Temat

Największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność

Etap edukacyjny

Drugi

Podstawa programowa

II. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń:

9) rozkłada liczby dwucyfrowe na czynniki pierwsze;

13) znajduje największy wspólny dzielnik (NWD) w sytuacjach nie trudniejszych niż typu NWD(600, 72), NWD(140, 567), NWD(10000, 48), NWD(910, 2016) wyznacza najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb naturalnych metodą rozkładu na czynniki;

16) rozkłada liczby naturalne na czynniki pierwsze, w przypadku gdy co najwyżej jeden z tych czynników jest liczbą większą niż 10.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Odczytywanie i interpretowanie danych przedstawionych w różnej formie oraz ich przetwarzanie.

Cele szczegółowe

1. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika metodą rozkładu na czynniki pierwsze.

2. Wyznaczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności metodą rozkładu na czynniki pierwsze.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- rozkłada liczby naturalne na czynniki pierwsze,

- stosuje rozkład na czynniki pierwsze do wyznaczania największego wspólnego dzielnika oraz najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb.

Metody kształcenia

1. Gra edukacyjna.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel przygotowuje, dla każdej z grup, zestaw trzech sztywnych kartoników zawierających jedną z liter: A, B lub C.

Uczniowie powtarzają wiadomości dotyczące liczb pierwszych i złożonych, rozkładu liczb na czynniki pierwsze, dzielników i wielokrotności liczb naturalnych oraz cech podzielności liczb, uczestnicząc w grze edukacyjnej.

Uczniowie pracują w grupach 3‑4 osobowych. Wymyślają nazwę swojej drużyny i zapisują ją na tablicy. Nauczyciel wyświetla pytania quizowe w postaci pokazu slajdów. Punkt zdobywa drużyna, która jako pierwsza podniesie kartonik z literą przypisaną do prawidłowej odpowiedzi. Nauczyciel zapisuje punkty zdobyte przez drużynę przy jej nazwie. Wygrywa drużyna, która zdobędzie najwięcej punktów.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na zajęciach będą wyznaczać największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb, wykorzystując metodę rozkładu na czynniki pierwsze.

Polecenie 1

Praca w parach. Zadaniem uczniów jest wyznaczenie największego wspólnego dzielnika liczb 60 i 72. Pierwszy uczeń rozkłada na czynniki pierwsze liczbę 60, drugi - liczbę 72. Następnie, w rozkładzie liczby 72, uczniowie otaczają kółkiem czynniki pierwsze, powtarzające się w obu rozkładach. Ich iloczyn, jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 60 i 72.

Po wykonanym ćwiczeniu, uczniowie porównują uzyskane rezultaty z ilustracją.

[Ilustracja 1]

Wykorzystując zdobytą wiedzę, uczniowie samodzielnie wyznaczają największy wspólny dzielnik dwóch liczb.

Polecenie 2

Metodą rozkładu na czynniki pierwsze wyznacz:
a) NWD (48,160),
b) NWD (100,135),
c) NWD (225,300).

Polecenie 3

Praca w parach. Zadaniem uczniów jest wyznaczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 60 i 72. Uczeń, który wcześniej rozkładał na czynniki pierwsze liczbę 60, teraz rozkłada na czynniki pierwsze liczbę 72 i odwrotnie. Następnie w rozkładzie liczby 60, uczniowie skreślają wszystkie te czynniki pierwsze, które występują również w rozkładzie liczby 72. Iloczyn wszystkich nieskreślonych czynników pierwszych obu liczb jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.

Po wykonanym ćwiczeniu, uczniowie porównują uzyskane rezultaty z ilustracją.

[Ilustracja 2]

Polecenie 4

Metodą rozkładu na czynniki pierwsze wyznacz:
a) NWW (48,80),
b) NW W(50,140),
c) NWW (110,165).

Polecenie 5

Znajdź taką liczbę M, której rozkład na czynniki pierwsze zawiera wyłącznie dwie dwójki, dwie piątki i jedną jedenastkę.

Znajdź taką liczbę N, której rozkład na czynniki pierwsze zawiera wyłącznie dwie dwójki, dwie trójki i dwie piątki.

Wyznacz największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność liczb M i N.

Polecenie dla chętnych:

Rozłóż na czynniki pierwsze, dowolnym sposobem, liczbę 180. Na podstawie otrzymanego rozkładu wypisz wszystkie dzielniki liczby 180.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.

- największy wspólny dzielnik oraz najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb naturalnych można obliczyć wykorzystując rozkład tych liczb na czynniki pierwsze,
- iloczyn wszystkich powtarzających się czynników pierwszych obu liczb jest największym wspólnym dzielnikiem tych liczb,
- iloczyn wszystkich niepowtarzających się czynników pierwszych obu liczb jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.