Liczba elementów zbioru skończonego
Liczba elementów zbioru skończonego
W poniższych przykładach zajmiemy się obliczaniem liczby elementów pewnych zbiorów skończonych.
Zauważmy na wstępie, że w zbiorze, do którego należą wszystkie kolejne liczby naturalne od do , jest elementów.
Do klasy pierwszej przyjęto uczniów. Zatem w dzienniku lekcyjnym powinni być oni wpisani w porządku alfabetycznym, otrzymując numery: .
W zbiorze kolejnych liczb naturalnych od do jest elementów.
Uwaga. Liczbę elementów zbioru będziemy oznaczać symbolem . Wobec tego liczbę elementów zbioru z powyższego przykładu zapiszemy symbolicznie: .
Ustalimy, ile jest elementów w zbiorze kolejnych liczb naturalnych od do .
sposób
Można wypisać wszystkie elementy tego zbioru i po prostu policzyć, ile ich jest.
Warto zauważyć, że numerując dla porządku kolejne elementy tego zbioru
ustawiamy je w ciąg, w którym numer elementu jest niezmiennie o mniejszy od tego elementu.
Takie numerowanie zakończy się więc przyporządkowaniem liczbie numeru bo , co oznacza, że w zbiorze jest elementów.
Uwaga. Ciąg, którego własności wykorzystaliśmy przy obliczaniu elementów danego zbioru jest ciągiem arytmetycznym, o pierwszym wyrazie i różnicy . Można go więc opisać wzorem ogólnym , gdzie .
sposób
Zauważmy, że zbiór , liczący elementów, możemy podzielić na dwa rozłączne podzbiory:
liczb mniejszych od :
, który ma elementów
oraz liczb od do :
.
Oznacza to, że zbiór ma elementów.
Zasada równoliczności
W sposobie w poprzednim przykładzie, aby stwierdzić, że w zbiorze jest elementów, ponumerowaliśmy elementy tego zbioru od do 16, co oznacza, że ustaliliśmy wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między elementami zbiorów oraz .
Zastosowaliśmy w ten sposób zasadę równoliczności.
Zasada równoliczności
Dwa zbiory i są równoliczne (mają tyle samo elementów), jeżeli ich elementy można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie, to znaczy, że każdemu elementowi zbioru przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru oraz każdemu elementowi zbioru przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru .
Korzystając z pomysłów z poprzedniego przykładu, wykażemy, że w zbiorze kolejnych liczb naturalnych od do :
jest elementów.
sposób
Ustawiamy kolejne elementy zbioru w taki ciąg , że , , i tak dalej co , do ostatniego wyrazu równego l. W tym ciągu numer wyrazu jest więc niezmiennie o mniejszy od tego wyrazu, zatem jego ostatni wyraz to . Wobec tego taki ciąg jest określony dla , czyli ma wyrazów.
Uwaga. Ciąg arytmetyczny o wyrazie pierwszym i różnicy jest określony wzorem ogólnym . Gdy , to , stąd .
sposób
Zauważmy, że zbiór , liczący l elementów, możemy podzielić na dwa rozłączne podzbiory:
liczb mniejszych od :
, który ma elementów
oraz liczb od do :
.
Oznacza to, że zbiór ma elementów.
Sprawdzimy, czy zbiory:
są równoliczne.
Zbiór C ma elementów, liczba elementów zbioru to , a liczba elementów zbioru B to . Zatem zbiory i są równoliczne.
Reguła dodawania
W przykładzie , w sposobie , aby stwierdzić, że w zbiorze jest elementów, podzieliliśmy zbiór na dwa podzbiory: oraz . Skorzystaliśmy z tego, że usuwając ze zbioru , który ma elementów, podzbiór jedenastoelementowy , dostaliśmy podzbiór {, który ma elementów.
Załóżmy teraz, że w wyniku podziału (rozbicia) zbioru otrzymaliśmy dwa podzbiory i . Wtedy ten zbiór jest sumą dwóch zbiorów rozłącznych i . Tak otrzymany zbiór opisujemy, używając symbolu sumy zbiorów: .
