Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby udostępnić materiał Dodaj całą stronę do teczki

Elementy kuli

Krople rosy, bryłki gradu, ziarenka maku swoim kształtem przypominają kule.

R1NWK8l4ak4um1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 1

Jaka bryła powstanie w wyniku obrotu półkola wokół prostej, na której leży średnica tego półkola?

RFwwejn5cPoG31
Animacja przedstawia bryłę, która powstanie w wyniku obrotu półkola. Tworzymy w płaszczyźnie pionowej zawierającej oś obrotu półokrąg o promieniu R. Obracając półokrąg otrzymujemy powierzchnię zwaną sferą. Natomiast obracając koło otrzymujemy kulę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Kulę można otrzymać w wyniku obrotu półkola wokół prostej, na której leży jego średnica lub w wyniku obrotu koła wokół prostej przechodzącej przez jego środek.

Ważne!

Promień tego koła to promień kuli, a środek koła – środek kuli.
Kulę w przestrzeni definiujemy podobnie jak koło na płaszczyźnie.

Kula
Definicja: Kula

Kula to zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległość od punktu, zwanego środkiem, jest nie większa od długości odcinka, zwanego promieniem kuli.

RA9xjjAN70Xxy1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W przestrzeni odpowiednikiem okręgu jest sfera.

Sfera
Definicja: Sfera

Sfera to zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległość od punktu, zwanego środkiem, jest równa długości odcinka, zwanego promieniem sfery.

R1CTalfNIOgvQ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 2
R1JZBEXnlXOmI1
Przykład 3
R18CjekJxCQq41
Cięciwa sfery (kuli)
Definicja: Cięciwa sfery (kuli)

Cięciwa sfery (kuli) to odcinek o końcach leżących na sferze. Cięciwa przechodząca przez środek sfery (kuli), to średnica

R1IzPlhNQuBI31
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 1

Promień kuli jest równy 8,5  dm .

  1. Określ długość średnicy kuli.

  2. Określ największą odległość dwóch punktów leżących na sferze tej kuli.

  3. Czy cięciwa tej kuli może mieć długość 16  cm , 17  cm , 18  cm ?

ihjzydUnZ5_d5e234

Przekroje kuli

Przykład 4

Przetnij pomarańczę na dwie części. Jakie kształty mają tak otrzymane przekroje?

R1Ti1i1hQle0E1
Tutaj wprowadź tekst związany z wersją klasyczną (atrybut opcjonalny).

Przekrojem kuli jest koło (lub punkt). Jeśli płaszczyzna przecinająca kulę przechodzi przez jej środek, to otrzymany przekrój nazywamy kołem wielkim kuli. Płaszczyzna ta dzieli kule na dwie półkule.

RgavXwtXuj76u1
Tutaj wprowadź tekst związany z wersją klasyczną (atrybut opcjonalny).
Przykład 5

Pole koła wielkiego kuli jest równe 0,16 π   mm 2 . Oblicz średnicę tej kuli.
Obliczamy promień r koła wielkiego kuli.

RR4isVPsTNXgB1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
π r 2 = 0,16 π
r 2 = 0,16
r = 0,16
r = 0,4   mm

bo

r > 0

Średnica d kuli jest równa średnicy koła wielkiego.

d = 2 0,4
d = 0,8   mm

Średnica kuli jest równa 0,8   mm .

Przykład 6

Promień kuli jest równy 15   cm . W odległości 9   cm od płaszczyzny koła wielkiego tej kuli poprowadzono przekrój. Oblicz obwód tego przekroju.

R1Uy2prxgu99d1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Aby obliczyć obwód przekroju, obliczymy najpierw jego promień r.
Zauważmy, że trójkąt utworzony przez promień kuli, promień przekroju i odcinek łączący przekroje kuli i prostopadły do nich, jest prostokątny.
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

r 2 + 9 2 = 1 5 2
r 2 = 225 - 81
r = 144
r = 12   cm

Obliczamy teraz obwód przekroju.

2 πr = 2 π 12 = 24 π

Obwód przekroju jest równy 24 π   cm .

