Przeczytaj
Granica funkcji w punkcie to jedno z podstawowych pojęć w teorii funkcji. Istnieją dwie równoważne definicje granicy funkcji. W tym temacie omówimy definicję, która opiera się na granicy ciągu nieskończonego. Jej autorem jest niemiecki matematyk Heinrich Eduard Heine.
Definicja Heinego granicy funkcji w punkcie
Niech funkcja oznacza funkcję, której dziedziną jest zbiór .
Liczbę nazywamy granicą funkcji w punkcie , jeżeli dla dowolnego ciągu argumentówciągu argumentów takiego, że
dla każdego
ciąg wartości funkcjiciąg wartości funkcji jest zbieżny do liczby . Fakt ten zapisujemy symbolicznie następująco
Definicję Heinego granicy funkcji możemy wykorzystać do obliczania granic pewnych funkcji. Spójrzmy na poniższe przykłady.
Niech dana będzie funkcja liniowa . Obliczymy granicę tej funkcji w punkcie . Weźmy dowolny ciąg argumentówciąg argumentów zbieżny do liczby o wyrazach różnych od . Obliczymy granicę ciągu , korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów.
Ponieważ ciąg jest dowolnym ciągiem argumentów funkcjiciągiem argumentów funkcji zbieżnym do , więc na mocy definicji Heinego granicy funkcji w punkcie
Rozważmy funkcję . Wykażemy, że posiada ona granicę w punkcie . Weźmy w tym celu dowolny ciąg taki, że oraz dla każdego . Stąd oraz z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów otrzymujemy
Zatem
Powyższa równość oraz fakt, że zbieżny do zera ciąg argumentówciąg argumentów jest wybrany dowolnie oznaczają, że
Zanim przejdziemy do kolejnego przykładu, spójrzmy na poniższą własność dotyczącą funkcji .
Jeżeli ciąg jest zbieżny do granicy oraz dla każdego , to wówczas ciąg jest zbieżny do granicy .
Sprawdzimy, czy funkcja dana wzorem posiada granicę w punkcie . Na początek wyznaczmy dziedzinę funkcji . Wiemy, że pierwiastek kwadratowy można obliczyć tylko z liczb nieujemnych oraz, że w mianowniku ułamka nie może być zera. Stąd . Weźmy dowolny ciąg taki, że dla każdego oraz . Wówczas dla każdego oraz . Stąd i z powyższej własności wiemy, że . Ostatnia równość wraz z twierdzeniem o granicy ilorazu dwóch ciągów zbieżnych daje nam
Z faktu, że ciąg argumentówciąg argumentów zbieżny do był wybrany dowolnie wynika, że
A co w sytuacji, gdy funkcja nie posiada granicy?
Definicję granicy funkcji w sensie Heinego możemy też wykorzystać do wykazania, że dana funkcja nie posiada granicy w punkcie . W tym celu wystarczy wskazać dwa ciągi argumentów funkcjiciągi argumentów funkcji, które są zbieżne do oraz ciągi wartościciągi wartości im odpowiadające mają różne granice. Spójrzmy na poniższy przykład.
Rozważmy funkcję
Wykażemy, że nie posiada ona granicy w punkcie . W tym celu wybierzemy dwa ciągi argumentówciągi argumentów zbieżne do granicy oraz takie, że ich ciągi wartościciągi wartości posiadają różne granice. Niech najpierw dla . Jest to oczywiście ciąg zbieżny do . Ponieważ dla każdego więc . Stąd i z twierdzenia o arytmetyce granic
Przyjmijmy teraz dla . Ciąg ten jest również zbieżny do . Jednak tym razem dla każdego , zatem Korzystając kolejny raz z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów, otrzymamy
Udało nam się zatem wskazać dwa ciągi argumentów funkcjiciągi argumentów funkcji zbieżne do oraz takie, że ciągi wartościciągi wartości im odpowiadające mają różne granice. Oznacza to, że funkcja nie posiada granicy w punkcie .
Wprost z definicji granicy funkcji w punkcie według Heinego wynika, że istnienie oraz wartość granicy nie zależą od zachowania się funkcji w samym punkcie . Wynika to z faktu, że wszystkie wyrazy rozważanych ciągów argumentówciągów argumentów muszą być różne od . A zatem istotne jest jedynie jak funkcja zachowuje się w sąsiedztwie punktu , a nie w nim samym. Jedną z konsekwencji tego spostrzeżenia jest fakt, że funkcja może posiadać granicę w punkcie, który nie należy do jej dziedziny. Przykład takiej funkcji znajduje się w sekcji Infografika.
Słownik
ciąg którego wszystkie wyrazy należą do dziedziny funkcji , tzn. ciąg spełniający warunek
jeżeli ciąg jest ciągiem argumentów funkcji , to ciąg nazywamy ciągiem wartości funkcji