągnij w puste miejsca odpowiednie wyrażenia. Funkcja
f
1.
3
, 2. nie posiada granicy, 3.
2
, 4. posiada granicę, 5.
-1
, 6.
1
w punkcie
x
0
=
1
, gdyż dla dowolnego ciągu argumentów
x
n
zbieżnego do 1.
3
, 2. nie posiada granicy, 3.
2
, 4. posiada granicę, 5.
-1
, 6.
1
ciąg wartości
f
(
x
n
)
jest zbieżny do 1.
3
, 2. nie posiada granicy, 3.
2
, 4. posiada granicę, 5.
-1
, 6.
1
.
Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
x
(
x
+
2
)
. Przeciągnij w puste miejsca odpowiednie wyrażenia. Funkcja
f
1.
3
, 2. nie posiada granicy, 3.
2
, 4. posiada granicę, 5.
-1
, 6.
1
w punkcie
x
0
=
1
, gdyż dla dowolnego ciągu argumentów
x
n
zbieżnego do 1.
3
, 2. nie posiada granicy, 3.
2
, 4. posiada granicę, 5.
-1
, 6.
1
ciąg wartości
f
(
x
n
)
jest zbieżny do 1.
3
, 2. nie posiada granicy, 3.
2
, 4. posiada granicę, 5.
-1
, 6.
1
.
R1b2wqs0MKpPu
2
Ćwiczenie
4
Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
x
-
4
. Przeciągnij w puste miejsca odpowiednie wyrażenia. Funkcja
f
1.
-1
, 2.
x
0
=
1
, 3. ciąg argumentów, 4. posiada granicę, 5. ciąg wartości, 6.
-
3
, 7. nie posiada granicy, 8.
x
0
=
3
w punkcie 1.
-1
, 2.
x
0
=
1
, 3. ciąg argumentów, 4. posiada granicę, 5. ciąg wartości, 6.
-
3
, 7. nie posiada granicy, 8.
x
0
=
3
, gdyż biorąc dowolny 1.
-1
, 2.
x
0
=
1
, 3. ciąg argumentów, 4. posiada granicę, 5. ciąg wartości, 6.
-
3
, 7. nie posiada granicy, 8.
x
0
=
3
x
n
zbieżny do
1
, 1.
-1
, 2.
x
0
=
1
, 3. ciąg argumentów, 4. posiada granicę, 5. ciąg wartości, 6.
-
3
, 7. nie posiada granicy, 8.
x
0
=
3
f
(
x
n
)
jest zbieżny do 1.
-1
, 2.
x
0
=
1
, 3. ciąg argumentów, 4. posiada granicę, 5. ciąg wartości, 6.
-
3
, 7. nie posiada granicy, 8.
x
0
=
3
.
Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
x
-
4
. Przeciągnij w puste miejsca odpowiednie wyrażenia. Funkcja
f
1.
-1
, 2.
x
0
=
1
, 3. ciąg argumentów, 4. posiada granicę, 5. ciąg wartości, 6.
-
3
, 7. nie posiada granicy, 8.
x
0
=
3
w punkcie 1.
-1
, 2.
x
0
=
1
, 3. ciąg argumentów, 4. posiada granicę, 5. ciąg wartości, 6.
-
3
, 7. nie posiada granicy, 8.
x
0
=
3
, gdyż biorąc dowolny 1.
-1
, 2.
x
0
=
1
, 3. ciąg argumentów, 4. posiada granicę, 5. ciąg wartości, 6.
-
3
, 7. nie posiada granicy, 8.
x
0
=
3
x
n
zbieżny do
1
, 1.
-1
, 2.
x
0
=
1
, 3. ciąg argumentów, 4. posiada granicę, 5. ciąg wartości, 6.
-
3
, 7. nie posiada granicy, 8.
x
0
=
3
f
(
x
n
)
jest zbieżny do 1.
-1
, 2.
x
0
=
1
, 3. ciąg argumentów, 4. posiada granicę, 5. ciąg wartości, 6.
-
3
, 7. nie posiada granicy, 8.
x
0
=
3
.
R17gX6Z6bMdwO
2
Ćwiczenie
5
Korzystając z definicji Heinego, sprawdź, czy podane funkcje posiadają granicę w punkcie
x
0
=
2
. Zaznacz te, których granica w tym punkcie jest równa
1
. Możliwe odpowiedzi: 1.
f
(
x
)
=
(
x
-
1
)
(
3
-
x
)
, 2.
f
(
x
)
=
3
x
-
5
, 3.
f
(
x
)
=
x
2
-
x
-
1
, 4.
f
(
x
)
=
2
x
-
1
RCmSy8hvfjIvu
2
Ćwiczenie
6
Korzystając z definicji granicy w sensie Heinego, wyznacz granicę funkcji z lewej kolumny w punkcie
x
0
=
1
i połącz je w pary z poprawnymi odpowiedziami z prawej kolumny.
f
(
x
)
=
x
-
1
(
x
+
2
)
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
1
, 2.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
3
, 3.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
0
, 4.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
4
f
(
x
)
=
x
+
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
1
, 2.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
3
, 3.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
0
, 4.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
4
f
(
x
)
=
2
x
2
-
x
+
3
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
1
, 2.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
3
, 3.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
0
, 4.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
4
f
(
x
)
=
2
x
2
+
1
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
1
, 2.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
3
, 3.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
0
, 4.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
4
Korzystając z definicji granicy w sensie Heinego, wyznacz granicę funkcji z lewej kolumny w punkcie
x
0
=
1
i połącz je w pary z poprawnymi odpowiedziami z prawej kolumny.
f
(
x
)
=
x
-
1
(
x
+
2
)
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
1
, 2.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
3
, 3.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
0
, 4.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
4
f
(
x
)
=
x
+
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
1
, 2.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
3
, 3.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
0
, 4.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
4
f
(
x
)
=
2
x
2
-
x
+
3
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
1
, 2.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
3
, 3.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
0
, 4.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
4
f
(
x
)
=
2
x
2
+
1
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
1
, 2.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
3
, 3.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
0
, 4.
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
4
RkeUYvpinTGuW
3
Ćwiczenie
7
Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
2
x
-
1
dla
x
≤
2
1
-
x
dla
x
>
2
.
Przeciągnij w puste pola odpowiednie wyrażenia. Sprawdzimy, czy funkcja
f
posiada granicę w punkcie
x
0
=
2
. Niech
x
n
=
2
-
1
n
oraz
t
n
=
2
+
1
n
. Oba ciągi są zbieżne do 1. takie same, 2. posiada granicę, 3. nie posiada granicy, 4.
2
, 5.
-
1
, 6.
1
, 7. różne, 8.
3
, 9.
-
2
oraz
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
1. takie same, 2. posiada granicę, 3. nie posiada granicy, 4.
2
, 5.
-
1
, 6.
1
, 7. różne, 8.
3
, 9.
-
2
,
lim
n
→
+
∞
f
(
t
n
)
=
1. takie same, 2. posiada granicę, 3. nie posiada granicy, 4.
2
, 5.
-
1
, 6.
1
, 7. różne, 8.
3
, 9.
-
2
. Ponieważ granice ciągów wartości
f
(
x
n
)
oraz
f
(
t
n
)
są 1. takie same, 2. posiada granicę, 3. nie posiada granicy, 4.
2
, 5.
-
1
, 6.
1
, 7. różne, 8.
3
, 9.
-
2
, więc funkcja
f
1. takie same, 2. posiada granicę, 3. nie posiada granicy, 4.
2
, 5.
-
1
, 6.
1
, 7. różne, 8.
3
, 9.
-
2
w punkcie
x
0
=
2
.
Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
2
x
-
1
dla
x
≤
2
1
-
x
dla
x
>
2
.
Przeciągnij w puste pola odpowiednie wyrażenia. Sprawdzimy, czy funkcja
f
posiada granicę w punkcie
x
0
=
2
. Niech
x
n
=
2
-
1
n
oraz
t
n
=
2
+
1
n
. Oba ciągi są zbieżne do 1. takie same, 2. posiada granicę, 3. nie posiada granicy, 4.
2
, 5.
-
1
, 6.
1
, 7. różne, 8.
3
, 9.
-
2
oraz
lim
n
→
+
∞
f
(
x
n
)
=
1. takie same, 2. posiada granicę, 3. nie posiada granicy, 4.
2
, 5.
-
1
, 6.