Pole powierzchni kuli

RjekX1aWUkfIl11
Animacja przedstawia wyprowadzenie wzoru na pole powierzchni kuli. Znając wzór na objętość kuli można wyznaczyć pole powierzchni kuli. W tym celu dzielimy powierzchnię kuli na jednakowe trójkąty krzywoliniowe, tworząc tzw. triangulację powierzchni kuli. Twórzmy na bazie takich trójkątów ostrosłup. Jego podstawą nie jest dokładnie trójkąt. Wysokość ostrosłupa w przybliżeniu jest równa długości promienia kuli. Objętość ostrosłupa jest równa jednej trzeciej pola trójkąta podstawy razy wysokość, czyli długość promienia kuli. Po dokonaniu triangulacji powierzchni kuli uzyskamy n takich ostrosłupów. Zatem suma ich objętości daje objętość kuli. Wobec tego V kuli = jedna trzecia razy R kuli razy suma wszystkich powierzchni ostrosłupów. Wiemy, że V kuli = cztery trzecie pi R do potęgi trzeciej. Stąd po podzieleniu stronami przez jedną trzecią razy R otrzymujemy, że P kuli = 4 pi R do potęgi drugiej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 7

Obierz pomarańczę. Czy możesz tak otrzymane skórki rozłożyć płasko na stole?

Ciekawostka

Archimedes (ok. 287     212 p.n.e.) był greckim filozofem, przyrodnikiem i matematykiem. Odkrył prawo wyporu, zwane dzisiaj prawem Archimedesa. Wynalazł między innymi organy wodne, wielokrążek, przenośnik śrubowy (urządzenie do przemieszczania materiałów sypkich lub cieczy).
Wyprowadził wzór na obliczenie pola powierzchni kuli, wykorzystując nowatorskie pomysły, które obecnie wchodzą w zakres rachunku różniczkowego i całkowego.
Archimedes wykazał, że pole powierzchni kuli jest czterokrotnie większe od pola jej koła wielkiego.

Ważne!

Pole powierzchni kuli
Pole P powierzchni kuli o promieniu R jest równe

P = 4 π R 2
Przykład 8
R1VXEbLYILg8j1
Przykład 9

Na toczek w kształcie półkuli zużyto 450  c m 2 filcu. Jaki obwód ma głowa osoby, dla której go wykonano?
Obliczymy promień R półkuli, w kształcie której jest toczek.

2 π R 2 = 450
π R 2 = 225
R = 225 π = 15 π

Obliczamy obwód głowy osoby, dla której wykonano toczek.

2 πR = 2 π 15 π = 30 π 30 3,14 53

Obwód głowy osoby, dla której wykonano toczek, jest równy około 53  cm .

ihjzydUnZ5_d5e409

Objętość kuli

R1VVLXb4w567z11
Animacja przedstawia metodę jaką zastosował Archimedes do wyznaczenia objętości kuli. Wykreślmy kulę o promieniu R i walec o tym samym promieniu i wysokości 2R. Obie bryły mają tą samą wysokość. W walcu umieśćmy dwa stożki o wspólnym wierzchołku. Podstawy stożków są podstawami walca a wysokości ich wynoszą R. Tworzą one coś w rodzaju zegara zwanego klepsydrą. Przekrojem poprzecznym kuli jest koło a przekrojem poprzecznym obszaru zawartego między walcem a stożkiem jest pierścień kołowy. Pole przekroju kuli równa się pi r do potęgi 2 i jest równe pi razy (R do potęgi drugiej minus h do potęgi drugiej), gdzie r – promień przekroju koła, R – promień kuli i h – odległość przekroju kuli od środka tej kuli. Natomiast pole pierścienia kołowego = pi R do potęgi drugiej minus pi razy h do potęgi drugiej, gdzie R – promień przekroju walca w postaci koła, h odległość tego przekroju od wierzchołka stożka umieszczonego w nim. Skorzystajmy z zasady, którą odkrył ok 250 r. p.n.e. Archimedes, a stosował w XVII wieku włoski matematyk Bonawentura Cavalieri. Twierdzenie Archimedesa – Cavalieriego brzmi: Dwie bryły mają tę samą objętość, jeśli przekroje tych brył na tej samej wysokości mają te same pola. Ponieważ wszystkie przekroje kuli i bryły ograniczonej walcem i dwoma stożkami mają na tej samej wysokości równe pola, więc objętość kuli jest równa objętości obszaru zawartego między walcem i dwoma stożkami. Zatem V kuli = V walca – 2 razy V stożka = pi razy R do potęgi drugiej razy 2R -2 razy (jedna trzecia pi razy R do potęgi drugiej) = cztery trzecie pi R do potęgi trzeciej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 10
RYDXj2a5CsUDD1
Ważne!