Rozumując podobnie jak powyżej, możemy stwierdzić, że liczba elementów zbioru jest sumą liczb i , które opisują liczby elementów jego podzbiorów i , otrzymanych w wyniku tego podziału:
.
Obliczymy, ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez .
Wszystkich liczb dwucyfrowych, czyli liczb ze zbioru , jest .
Zauważmy teraz, że wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jest dokładnie jedna podzielna przez , jest dokładnie jedna, która przy dzieleniu przez daje resztę oraz jest dokładnie jedna, która przy dzieleniu przez daje resztę .
Ponieważ , więc zbiór liczb dwucyfrowych możemy rozbić na podzbiorów trzyelementowych
takich, że w każdym z nich znajdzie się dokładnie jedna liczba podzielna przez . Oznacza to, że jest wszystkich liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez .
Korzystając z wniosków zapisanych w poprzednim przykładzie, wykażemy, że w każdym ze zbiorów: liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez dają resztę oraz liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez dają resztę , jest elementów.
Korzystamy z rozbicia zbioru liczb dwucyfrowych na trzy podzbiory:
– zbiór liczb podzielnych przez ,
- zbiór liczb, które przy dzieleniu przez dają resztę ,
- zbiór liczb, które przy dzieleniu przez dają resztę .
Podzbiory te są parami rozłączne (bo rozdzielaliśmy ich elementy ze względu na resztę z dzielenia przez ) oraz równoliczne (jednoznaczne przyporządkowanie między ich elementami gwarantuje podział na trzydzieści podzbiorów trzyelementowych – wykorzystaliśmy ten podział w przykładzie ).
Podsumowując:
jest wszystkich liczb dwucyfrowych, czyli liczb w zbiorze :
zbiór liczb dwucyfrowych można rozbić na trzy podzbiory , które są parami rozłączne, stąd
otrzymane podzbiory są równoliczne, a więc
Wynika z tego, że każdy z tych podzbiorów ma elementów:
Uwaga. Powyżej stwierdziliśmy, że zbiory są parami rozłączne. Oznacza to, że każda z par zbiorów: i , i oraz i nie ma elementu wspólnego. Używając symbolu iloczynu (części wspólnej) zbiorów oraz symbolu zbioru pustego , następująco zapisujemy fakt, że zbiory są parami rozłączne:
i i .
Obliczymy, ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez .
sposób
Każdą liczbę podzielną przez możemy zapisać w postaci , gdzie jest liczbą całkowitą. Wystarczy zatem obliczyć, ile jest wszystkich całkowitych , które spełniają układ nierówności
i .
Ponieważ dla oraz dla , więc .
Wynika z tego, że najmniejszą liczbą trzycyfrową, która dzieli się przez , jest , a największą
W zbiorze jest elementów, więc dokładnie tyle jest liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez 7.
sposób
Wszystkich liczb trzycyfrowych, czyli liczb ze zbioru , jest .
Zauważmy teraz, że wśród siedmiu kolejnych liczb naturalnych jest dokładnie po jednej liczbie dla każdej z możliwych reszt z dzielenia przez . Ponieważ , więc jeżeli ze zbioru liczb trzycyfrowych wyjmiemy podzbiór czteroelementowy , to pozostały podzbiór, liczący 896 elementów, możemy rozbić na podzbiorów siedmioelementowych – w każdym z nich znajdzie się dokładnie jedna liczba podzielna przez 7:
Sprawdzamy, że żadna z liczb ze zbioru nie dzieli się przez , zatem jest dokładnie liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez .
sposób
Zbiór wszystkich liczb trzycyfrowych jest podzbiorem zbioru wszystkich liczb naturalnych od do .
Ponieważ , więc jeżeli ze zbioru liczb naturalnych od do wyjmiemy podzbiór pięcioelementowy , to pozostałe liczby możemy rozdzielić do podzbiorów siedmioelementowych:
W każdym z nich jako ostatnia zapisana jest jedyna w takim podzbiorze liczba podzielna przez 7. Zatem bez sprawdzania możemy stwierdzić, że wśród liczb ze zbioru nie ma liczby podzielnej przez .
