VIII. Properties of planar geometric figures. The student:
8) knows and uses the Pythagorean theoremtheoremtheorem in practical situation (without the converse of the theoremconverse of the theoremconverse of the theorem).
Together the students sum‑up and order the information they gathered.
- A theoremtheoremtheorem is a sentence that describes a fact, correlation or equality that can be proved using the known, previously established statements.
- The first part of such sentence is an assumptionassumptionassumption that describes the conditions under which the theoremtheoremtheorem is true.
- The second part is a thesisthesisthesis that includes the property that occurs when the conditions described in the assumption are fulfilled.
Task Identify the assumptionassumptionassumption and the thesisthesisthesis in the theorems below.
- If the angles are congruent, the measure of their angles is the same.
- If a natural number is divided by 6 then this number is also divided by 2.
- If a triangle is an isosceles one, then all its angles are 60°.
Task Students change the order of the simple sentences of the theorems from the previous task.
They consider, if the sentences created in such a way are also theorems. Are they true?
Together they construct the definition of the converse of the theoremconverse of the theoremconverse of the theorem.
Task Students write down the statements below as a conditional sentence, using the phrase „If … then …”. They identify the assumptionassumptionassumption and the thesisthesisthesis in each of the obtained theorems. They decide, if it is true or false.
- In the rhombus the diagonals are perpendicular.
- A natural number divided by 9 is also divided by 3.
- In an isosceles triangle the interior angles are equal.
Task Students work individually using computers. Their task is to deicde, if the theoremtheoremtheorem and its converse of the theoremconverse of the theoremconverse of the theorem are true.
Task Students give the example of a true theoremtrue theoremtrue theorem and its converse of the theoremconverse of the theoremconverse of the theorem, i.e. a false theoremfalse theoremfalse theorem. Together they exchange their ideas.
Task Students make a chain of associations in which they fill in the gaps with the terms they learnt during the class.
Then together they sum‑up the classes, by formulating the conclusions to memorise.
- A theoremtheoremtheorem is a sentence that describes a fact, correlation or equality that can be proved using the known, previously established statements.
- The first part of such sentence is an assumptionassumptionassumption that describes the conditions under which the theorem is true.
- The second part is a thesisthesisthesis that includes the property that occurs when the conditions described in the assumption are fulfilled.
- A theorem that is converse to the T theoremtheoremtheorem exists when the assumption of the T theorem is the thesis and the thesis of the T theorem is the assumption.
- A theorem is true if we can prove it. Proving a theoremtheoremtheorem is using the assumptionassumptionassumption and a reasoning to obtain the thesisthesisthesis if the statement is correct..
Selected words and expressions used in the lesson plan
- Twierdzenie uznajemy za prawdziwe, jeżeli potrafimy je udowodnić. Dowodzenie twierdzenia polega na wykorzystaniu założenia i przeprowadzeniu takiego rozumowania, z którego wyniknie teza jeżeli twierdzenie jest prawidłowe.
Jeżeli czworokąt jest kwadratem, to jego przekątne przecinają się pod kątem prostym. Jeżeli w czworokącie przekątne przecinają się pod kątem prostym, to jest on kwadratem.
me559cf259d78dd12_1528449000663_0
Twierdzenia ich rodzaje
me559cf259d78dd12_1528449084556_0
drugi
me559cf259d78dd12_1528449076687_0
VIII. Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie. Uczeń:
8) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych twierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia odwrotnego).
me559cf259d78dd12_1528449068082_0
45 minut
me559cf259d78dd12_1528449523725_0
Używanie prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretowanie pojęć matematycznych i operowanie obiektami matematycznymi.
me559cf259d78dd12_1528449552113_0
1. Wskazywanie założenia i tezy w twierdzeniu.
2. Tworzenie twierdzenia odwrotnego do danego i określanie, czy jest prawdziwe, czy fałszywe.
3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
me559cf259d78dd12_1528450430307_0
Uczeń:
- wskazuje założenie i tezę w twierdzeniu,
- tworzy twierdzenie odwrotnego do danego i określa, czy jest prawdziwe, czy fałszywe.
me559cf259d78dd12_1528449534267_0
1. Dyskusja.
2. Łańcuch skojarzeń.
me559cf259d78dd12_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca zbiorowa.
me559cf259d78dd12_1528450135461_0
me559cf259d78dd12_1528450127855_0
Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji poznają budowę twierdzenia i rodzaje twierdzeń.