Objętość kuli
Objętość V kuli o promieniu R jest równa

V = 4 3 π R 3
Ciekawostka

Objętość kuli można obliczyć zgodnie z zasadą siedemnastowiecznego matematyka włoskiego  Bonaventury Cavalieriego.
Na podstawie rozważań Cavaleriego można wywnioskować, że objętość półkuli o promieniu R jest równa różnicy objętości walca o promieniu podstawy R oraz wysokości R i objętości stożka o promieniu podstawy R i wysokości R .

RsXIbMsEONha01
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 11

Kula z ciasta ma promień 1,2 dm. Ile ciasteczek w kształcie kulek o promieniu 2 cm każde można otrzymać z tego ciasta?
Obliczamy najpierw objętość dużej kuli ciasta.

1,2 dm = 12 cm 
V=43π123
V=43π1728
V=2304π cm3

Teraz obliczamy objętość ciasteczka.

VC=43π23
VC=323π cm3

Obliczamy, ile ciasteczek można otrzymać z dużej kuli ciasta.

2304:323=2304332=216

Z ciasta można otrzymać 216 ciasteczek.

Przykład 12

Objętość kuli jest równa 288 π . Oblicz pole powierzchni tej kuli.
Obliczamy najpierw promień R  kuli.

4 3 π R 3 = 288 π / : 4 3 π
R 3 = 216
R = 216 3 = 6

Możemy już obliczyć pole powierzchni kuli.

P = 4 π R 2
P = 4 π 6 2
P = 144 π

Pole powierzchni kuli jest równe 144 π .

1
Ciekawostka
R7w39jGSs08xV1
Animacja przedstawia dowód odkrycia Archimedesa dotyczącego kuli wpisanej w walec. Dany jest walec z wpisaną w niego kulą. Promień kuli i promień podstawy walca to odcinek długości R. Obliczamy objętość kuli i objętość walca. V walca równa się pi razy R do potęgi drugiej równa się 2 pi R do potęgi trzeciej. V kuli równa się cztery trzecie pi R do potęgi trzeciej. Wyznaczamy stosunek objętości walca do objętości kuli wpisanej w walec. Po dokonaniu przekształceń otrzymujemy wynik trzy drugie. Stosunek pola kuli wpisanej w walec do pola tego walca jest taki sam jak stosunek ich objętości. Do walca możemy wpisać stożek o tej samej wysokości i tym samym promieniu co walec, Jego objętość jest równa jedna trzecia objętości walca. Zatem stosunek objętości stożka do objętości kuli do objętości walca jest równa jeden do dwóch do trzech.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
1A
Ćwiczenie 2

Uzupełnij, wpisując odpowiednie liczby.

Tabela. Dane

Pole powierzchni kuli

o promieniu 6 jest równe

o średnicy 10 jest równe

O promieniu 0,5 jest równe

O średnicy 2 jest równe

. π 
. . π 
. π 
π   
A
Ćwiczenie 3

Promień kuli jest równy 1 1 4 .

  1. Pole koła wielkiego tej kuli jest równe …

  2. Pole powierzchni kuli jest równe …

  3. Objętość kuli jest równa …

R13QZJz4VWdHB
Ćwiczenie 4
zadanie interaktywne
ihjzydUnZ5_d5e653
RQQVWqoCjcMN1
Ćwiczenie 5
Objętość jednej piłeczki do tenisa ziemnego wynosi 1023π cm3.
Średnica tej piłeczki jest równa: Możliwe odpowiedzi: 1. 40  mm , 2. 20  mm , 3. 80  mm , 4. 60  mm
A
Ćwiczenie 6

Średnice wewnętrzne dwóch doniczek wynoszą odpowiednio: 42  cm 60  cm . W której doniczce mieści się więcej ziemi i o ile cm 2 ?

