Jak narysować trójkąt o trzech danych bokach

Olaf postanowił narysować w programie GeoGebra trójkąt o bokach długości: $6\mathrm{ cm}$, $3\mathrm{ cm}$ i $4\mathrm{ cm}$.
Zaczął rysunek od najdłuższego boku. Potem, z końców tego boku narysował odcinki o długościach $4\mathrm{ cm}$ i $3\mathrm{ cm}$ i próbował znaleźć punkt, który będzie trzecim wierzchołkiem trójkąta.

RtjaYjxy33ViY1

Rysunek odcinka o długości 6 cm. Do jego końców dorysowane są odcinki o długościach 4 cm i 3 cm, które nie łączą się.

Rh4ODicARcdSm1

Animacja pokazuje kreślenie trójkąta, gdy dane są trzy odcinki o długościach: 6 cm, 3 cm i 4 cm. Dany jest najdłuższy bok AB. Z końców tego boku poprowadzone są odcinki o długościach 3 cm i 4 cm (oba do góry). Odcinki nie łączą się. Zmieniając kąt nachylenia krótszych odcinków do odcinka AB zauważamy, że końce tych odcinków połączą się i powstanie trójkąt.

Animacja pokazuje kreślenie trójkąta, gdy dane są trzy odcinki o długościach: 6 cm, 3 cm i 4 cm. Dany jest najdłuższy bok AB. Z końców tego boku poprowadzone są odcinki o długościach 3 cm i 4 cm (oba do góry). Odcinki nie łączą się. Zmieniając kąt nachylenia krótszych odcinków do odcinka AB zauważamy, że końce tych odcinków połączą się i powstanie trójkąt.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DQbhFQFuy

RDi4Yaa97LqyW1

Animacja pokazuje odcinek AB = 6 cm. Z końców tego odcinka poprowadzone są odcinki o długościach 3 cm i 4 cm (oba do góry). Odcinki nie łączą się. Zmieniając kąt nachylenia krótszych odcinków do odcinka AB zauważamy, że końce tych odcinków połączą się i powstanie trójkąt. Końce mogą łączyć się na dwa sposoby, gdy znajdują się nad lub pod najdłuższym odcinkiem. Zauważamy, że poruszając końcami odcinków, końce zataczają okręgi.

Animacja pokazuje odcinek AB = 6 cm. Z końców tego odcinka poprowadzone są odcinki o długościach 3 cm i 4 cm (oba do góry). Odcinki nie łączą się. Zmieniając kąt nachylenia krótszych odcinków do odcinka AB zauważamy, że końce tych odcinków połączą się i powstanie trójkąt. Końce mogą łączyć się na dwa sposoby, gdy znajdują się nad lub pod najdłuższym odcinkiem. Zauważamy, że poruszając końcami odcinków, końce zataczają okręgi.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DQbhFQFuy

38677851871345B00B15068551835785A00A

R1eCLViVzopPf1

1. Animacja pokazuje trójkąt o bokach 6 cm, 3 cm i 4 cm. Wierzchołki A, B trójkąta są środkami okręgów o promieniach 4 cm i 3 cm. Należy podać opis konstrukcji trójkąta, gdy dane są trzy odcinki. Kolejność konstrukcji: rysujemy odcinek AB = 6 cm, rysujemy okrąg ośrodku A i promieniu 4 cm, rysujemy okrąg ośrodku B i promieniu 3 cm, okręgi przecinają się w punktach C i D, kreślimy odcinki AC i BC, powstaje trójkąt A B C.

1. Animacja pokazuje trójkąt o bokach 6 cm, 3 cm i 4 cm. Wierzchołki A, B trójkąta są środkami okręgów o promieniach 4 cm i 3 cm. Należy podać opis konstrukcji trójkąta, gdy dane są trzy odcinki. Kolejność konstrukcji: rysujemy odcinek AB = 6 cm, rysujemy okrąg ośrodku A i promieniu 4 cm, rysujemy okrąg ośrodku B i promieniu 3 cm, okręgi przecinają się w punktach C i D, kreślimy odcinki AC i BC, powstaje trójkąt A B C.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DQbhFQFuy

Warunek trójkąta

R178hXflQIMrh1

Animacja pokazuje trójkąt A B C zbudowany z trzech odcinków, których długość możemy zmieniać. Zmieniając długości boków należy obserwować jak zmienia się wielkość i kształt trójkąta. Zauważamy, że: jeżeli długości boków AC = 4 cm, BC =3 cm to długość boku AB musi być większa od 1 cm a mniejsza od 7 cm. Jeżeli długości boków AB = 6 cm, BC =3 cm to długość boku AC musi być większa od 3 a mniejsza od 9. Jeżeli długości boków AB =6 cm, AC =4 cm to długość boku BC musi być większa od 2 i mniejsza od 10.

Animacja pokazuje trójkąt A B C zbudowany z trzech odcinków, których długość możemy zmieniać. Zmieniając długości boków należy obserwować jak zmienia się wielkość i kształt trójkąta. Zauważamy, że: jeżeli długości boków AC = 4 cm, BC =3 cm to długość boku AB musi być większa od 1 cm a mniejsza od 7 cm. Jeżeli długości boków AB = 6 cm, BC =3 cm to długość boku AC musi być większa od 3 a mniejsza od 9. Jeżeli długości boków AB =6 cm, AC =4 cm to długość boku BC musi być większa od 2 i mniejsza od 10.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DQbhFQFuy

Poprzednie zadanie pokazuje, że boki trójkąta nie mogą mieć całkiem dowolnych długości. Jeżeli dana jest długość jednego z boków, to suma długości dwóch pozostałych musi być od niej większa.

Ważne!

Suma długości dwóch boków trójkąta jest zawsze większa od długości trzeciego boku.
Jest to tak zwany warunek trójkąta.

RceRne2ML3WOI1

Rysunek trójkąta o bokach długości a, b i c. Zapis: a + b > c, a + c > b, b + c > a.

Konstrukcja trójkąta o trzech danych bokach

Konstrukcje geometryczne różnią się od zwykłego rysowania. Do ich wykonania możemy wykorzystywać tylko cyrkiel i linijkę, przy czym linijka nie służy do mierzenia, a tylko do rysowania odcinków, prostych lub półprostych. Natomiast za pomocą cyrkla możemy odmierzać odcinki, rysować okręgi i łuki okręgów. Oczywiście używamy też ołówka.
Konstrukcje wykonywano już w starożytności, rozwiązując w ten sposób wiele problemów geometrycznych.

A

Ćwiczenie 4

Narysuj dane: trzy odcinki o długościach $5\mathrm{ cm}, 4\mathrm{ cm}$ i $3\mathrm{ cm}$.
Następnie wykonaj konstrukcję trójkąta o bokach długości $5\mathrm{ cm}, 4\mathrm{ cm}$ i $3\mathrm{ cm}$.
Jaki rodzaj trójkąta powstał?

Pokaż rozwiązanie

R1akVlQa77ZtJ1

Rysunek trzech odcinków o długościach 3 cm, 4 cm, 5 cm oraz trójkąta prostokątnego A B C zbudowanego z tych odcinków. Rysunek jest rozwiązaniem zadania.

trójkąt prostokątny