Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Granica funkcji w punkcie to jedno z podstawowych pojęć w teorii funkcji. Istnieją dwie równoważne definicje granicy funkcji. W tym temacie omówimy definicję, która opiera się na granicy ciągu nieskończonego. Jej autorem jest niemiecki matematyk Heinrich Eduard Heine.

Definicja Heinego granicy funkcji w punkcie

Niech oznacza funkcję, której dziedziną jest zbiór .

Granica funkcji w punkcie według Heinego
Definicja: Granica funkcji w punkcie według Heinego

Liczbę nazywamy granicą funkcji w punkcie , jeżeli dla dowolnego ciągu argumentówciąg argumentów funkcjiciągu argumentów takiego, że

  1. dla każdego

ciąg wartości funkcjiciąg wartości funkcjiciąg wartości funkcji jest zbieżny do liczby . Fakt ten zapisujemy symbolicznie następująco

limxx0f(x)=g.

Definicję Heinego granicy funkcji możemy wykorzystać do obliczania granic pewnych funkcji. Spójrzmy na poniższe przykłady.

Przykład 1

Niech dana będzie funkcja liniowa . Obliczymy granicę tej funkcji w punkcie . Weźmy dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów zbieżny do liczby o wyrazach różnych od . Obliczymy granicę ciągu korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów.

limn+f(xn)=limn+(3xn1)=3limn+xn   1=2.

Ponieważ ciąg jest dowolnym ciągiem argumentów funkcjiciąg argumentów funkcjiciągiem argumentów funkcji zbieżnym do więc na mocy definicji Heinego granicy funkcji w punkcie

limx1(3x1)=2.
Przykład 2

Rozważmy funkcję . Wykażemy, że posiada ona granicę w punkcie . Weźmy w tym celu dowolny ciąg taki, że oraz dla każdego . Stąd oraz z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów otrzymujemy

limn+(xn+1)3=limn+[(xn+1)(xn+1)(xn+1)]=

Zatem

Powyższa równość oraz fakt, że zbieżny do zera ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów jest wybrany dowolnie oznaczają, że

Zanim przejdziemy do kolejnego przykładu spójrzmy na poniższą własność dotyczącą funkcji .

Granica ciągu
Własność: Granica ciągu

Jeżeli ciąg jest zbieżny do granicy oraz dla każdego , to wówczas ciąg jest zbieżny do granicy .

Przykład 3

Sprawdzimy czy funkcja dana wzorem posiada granicę w punkcie . Na początek wyznaczmy dziedzinę funkcji . Wiemy, że pierwiastek kwadratowy można obliczyć tylko z liczb nieujemnych oraz, że w mianowniku ułamka nie może być zera. Stąd . Weźmy dowolny ciąg taki, że dla każdego oraz . Wówczas dla każdego oraz . Stąd i z powyższej własności wiemy, że . Ostatnia równość wraz z twierdzeniem o granicy ilorazu dwóch ciągów zbieżnych daje nam

Z faktu, że ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów zbieżny do był wybrany dowolnie wynika, że

A co z w sytuacji gdy funkcja nie posiada granicy?

Definicję granicy funkcji w sensie Heinego możemy też wykorzystać do wykazania, że dana funkcja nie posiada granicy w  punkcie . W tym celu wystarczy wskazać dwa ciągi argumentów funkcjiciąg argumentów funkcjiciągi argumentów funkcji, które są zbieżne do oraz ciągi wartościciąg wartości funkcjiciągi wartości im odpowiadające mają różne granice. Spójrzmy na poniższy przykład.

Przykład 4

Rozważmy funkcję

f(x)={2x+3dla  x-1x2+3dla  x>-1

Wykażemy, że nie posiada ona granicy w punkcie . W tym celu wybierzemy dwa ciągi argumentówciąg argumentów funkcjiciągi argumentów zbieżne do granicy oraz takie, że ich ciągi wartościciąg wartości funkcjiciągi wartości posiadają różne granice. Niech najpierw dla . Jest to oczywiście ciąg zbieżny do . Ponieważ dla każdego więc . Stąd i z twierdzenia o arytmetyce granic

Przyjmijmy teraz dla . Ciąg ten jest również zbieżny do . Jednak tym razem dla każdego , zatem Korzystając kolejny raz z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów, otrzymamy

Udało nam się zatem wskazać dwa ciągi argumentów funkcjiciąg argumentów funkcjiciągi argumentów funkcji zbieżne do oraz takie, że ciągi wartościciąg wartości funkcjiciągi wartości im odpowiadające mają różne granice. Oznacza to, że funkcja nie posiada granicy w punkcie .

Ważne!

Wprost z definicji granicy funkcji w punkcie według Heinego wynika, że istnienie oraz wartość granicy nie zależą od zachowania się funkcji w samym punkcie . Wynika to z faktu, że wszystkie wyrazy rozważanych ciągów argumentówciąg argumentów funkcjiciągów argumentów muszą być różne od . A zatem istotne jest jedynie jak funkcja zachowuje się w sąsiedztwie punktu a nie w nim samym. Jedną z konsekwencji tego spostrzeżenia jest fakt, że funkcja może posiadać granicę w punkcie, który nie należy do jej dziedziny. Przykład takiej funkcji znajduje się w sekcji Infografika.

Słownik

ciąg argumentów funkcji
ciąg argumentów funkcji

ciąg którego wszystkie wyrazy należą do dziedziny funkcji , tzn. ciąg spełniający warunek

ciąg wartości funkcji
ciąg wartości funkcji

jeżeli ciąg jest ciągiem argumentów funkcji , to ciąg nazywamy ciągiem wartości funkcji