Polecenie Uczniowie, korzystając z zasobów internetowych zapoznają się z przykładami twierdzeń i ich budową.
me559cf259d78dd12_1528446435040_0
Uczniowie wspólnie podsumowują i porządkują zebrane informacje:
- Twierdzeniem nazywamy zdanie, które opisuje jakiś fakt, zależność lub równość, które potrafimy dowieść, korzystając ze znanych, wcześniej uzasadnionych prawd.
- Pierwsza część takiego zdania to założenie, które opisuje warunki, przy których spełnione jest twierdzenie.
- Druga część, to teza zawierająca własność, która zachodzi, gdy spełnione są warunki opisane w założeniu.
Polecenie W podanych twierdzeniach uczniowie wskazują założenie i tezę:
- Jeżeli kąty są odpowiadające, to ich miary są równe.
- Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez 6, to ta liczba jest podzielna również przez 2.
- Jeżeli trójkąt jest równoboczny, to wszystkie jego kąty mają po 60°.
Polecenie Uczniowie zmieniają kolejność zdań pojedynczych, z których zbudowane były twierdzenia, podane w poprzednim poleceniu.
Zastanawiają się czy powstałe w ten sposób zdania też są twierdzeniami. Czy są prawdziwe?
Wspólnie ustalają określenie twierdzenia odwrotnego.
- Twierdzenie odwrotne do twierdzenia T jest wtedy, gdy założenie twierdzenia T jest tezą, a teza twierdzenia T jest założeniem.
Polecenie Uczniowie zapisują podane stwierdzenia w formie zdań warunkowych, korzystając ze spójnika „Jeżeli ….to …..”. Wskazują w każdym z powstałych twierdzeń założenie i tezę. Określają jego prawdziwość.
- W rombie przekątne są prostopadłe.
- Liczba naturalna podzielna przez 9 jest podzielna przez 3.
- W trójkącie równobocznym miary kątów wewnętrznych są równe.
- Twierdzenie uznajemy za prawdziwe, jeżeli potrafimy je udowodnić. Dowodzenie twierdzenia polega na wykorzystaniu założenia i przeprowadzeniu takiego rozumowania, z którego wyniknie teza jeżeli twierdzenie jest prawidłowe.
Polecenie Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów.
Ich zadaniem jest określanie prawdziwości twierdzenia i twierdzenia odwrotnego.
[Geogebra aplet]
Jeżeli czworokąt jest kwadratem, to jego przekątne przecinają się pod kątem prostym. Jeżeli w czworokącie przekątne przecinają się pod kątem prostym, to jest on kwadratem.
Polecenie Uczniowie podają przykład twierdzenia prawdziwego i twierdzenia odwrotnego do danego, które będzie fałszywe. Wspólnie dzielą się swoimi pomysłami.
Polecenie Uczniowie tworzą łańcuch skojarzeń, w którym uzupełniają puste ogniwa poznanymi na lekcji terminami.
me559cf259d78dd12_1528450119332_0
Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.
Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania:
- Twierdzeniem nazywamy zdanie, które opisuje jakiś fakt, zależność lub równość, którą potrafimy dowieść, korzystając ze znanych, wcześniej uzasadnionych prawd.
- Pierwsza część takiego zdania to założenie, które opisuje warunki, przy których spełnione jest twierdzenie.
- Druga część, to teza zawierająca własność, która zachodzi, gdy spełnione są warunki opisane w założeniu.
- Twierdzenie odwrotne do twierdzenia T jest wtedy, gdy założenie twierdzenia T jest tezą, a teza twierdzenia T jest założeniem.
- Twierdzenie uznajemy za prawdziwe, jeżeli potrafimy je udowodnić. Dowodzenie twierdzenia polega na wykorzystaniu założenia i przeprowadzeniu takiego rozumowania, z którego wyniknie teza jeżeli twierdzenie jest prawidłowe.