Skoro , więc jeżeli ze zbioru liczb naturalnych od do wyjmiemy liczbę , to pozostałe liczb możemy rozdzielić do podzbiorów siedmioelementowych:
Oznacza to, że w zbiorze liczb naturalnych od do jest dokładnie liczb podzielnych przez .
Wobec tego w zbiorze liczb naturalnych od do jest ich .
Uwaga. Zauważmy, że wykorzystane w rozwiązaniu liczby i otrzymaliśmy, przybliżając z niedomiarem ułamki odpowiednio oraz .
Dowolnej liczbie rzeczywistej można jednoznacznie przypisać jej część całkowitą (zwaną też cechą lub podłogą tej liczby), która oznacza największą liczbę całkowitą, która nie jest większa od . Część całkowita liczby oznaczana jest symbolem .
Stosując to oznaczenie, zapiszemy, że liczb trzycyfrowych podzielnych przez jest
Rozumując w podobny sposób jak w ostatnim sposobie rozwiązania, stwierdzimy np., że
wszystkich liczb czterocyfrowych podzielnych przez jest
wszystkich liczb pięciocyfrowych podzielnych przez jest
a wszystkich liczb sześciocyfrowych podzielnych przez jest
Podamy teraz wzór, pozwalający obliczyć liczbę elementów sumy n zbiorów rozłącznych.
Do jego uzasadnienia wystarczy przeprowadzić podobne rozumowanie, jak stosowane w poprzednich przykładach.
Jeżeli zbiory są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów :
.
Regułę, która jest zapisana w powyższym wzorze, nazywamy regułą dodawania.
Obliczymy, ile jest liczb dwucyfrowych, które są podzielne przez 2 lub są podzielne przez .
Oznaczmy:
- zbiór liczb dwucyfrowych podzielnych przez ,
- zbiór liczb dwucyfrowych podzielnych przez .
Mamy obliczyć, ile jest liczb dwucyfrowych, które są podzielne przez lub przez , czyli wartość .
Zauważmy, że:
wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych jest dokładnie jedna parzysta i dokładnie jedna nieparzysta. Ponieważ da się rozbić zbiór liczb dwucyfrowych na takie podzbiory dwuelementowe, że w każdym z nich znajdzie się dokładnie jedna liczba podzielna przez , więc .
wśród pięciu kolejnych liczb naturalnych jest dokładnie jedna podzielna przez . Ponieważ da się rozbić zbiór liczb dwucyfrowych na takie podzbiory pięcioelementowe, że w każdym z nich znajdzie się dokładnie jedna liczba podzielna przez , więc .
Zbiory oraz nie są jednak rozłączne – wśród liczb dwucyfrowych są takie, które dzielą się zarówno przez , jak i przez , taką jest np. . Ponieważ liczba całkowita dzieli się przez i przez wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się przez , więc musimy jeszcze obliczyć, ile jest liczb dwucyfrowych podzielnych przez .
Liczb tych jest , co można sprawdzić, wypisując je wszystkie lub zauważając, że takich liczb jest .
Przedstawimy teraz trzy pomysły na dokończenie rozwiązania przykładu .
sposób
Zbiór rozbijemy na trzy rozłączne podzbiory:
zbiór liczb dwucyfrowych podzielnych przez i przez .
Jest to zbiór liczb podzielnych przez , zatem takich liczb jest .
zbiór tych liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez i nie dzielą się przez .
Zbiór liczb dwucyfrowych podzielnych przez możemy rozbić na dwa podzbiory: podzbiór liczb podzielnych przez i podzbiór liczb niepodzielnych przez . Wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez jest , tych spośród nich, które są dodatkowo podzielne przez , jest , zatem liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez i nie dzielą się przez , jest .
zbiór tych liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez i nie dzielą się przez .
Zbiór liczb dwucyfrowych podzielnych przez możemy rozbić na dwa podzbiory: podzbiór liczb parzystych i podzbiór liczb nieparzystych. Wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez , jest , tych spośród nich, które są dodatkowo podzielne przez , jest , zatem liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez i nie dzielą się przez , jest .