A
Ćwiczenie 7

Pole powierzchni nadmuchanego balona jest równe 9856    cm 2 . Ile  m 3 powietrza mieści się w tym balonie? Przyjmij π = 22 7 . Wynik podaj z dokładnością do 0,001    m 3 .

B
Ćwiczenie 8

Do pustego akwarium w kształcie półkuli wlano 4  l wody.
Akwarium wypełnione jest teraz w  90 % wodą. Ile dm 2 szkła użyto na jego wykonanie?

B
Ćwiczenie 9

Zapisz, jak zmieni się objętość kuli, gdy jej promień

  1. zwiększono dwukrotnie

  2. zwiększono pięciokrotnie

  3. zmniejszono dwukrotnie

  4. zmniejszono trzykrotnie

A
Ćwiczenie 10

Oblicz pole powierzchni i objętość kuli, gdy

  1. średnica kuli jest równa 10 cm

  2. pole koła wielkiego jest równe 81π dm2

B
Ćwiczenie 11

Świeczkę w kształcie walca przetopiono na świeczkę w kształcie kuli. Oblicz promień tej kuli.
Wynik podaj z dokładnością do 0,01  cm .

RKwbkiVcUYd5L1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 12

Promień kuli jest równy 15  cm . W  jakiej odległości od płaszczyzny koła wielkiego tej kuli poprowadzono jej przekrój, jeśli obwód tego przekroju wynosi 24 π ?

B
Ćwiczenie 13

Pole powierzchni całkowitej półkuli wynosi 60 π . Oblicz objętość i pole powierzchni całej kuli.

ihjzydUnZ5_d5e895
B
Ćwiczenie 14

Kulę o średnicy 10 cm przecięto na dwie jednakowe części. Jakie pole powierzchni ma każda z otrzymanych półkuli ?

B
Ćwiczenie 15

Z kuli o promieniu 5  cm odcięto czaszę w odległości 3  cm od środka kuli. Oblicz stosunek pola powierzchni otrzymanego przekroju do pola koła wielkiego.

A
Ćwiczenie 16

Przekrój osiowy kuli ma pole powierzchni równe 16 π . Oblicz pole P powierzchni i objętość V tej kuli.

R1rMqHAGwr6gF
Ćwiczenie 17
Obwód koła wielkiego kuli jest równy 16   π .
Jakie pole powierzchni ma ta kula? Możliwe odpowiedzi: 1. 24 3   π , 2. 32 3   π , 3. 256 π , 4. 8 3   π
B
Ćwiczenie 18

Koło o obwodzie 20  π obraca się wokół swojej średnicy. Jakie pole ma koło wielkie otrzymanej kuli?

C
Ćwiczenie 19

Jaką figurę otrzymamy, obracając okrąg wokół jego średnicy?

A
Ćwiczenie 20

Do pojemnika w kształcie sześcianu o krawędzi 10  cm włożono kulkę o średnicy 6  cm . Jaką część pojemności sześcianu zajmuje kula ?

B
Ćwiczenie 21

Do menzurki w kształcie walca o średnicy podstawy równej 12  mm wrzucono metalową kulkę o promieniu 2  mm . Ile wody należy wlać do tej menzurki, aby kulka była zakryta?

C
Ćwiczenie 22

Niech VK będzie objętością kuli o promieniu R , a  VS objętością stożka o promieniu podstawy R oraz wysokości też R . Oblicz stosunek VK  :  V S .

A
Ćwiczenie 23

Kula i stożek mają jednakowe objętości. Kula ma promień długości 6  cm . Promień podstawy stożka ma długość 8  cm . Oblicz wysokość stożka?

R15PXNya5ZJeK
Ćwiczenie 24
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Możliwe odpowiedzi: 1. Przekrój kuli może być punktem., 2. Każdy przekrój kuli jest okręgiem., 3. Objętość kuli jest proporcjonalna do sześcianu promienia kuli.
Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida