II. Operations on the natural numbers. The student:
9) factorises two‑digit numbers into primes;
13) finds the greatest common divisorthe greatest common divisorthe greatest common divisor (GCD) in the less difficult situation than GCD(600, 72), GCD(140, 567), GCD(10000, 48), GCD(910, 2016) and he determines the least common multiplethe least common multiplethe least common multiple of two natural numbers using the method of prime factorization;
16) factorises the natural numbers into primes in a case one of the factors is the number larger than 10.
The teacher prepares a set of three cards containing one of the following letters : A, B or C.
Revision of the prime and composite numbers, prime factorization dividers and multiples of natural numbers and the divisibility while playing the learning game.
The students work in groups of 3 or 4 people. They think of the team’s name and write it on the board. The teacher gives the question of the quiz in a form of a slideshow. The team who first gives the correct answer gets a point. The teacher writes the points on the board. The winner is the team which gets the greatest number of points.
The teacher introduces the topic of the lesson: indicating the greatest common divisorthe greatest common divisorthe greatest common divisor and the least common multiplethe least common multiplethe least common multiple. They are going to use the prime factorization.
Task 1
Pair work. The students are going to indicate the greatest common divisors of the numbers 60 and 72. The students factorise given numbers into the primes: the first student the number 60 the other 72. Next, they circle in the factorization of the number 72 the prime factors which are repeated in both factorizations. The product of them isthe greatest common divisorthe greatest common divisorthe greatest common divisor of the numbers 60 and 72.
After completing the task the students compare the results with the illustration.
[Illustration 1]
The students use the knowledge they have gained, they work individually and indicate the greatest common divisor of two numbers.
Pair work. The students are going to indicate the least common multiplethe least common multiplethe least common multiple of the numbers 60 and 72. The students swap the numbers they have factorized , the first student factorize the number 60, the other the number 72. Next in the prime factorization of the number 60 they cross out all the prime factors which also appear in the number 72. The product of all left factors is the least common multiple of these two numbers.
After completing the task the students compare the results with the illustration.
[Illustration 2]
Task 4
Use the prime factorization to indicate: a) LCM (48,80), b) LCM (50,140), c) LCM (110,165).
Task 5
Find number M whose the prime factorization contains only two 2, two 5 and one 11.
Find number N whose the prime factorization contains only two 2, two 3 and two 5.
Using any methods you like factorise into primes the number 180. On the basis of the factorization you have obtained write down all the divisors of the number 180.
- największy wspólny dzielnik oraz najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb naturalnych można obliczyć wykorzystując rozkład tych liczb na czynniki pierwsze, - iloczyn wszystkich powtarzających się czynników pierwszych obu liczb jest największym wspólnym dzielnikiem tych liczb, - iloczyn wszystkich niepowtarzających się czynników pierwszych obu liczb jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.
mf1b0e9bde0205c6c_1528449000663_0
Największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność
mf1b0e9bde0205c6c_1528449084556_0
Drugi
mf1b0e9bde0205c6c_1528449076687_0
II. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń:
9) rozkłada liczby dwucyfrowe na czynniki pierwsze;
13) znajduje największy wspólny dzielnik (NWD) w sytuacjach nie trudniejszych niż typu NWD(600, 72), NWD(140, 567), NWD(10000, 48), NWD(910, 2016) wyznacza najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb naturalnych metodą rozkładu na czynniki;
16) rozkłada liczby naturalne na czynniki pierwsze, w przypadku gdy co najwyżej jeden z tych czynników jest liczbą większą niż 10.
mf1b0e9bde0205c6c_1528449068082_0
45 minut
mf1b0e9bde0205c6c_1528449523725_0
Odczytywanie i interpretowanie danych przedstawionych w różnej formie oraz ich przetwarzanie.
mf1b0e9bde0205c6c_1528449552113_0
1. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika metodą rozkładu na czynniki pierwsze.
2. Wyznaczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności metodą rozkładu na czynniki pierwsze.
3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
mf1b0e9bde0205c6c_1528450430307_0
Uczeń:
- rozkłada liczby naturalne na czynniki pierwsze,
- stosuje rozkład na czynniki pierwsze do wyznaczania największego wspólnego dzielnika oraz najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb.
mf1b0e9bde0205c6c_1528449534267_0
1. Gra edukacyjna.
2. Analiza sytuacyjna.
mf1b0e9bde0205c6c_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca w grupach.
mf1b0e9bde0205c6c_1528450135461_0
mf1b0e9bde0205c6c_1528450127855_0
Nauczyciel przygotowuje, dla każdej z grup, zestaw trzech sztywnych kartoników zawierających jedną z liter: A, B lub C.
Uczniowie powtarzają wiadomości dotyczące liczb pierwszych i złożonych, rozkładu liczb na czynniki pierwsze, dzielników i wielokrotności liczb naturalnych oraz cech podzielności liczb, uczestnicząc w grze edukacyjnej.
Uczniowie pracują w grupach 3‑4 osobowych. Wymyślają nazwę swojej drużyny i zapisują ją na tablicy. Nauczyciel wyświetla pytania quizowe w postaci pokazu slajdów. Punkt zdobywa drużyna, która jako pierwsza podniesie kartonik z literą przypisaną do prawidłowej odpowiedzi. Nauczyciel zapisuje punkty zdobyte przez drużynę przy jej nazwie. Wygrywa drużyna, która zdobędzie najwięcej punktów.
mf1b0e9bde0205c6c_1528446435040_0
Nauczyciel informuje uczniów, że na zajęciach będą wyznaczać największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb, wykorzystując metodę rozkładu na czynniki pierwsze.
Polecenie 1
Praca w parach. Zadaniem uczniów jest wyznaczenie największego wspólnego dzielnika liczb 60 i 72. Pierwszy uczeń rozkłada na czynniki pierwsze liczbę 60, drugi - liczbę 72. Następnie, w rozkładzie liczby 72, uczniowie otaczają kółkiem czynniki pierwsze, powtarzające się w obu rozkładach. Ich iloczyn, jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 60 i 72.
Po wykonanym ćwiczeniu, uczniowie porównują uzyskane rezultaty z ilustracją.
[Ilustracja 1]
Wykorzystując zdobytą wiedzę, uczniowie samodzielnie wyznaczają największy wspólny dzielnik dwóch liczb.
Polecenie 2
Metodą rozkładu na czynniki pierwsze wyznacz: a) NWD (48,160), b) NWD (100,135), c) NWD (225,300).
Polecenie 3
Praca w parach. Zadaniem uczniów jest wyznaczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 60 i 72. Uczeń, który wcześniej rozkładał na czynniki pierwsze liczbę 60, teraz rozkłada na czynniki pierwsze liczbę 72 i odwrotnie. Następnie w rozkładzie liczby 60, uczniowie skreślają wszystkie te czynniki pierwsze, które występują również w rozkładzie liczby 72. Iloczyn wszystkich nieskreślonych czynników pierwszych obu liczb jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.
Po wykonanym ćwiczeniu, uczniowie porównują uzyskane rezultaty z ilustracją.
[Ilustracja 2]
Polecenie 4
Metodą rozkładu na czynniki pierwsze wyznacz: a) NWW (48,80), b) NWW (50,140), c) NWW (110,165).
Polecenie 5
Znajdź taką liczbę M, której rozkład na czynniki pierwsze zawiera wyłącznie dwie dwójki, dwie piątki i jedną jedenastkę.
Znajdź taką liczbę N, której rozkład na czynniki pierwsze zawiera wyłącznie dwie dwójki, dwie trójki i dwie piątki.
Wyznacz największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność liczb M i N.
Polecenie dla chętnych:
Rozłóż na czynniki pierwsze, dowolnym sposobem, liczbę 180. Na podstawie otrzymanego rozkładu wypisz wszystkie dzielniki liczby 180.
mf1b0e9bde0205c6c_1528450119332_0
Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.
Następnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.
- największy wspólny dzielnik oraz najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb naturalnych można obliczyć wykorzystując rozkład tych liczb na czynniki pierwsze, - iloczyn wszystkich powtarzających się czynników pierwszych obu liczb jest największym wspólnym dzielnikiem tych liczb, - iloczyn wszystkich niepowtarzających się czynników pierwszych obu liczb jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.
the greatest common divisor1
the greatest common divisor
największy wspólny dzielnik dwóch liczb
R16gQbJdm21Sx1
wymowa w języku angielskim: the greatest common divisor
wymowa w języku angielskim: the greatest common divisor