Ostatecznie stwierdzamy, że wszystkich liczb dwucyfrowych, które są podzielne przez lub przez , jest
sposób
Obliczając liczbę tych liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez i nie dzielą się przez , można zauważyć, że zbiór parzystych liczb dwucyfrowych da się rozbić na pięć podzbiorów ze względu na resztę z dzielenia przez . Obliczymy wtedy, że szukane przez nas liczby są elementami z tych podzbiorów, zatem ich liczba to
Analogiczny pomysł można zastosować do ustalenia, ile jest liczb dwucyfrowych, które są podzielne przez lub przez .
Rozbijemy mianowicie zbiór liczb dwucyfrowych na podzbiorów ze względu na resztę z dzielenia przez . W każdym z tych podzbiorów jest elementów. Wyróżnimy wśród tych podzbiorów dwie grupy:
podzbiory, w których znajdują się liczby dające przy dzieleniu przez jedną z reszt: lub ,
podzbiory, w których znajdują się liczby dające przy dzieleniu przez jedną z reszt: .
Zauważmy, że każda z liczb, która znalazła się w dowolnym z podzbiorów grupy dzieli się przez lub przez , a każda z liczb, które są w dowolnym z podzbiorów grupy jest liczbą niepodzielną ani przez , ani przez .
Zatem
sposób
Obliczyliśmy wcześniej, że liczb dwucyfrowych podzielnych przez jest , liczb dwucyfrowych podzielnych przez jest , liczb dwucyfrowych podzielnych jednocześnie przez i przez jest .
Każda liczba należącą do tego ostatniego zbioru jest również elementem każdego ze zbiorów oraz . Wypisując zatem wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez oraz wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez , wypiszemy dokładnie dwa razy każdą z liczb podzielnych przez , a każdą inną – dokładnie raz. Oznacza to, że jeśli od sumy odejmiemy liczbę , to ustalimy, ile jest liczb dwucyfrowych podzielnych przez lub :
Rozumując podobnie jak w ostatnim sposobie rozwiązania przykładu , możemy stwierdzić, że dla dowolnych dwóch zbiorów i liczba elementów należących do zbioru lub do zbioru jest równa sumie liczb i , pomniejszonej o liczbę elementów należących jednocześnie do zbioru i do zbioru :
W konkursie matematycznym uczestniczyło uczniów. Siedmiu spośród nich nie rozwiązało żadnego z dwóch pierwszych zadań, uczestników rozwiązało zadanie pierwsze, a z nich rozwiązało zadanie drugie. Ustalimy, ilu jest uczestników tego konkursu, którzy rozwiązali oba zadania: pierwsze i drugie.
Z treści zadania wynika, że liczba uczestników konkursu, którzy rozwiązali zadanie pierwsze lub zadanie drugie, jest równa
Przyjmiemy teraz następujące oznaczenia: uczestników konkursu, którzy rozwiązali zadania pierwsze, przypiszemy do zbioru , a tych uczestników, którzy rozwiązali zadania drugie – do zbioru .
Wiemy, że , i .
Ponieważ , więc , stąd , co oznacza, że uczestników tego konkursu rozwiązało oba zadania: pierwsze i drugie.
W konkursie matematycznym, w którym uczestnicy mieli do rozwiązania trzy zadania, uczestniczyło uczniów. Zadanie pierwsze rozwiązało uczniów, zadanie drugie – , zadanie trzecie – . Ponadto: zadanie pierwsze i drugie rozwiązało uczniów, zadanie drugie i trzecie – uczniów, zadanie pierwsze i trzecie – uczniów, a uczniów rozwiązało wszystkie trzy zadania.
Ustalimy, ilu jest uczestników tego konkursu, którzy nie rozwiązali żadnego z trzech zadań.
Oznaczamy literami zbiory uczniów, którzy rozwiązali odpowiednio pierwsze, drugie i trzecie zadanie.
Przedstawimy rozwiązanie, korzystając z poniższego diagramu:
Wpisujemy w odpowiednie miejsce diagramu liczbę uczestników, którzy:
rozwiązali wszystkie trzy zadania (jest ich ),
rozwiązali zadania i , ale nie rozwiązali zadania (jest ich ),
rozwiązali zadania i , ale nie rozwiązali zadania (jest ich ),
rozwiązali zadania i , ale nie rozwiązali zadania (jest ich ),
rozwiązali tylko zadanie (jest ich ),
rozwiązali tylko zadanie (jest ich ),
rozwiązali tylko zadanie (jest ich ).
