Temat

Twierdzenia ich rodzaje

Etap edukacyjny

Drugi

Podstawa programowa

VIII. Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie. Uczeń:

8) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych twierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia odwrotnego).

Czas

45 minut

Cel ogólny

Używanie prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretowanie pojęć matematycznych i operowanie obiektami matematycznymi.

Cele szczegółowe

1. Wskazywanie założenia i tezy w twierdzeniu.

2. Tworzenie twierdzenia odwrotnego do danego i określanie, czy jest prawdziwe, czy fałszywe.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- wskazuje założenie i tezę w twierdzeniu,

- tworzy twierdzenie odwrotnego do danego i określa, czy jest prawdziwe, czy fałszywe.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Łańcuch skojarzeń.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji poznają budowę twierdzenia i rodzaje twierdzeń.

Polecenie
Uczniowie, korzystając z zasobów internetowych zapoznają się z przykładami twierdzeń i ich budową.

Realizacja lekcji

Uczniowie wspólnie podsumowują i porządkują zebrane informacje.

- Twierdzeniem nazywamy zdanie, które opisuje jakiś fakt, zależność lub równość, które potrafimy dowieść, korzystając ze znanych, wcześniej uzasadnionych prawd.

- Pierwsza część takiego zdania to założenie, które opisuje warunki, przy których spełnione jest twierdzenie.

- Druga część, to teza zawierająca własność, która zachodzi, gdy spełnione są warunki opisane w założeniu.

Polecenie
W podanych twierdzeniach uczniowie wskazują założenie i tezę.

- Jeżeli kąty są odpowiadające, to ich miary są równe.

- Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez 6, to ta liczba jest podzielna również przez 2.

- Jeżeli trójkąt jest równoboczny, to wszystkie jego kąty mają po 60°.

Polecenie
Uczniowie zmieniają kolejność zdań pojedynczych, z których zbudowane były twierdzenia, podane w poprzednim poleceniu.

Zastanawiają się czy powstałe w ten sposób zdania też są twierdzeniami. Czy są prawdziwe?

Wspólnie ustalają określenie twierdzenia odwrotnego.

- Twierdzenie odwrotne do twierdzenia T jest wtedy, gdy założenie twierdzenia T jest tezą, a teza twierdzenia T jest założeniem.

Polecenie
Uczniowie zapisują podane stwierdzenia w formie zdań warunkowych, korzystając ze spójnika „Jeżeli … to …”. Wskazują w każdym z powstałych twierdzeń założenie i tezę. Określają jego prawdziwość.

- W rombie przekątne są prostopadłe.

- Liczba naturalna podzielna przez 9 jest podzielna przez 3.

- W trójkącie równobocznym miary kątów wewnętrznych są równe.

- Twierdzenie uznajemy za prawdziwe, jeżeli potrafimy je udowodnić. Dowodzenie twierdzenia polega na wykorzystaniu założenia i przeprowadzeniu takiego rozumowania, z którego wyniknie teza jeżeli twierdzenie jest prawidłowe.

Polecenie
Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów.

Ich zadaniem jest określanie prawdziwości twierdzenia i twierdzenia odwrotnego.

[Geogebra aplet]

Jeżeli czworokąt jest kwadratem, to jego przekątne przecinają się pod kątem prostym. Jeżeli w czworokącie przekątne przecinają się pod kątem prostym, to jest on kwadratem.

Polecenie
Uczniowie podają przykład twierdzenia prawdziwego i twierdzenia odwrotnego do danego, które będzie fałszywe. Wspólnie dzielą się swoimi pomysłami.

Polecenie
Uczniowie tworzą łańcuch skojarzeń, w którym uzupełniają puste ogniwa poznanymi na lekcji terminami.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.

- Twierdzeniem nazywamy zdanie, które opisuje jakiś fakt, zależność lub równość, którą potrafimy dowieść, korzystając ze znanych, wcześniej uzasadnionych prawd.

- Pierwsza część takiego zdania to założenie, które opisuje warunki, przy których spełnione jest twierdzenie.

- Druga część, to teza zawierająca własność, która zachodzi, gdy spełnione są warunki opisane w założeniu.

- Twierdzenie odwrotne do twierdzenia T jest wtedy, gdy założenie twierdzenia T jest tezą, a teza twierdzenia T jest założeniem.

- Twierdzenie uznajemy za prawdziwe, jeżeli potrafimy je udowodnić. Dowodzenie twierdzenia polega na wykorzystaniu założenia i przeprowadzeniu takiego rozumowania, z którego wyniknie teza.