Liczbę $g\in\mathbb{R}$ nazywamy granicą funkcji $f$ w punkcie $x_0\in\mathbb{R}$, jeżeli dla dowolnego ciągu argumentówciąg argumentów funkcjiciągu argumentów $(x_n)$ takiego, że

1. $x_n\neq x_0$ dla każdego $n\in\mathbb{N},$

2. $\lim\limits_{n\to +\infty} x_n=x_0,$

ciąg wartości funkcjiciąg wartości funkcjiciąg wartości funkcji $(f(x_n))$ jest zbieżny do liczby $g$. Fakt ten zapisujemy symbolicznie następująco

Niech dana będzie funkcja liniowa $f(x)=3x-1$. Obliczymy granicę tej funkcji w punkcie $x_0=1$. Weźmy dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów $(x_n)$ zbieżny do liczby $1$ o wyrazach różnych od $1$. Obliczymy granicę ciągu $(f(x_n))$, korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów.

Ponieważ ciąg $(x_n)$ jest dowolnym ciągiem argumentów funkcjiciąg argumentów funkcjiciągiem argumentów funkcji $f$ zbieżnym do $1$, więc na mocy definicji Heinego granicy funkcji w punkcie

Rozważmy funkcję $f(x)=(x-1)^2-(x+1)^3$. Wykażemy, że posiada ona granicę w punkcie $x_0=0$. Weźmy w tym celu dowolny ciąg $(x_n)$ taki, że $\lim\limits_{n\to +\infty}x_n=0$ oraz $x_n\neq 0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$. Stąd oraz z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów otrzymujemy

Zatem

Powyższa równość oraz fakt, że zbieżny do zera ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów $(x_n)$ jest wybrany dowolnie oznaczają, że

Jeżeli ciąg $(x_n)$ jest zbieżny do granicy $g\in \langle 0,+\infty)$ oraz $x_n\geq 0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$, to wówczas ciąg $(\sqrt{x_n})$ jest zbieżny do granicy $\sqrt{g}$.

Sprawdzimy, czy funkcja dana wzorem $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$ posiada granicę w punkcie $x_0=3$. Na początek wyznaczmy dziedzinę funkcji $f$. Wiemy, że pierwiastek kwadratowy można obliczyć tylko z liczb nieujemnych oraz, że w mianowniku ułamka nie może być zera. Stąd $D_f=(1,+\infty )$. Weźmy dowolny ciąg $x_n$ taki, że $x_n\in D_f\setminus \lbrace 3\rbrace$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ oraz $\lim\limits_{n\to +\infty}x_n=3$. Wówczas $x_n-1\geq 0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ oraz $\lim\limits_{n\to +\infty}(x_n-1)=3-1=2$. Stąd i z powyższej własności wiemy, że $\lim\limits_{n\to +\infty}\sqrt{x_n-1}=\sqrt{2}$. Ostatnia równość wraz z twierdzeniem o granicy ilorazu dwóch ciągów zbieżnych daje nam

Z faktu, że ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów $x_n$ zbieżny do $3$ był wybrany dowolnie wynika, że

Rozważmy funkcję

Wykażemy, że nie posiada ona granicy w punkcie $x_0=-1$. W tym celu wybierzemy dwa ciągi argumentówciąg argumentów funkcjiciągi argumentów zbieżne do granicy $-1$ oraz takie, że ich ciągi wartościciąg wartości funkcjiciągi wartości posiadają różne granice. Niech najpierw $x_n=-1-\frac{1}{n}$ dla $n\in\mathbb{N}$. Jest to oczywiście ciąg zbieżny do $-1$. Ponieważ $x_n\lt -1$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ więc $f(x_n)=2\left(-1-\frac{1}{n}\right)+3=1-\frac{2}{n}$. Stąd i z twierdzenia o arytmetyce granic

Przyjmijmy teraz $x_n=-1+\frac{1}{n}$ dla $n\in\mathbb{N}$. Ciąg ten jest również zbieżny do $-1$. Jednak tym razem $x_n\gt -1$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$, zatem $f(x_n)=\left(-1+\frac{1}{n}\right)^2+3=4-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}.$ Korzystając kolejny raz z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów, otrzymamy

Udało nam się zatem wskazać dwa ciągi argumentów funkcjiciąg argumentów funkcjiciągi argumentów funkcji $f$ zbieżne do $-1$ oraz takie, że ciągi wartościciąg wartości funkcjiciągi wartości im odpowiadające mają różne granice. Oznacza to, że funkcja $f$ nie posiada granicy w punkcie $x_0=-1$.

ciąg $(x_n)$ którego wszystkie wyrazy należą do dziedziny funkcji $f$, tzn. ciąg spełniający warunek

jeżeli ciąg $(x_n)$ jest ciągiem argumentów funkcji $f:D_f\to \mathrm{ℝ}$, to ciąg $\big(f(x_n)\big)$ nazywamy ciągiem wartości funkcji $f$