R1ZYh12Lh4qwl1 Wobec tego wszystkich uczestników tego konkursu, którzy rozwiązali co najmniej jedno zadanie, było
Zatem uczestników konkursu nie rozwiązało żadnego z trzech zadań. To zadanie można też rozwiązać, rozumując w następujący sposób. Wybieramy po kolei wszystkie elementy zbiorów: najpierw , potem i następnie – jest ich razem
Na diagramie zaznaczamy „” w każdym miejscu, z którego wzięliśmy wszystkie elementy
R867twMRQekpC1 Zauważamy, że elementy należące do części wspólnej każdych dwóch zbiorów obliczyliśmy za dużo razy – poprawiamy wynik, odejmując od niego liczby , i :
Na diagramie zabieramy „” z każdego miejsca, z którego elementy usunęliśmy.
RCX7sBjI2Olt01 Zatem pozostaje jeszcze tylko dodać elementy części wspólnej wszystkich trzech zbiorów tak, żeby każdy element sumy był policzony dokładnie raz.
RFNwPrD0lIB3C1 Ponieważ , więc otrzymujemy, że liczba elementów zbioru , czyli liczba uczestników konkursu, którzy rozwiązali co najmniej jedno zadanie, jest równa.Oznacza to, że uczestników konkursu nie rozwiązało żadnego z trzech zadań.
Znamy już wzór na liczbę elementów sumy dwóch zbiorów
Korzystając z powyższego sposobu rozwiązania, możemy zapisać wzór na liczbę elementów sumy trzech zbiorów i :
Obydwa zapisane powyżej wzory są szczególnymi przypadkami zastosowania tzw. zasady włączeń i wyłączeń.
Wszystkich liczb trzycyfrowych większych od i mniejszych od jest
W klasie jest uczniów. Na wycieczkę do Gdańska pojechało z nich, a na wycieczkę do Rzeszowa pojechało ich , przy czym dokładnie trzech uczniów tej klasy nie pojechało na żadną z tych dwóch wycieczek. Ile uczniów tej klasy było na obu wycieczkach: w Gdańsku i w Rzeszowie?
Ile jest elementów zbioru wszystkich liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez dają resztę ?
Kasia znalazła książkę, z której ktoś wyrwał kartki. Kiedy Kasia otworzyła książkę w zniszczonej części, z lewej strony odczytała numer , a z prawej – . Ile kartek zostało wyrwanych z tej książki w tym miejscu?
Wszystkich liczb dwucyfrowych, które są podzielne przez lub przez , jest
Oblicz, ile jest elementów w zbiorze:
–liczb naturalnych od do :
– dwucyfrowych liczb nieparzystych:
– liczb dwucyfrowych podzielnych przez :
– liczb trzycyfrowych podzielnych przez :
Oblicz, ile jest elementów w zbiorze:
– liczb trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez dają resztę :
– liczb trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez dają resztę :
– liczb trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez dają resztę :
– liczb trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez dają resztę :
Piotruś pomagał dziadkowi porządkować książki. Zdejmując z górnej półki opasły tom starej encyklopedii, nie zdołał utrzymać książki w ręku, a ta, upadając, rozerwała się. Podnosząc część, która oddzieliła się od reszty książki, Piotruś zauważył, że na jej pierwszej stronie jest numer , a na ostatniej numer wyrażający się liczbą nieparzystą zapisaną za pomocą tych samych cyfr. Ile kartek liczyła ta wyrwana część encyklopedii? Odpowiedź uzasadnij.
Bieg uliczny ukończyło osób. Liczba zawodników, którzy przybiegli za Markiem, jest razy większa od liczby tych startujących, którzy przybiegli przed nim, natomiast Jola ukończyła zawody dokładnie w połowie stawki. Ile osób zajęło w tym biegu miejsca między Markiem a Jolą?