1
, 7. różne, 8.
3
, 9.
-
2
,
lim
n
→
+
∞
f
(
t
n
)
=
1. takie same, 2. posiada granicę, 3. nie posiada granicy, 4.
2
, 5.
-
1
, 6.
1
, 7. różne, 8.
3
, 9.
-
2
. Ponieważ granice ciągów wartości
f
(
x
n
)
oraz
f
(
t
n
)
są 1. takie same, 2. posiada granicę, 3. nie posiada granicy, 4.
2
, 5.
-
1
, 6.
1
, 7. różne, 8.
3
, 9.
-
2
, więc funkcja
f
1. takie same, 2. posiada granicę, 3. nie posiada granicy, 4.
2
, 5.
-
1
, 6.
1
, 7. różne, 8.
3
, 9.
-
2
w punkcie
x
0
=
2
.
RUPSzwQzCMXS4
3
Ćwiczenie
8
Przenieś do wyznaczonych obszarów odpowiednie wyrażenia. Skorzystaj z definicji granicy funkcji w sensie Heinego.
x
0
=
0
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
x
0
(
3
x
2
+
x
-
2
)
=
0
, 2.
lim
x
→
x
0
(
x
-
2
)
(
x
-
3
)
=
6
, 3.
lim
x
→
x
0
3
2
x
2
+
1
=
3
, 4.
lim
x
→
x
0
(
x
+
2
)
=
1
, 5.
lim
x
→
x
0
(
2
x
+
1
)
=
3
, 6.
lim
x
→
x
0
(
2
x
+
1
)
=
1
x
0
=
1
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
x
0
(
3
x
2
+
x
-
2
)
=
0
, 2.
lim
x
→
x
0
(
x
-
2
)
(
x
-
3
)
=
6
, 3.
lim
x
→
x
0
3
2
x
2
+
1
=
3
, 4.
lim
x
→
x
0
(
x
+
2
)
=
1
, 5.
lim
x
→
x
0
(
2
x
+
1
)
=
3
, 6.
lim
x
→
x
0
(
2
x
+
1
)
=
1
x
0
=
-1
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
x
0
(
3
x
2
+
x
-
2
)
=
0
, 2.
lim
x
→
x
0
(
x
-
2
)
(
x
-
3
)
=
6
, 3.
lim
x
→
x
0
3
2
x
2
+
1
=
3
, 4.
lim
x
→
x
0
(
x
+
2
)
=
1
, 5.
lim
x
→
x
0
(
2
x
+
1
)
=
3
, 6.
lim
x
→
x
0
(
2
x
+
1
)
=
1
Przenieś do wyznaczonych obszarów odpowiednie wyrażenia. Skorzystaj z definicji granicy funkcji w sensie Heinego.
x
0
=
0
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
x
0
(
3
x
2
+
x
-
2
)
=
0
, 2.
lim
x
→
x
0
(
x
-
2
)
(
x
-
3
)
=
6
, 3.
lim
x
→
x
0
3
2
x
2
+
1
=
3
, 4.
lim
x
→
x
0
(
x
+
2
)
=
1
, 5.
lim
x
→
x
0
(
2
x
+
1
)
=
3
, 6.
lim
x
→
x
0
(
2
x
+
1
)
=
1
x
0
=
1
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
x
0
(
3
x
2
+
x
-
2
)
=
0
, 2.
lim
x
→
x
0
(
x
-
2
)
(
x
-
3
)
=
6
, 3.
lim
x
→
x
0
3
2
x
2
+
1
=
3
, 4.
lim
x
→
x
0
(
x
+
2
)
=
1
, 5.
lim
x
→
x
0
(
2
x
+
1
)
=
3
, 6.
lim
x
→
x
0
(
2
x
+
1
)
=
1
x
0
=
-1
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
x
0
(
3
x
2
+
x
-
2
)
=
0
, 2.
lim
x
→
x
0
(
x
-
2
)
(
x
-
3
)
=
6
, 3.
lim
x
→
x
0
3
2
x
2
+
1
=
3
, 4.
lim
x
→
x
0
(
x
+
2
)
=
1
, 5.
lim
x
→
x
0
(
2
x
+
1
)
=
3
, 6.
lim
x
→
x
0
(
2
x
+
1
)
=
1