Oblicz, ile jest:
wszystkich liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez .
wszystkich liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez .
wszystkich liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez .
wszystkich liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez .
Oblicz, ile jest:
wszystkich liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez .
wszystkich liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez .
wszystkich liczb czterocyfrowych, które dzielą się przez .
wszystkich liczb czterocyfrowych, które dzielą się przez .
Oblicz, ile jest liczb
dwucyfrowych, które są podzielne przez lub są podzielne przez
dwucyfrowych, które są podzielne przez lub są podzielne przez
trzycyfrowych, które są podzielne przez lub są podzielne przez
trzycyfrowych, które są podzielne przez lub są podzielne przez
Wiadomo, że wśród uczestników pewnego międzynarodowego konkursu matematycznego zna język angielski, zna język francuski, zna język niemiecki, a zna język rosyjski. Wykaż, że pewien uczestnik tego konkursu, który zna język angielski, zna również:
język francuski
język niemiecki
język rosyjski
W klasie jest uczniów, z czego to chłopcy. Wiadomo, że uczniów tej klasy chodzi na zajęcia kółka matematycznego. Wykaż, że w zajęciach tego kółka bierze udział co najmniej jeden chłopiec.
Na piątkowe zajęcia w domu kultury zapisało się osób. W tym dniu odbywają się tam tylko zajęcia koła plastycznego (od do ), na które zapisało się osób, oraz zajęcia koła teatralnego ( do ), na które zapisało się osób. Ile osób planuje uczęszczać w piątki na zajęcia obu tych kół?
Oblicz, ile jest liczb
dwucyfrowych, które są podzielne przez lub są podzielne przez
dwucyfrowych, które są podzielne przez lub są podzielne przez
trzycyfrowych, które są podzielne przez lub są podzielne przez
trzycyfrowych, które są podzielne przez lub są podzielne przez
Każdy z uczestników warsztatów matematycznych miał określić, co chciałby robić we wtorek po kolacji. Do wyboru były zajęcia w sali gimnastycznej oraz gry i zabawy w świetlicy. osób zgłosiło chęć udziału na zajęciach w sali gimnastycznej, – w grach i zabawach w świetlicy, przy czym osób zgłosiło się i na zajęcia w sali gimnastycznej, i na zajęcia w świetlicy. Ilu uczestników tych warsztatów postanowiło po kolacji zostać w pokoju?
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych od do usunięto najpierw wszystkie liczby podzielne przez , a następnie spośród reszty usunięto wszystkie liczby podzielne przez . Ile liczb pozostało?
Do pracy w samorządzie szkolnym zgłosiło się trzech kandydatów: , i . Za pomocą głosowania na szkolnej stronie internetowej przeprowadzono sondaż na temat popularności tych kandydatów. W stosownym formularzu należało dokonać wyboru, do którego zachęcano następująco: „Spośród kandydatów wybierz tych, którzy według Ciebie zasługują na wybór do samorządu szkolnego”.
Opiekun strony internetowej przygotował raport, w którym podał, że:
w sondażu oddano głosów,
na kandydata oddano głosów,
na kandydata oddano głosów,
na kandydata oddano głosy,
kandydata i kandydata wskazało głosujących,
kandydata i kandydata wskazało głosujących,
kandydata i kandydata wskazało głosujących,
wszystkich trzech kandydatów wskazało głosujących.
Wykaż, że w tym raporcie jest błąd.
Oblicz, ile jest liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez lub przez , lub przez .
Wiadomo, że wśród laureatów pewnego międzynarodowego konkursu matematycznego zna język angielski, zna język francuski, a zna język niemiecki. Wykaż, że pewien laureat tego konkursu zna każdy z tych trzech języków.
Jarek, Darek i Marek, przygotowując się do sprawdzianu z matematyki, rozwiązali wspólnymi siłami wszystkie zadań poleconych przez nauczyciela. Jarek rozwiązał zadań, Darek – , a Marek – . Chłopcy uznali, że zadania, które rozwiązali wszyscy, były łatwe, ale zadania rozwiązane tylko przez jedną osobę były trudne. Wykaż, że zadań trudnych było o więcej niż zadań łatwych.