Miary rozproszenia

Przykład 1

Właściciel dwóch sklepów z odzieżą, położonych w różnych miejscach miasta, próbuje ustalić, które bluzki sprzedają się najlepiej w każdym z jego sklepów, przy czym bierze pod uwagę jedynie cenę bluzki. Chce w ten sposób ustalić, jaki towar powinien zamówić. Zanotował, że podczas ostatniego dnia w pierwszym sklepie sprzedano kolejno bluzki w cenach (zaokrąglonych do pełnych dziesiątek złotych): $10 zł, 80 zł, 20 zł, 20 zł, 90 zł, 10 zł, 90 zł, 80 zł$ . W tym samym czasie w drugim sklepie sprzedano kolejno bluzki w cenach (zaokrąglonych do pełnych dziesiątek złotych): $50 zł, 50 zł, 40 zł, 60 zł, 50 zł, 40 zł, 60 zł, 50 zł, 50 zł, 50 zł$ .
Ceny te, po uporządkowaniu w kolejności niemalejącej, zapisał w następującej tabeli:

Tabela. Dane
$1$ sklep	$10 zł$	$10 zł$	$20 zł$	$20 zł$	$80 zł$	$80 zł$	$90 zł$	$90 zł$
$2$ sklep	$40 zł$	$40 zł$	$50 zł$	$50 zł$	$50 zł$	$50 zł$	$50 zł$	$50 zł$	$60 zł$	$60 zł$

Zauważmy, że średnia cena zakupionej bluzki oraz mediana są takie same w obu sklepach.
W pierwszym sklepie

\bar{x} = \frac{10 + 10 + 20 + 20 + 80 + 80 + 90 + 90}{8} = \frac{400}{8} = 50

oraz mediana jest równa

\frac{20 + 80}{2} = 50 .

W drugim sklepie

\bar{x} = \frac{40 + 40 + 50 + 50 + 50 + 50 + 50 + 50 + 60 + 60}{10} = \frac{500}{10} = 50

oraz mediana jest równa

\frac{50 + 50}{2} = 50 .

Na podstawie tych danych można wysnuć wnioski, że w obu sklepach sprzedaż wygląda podobnie.
Zilustrujmy jednak te dane na wykresach.

Rao5fapdeSMiY1

Wykresy w postaci punktów, z których odczytujemy cenę kolejno sprzedawanych bluzek w rozbiciu na sklepy. Na obu wykresach poprowadzona prosta dla średniej ceny bluzek – 50 zł. Sklep 1 Bluzka 1 – cena 10 zł, bluzka 2 – 10 zł, bluzka 3 – 20 zł, bluzka 4 – 20 zł, bluzka 5 – 80 zł, bluzka 6 – 80 zł, bluzka 7 – 90 zł, bluzka 8 – 90 zł. Sklep 2 Bluzka 1 – cena 40 zł, bluzka 2 – 40 zł, bluzka 3 – 50 zł, bluzka 4 – 50 zł, bluzka 5 – 50 zł, bluzka 6 – 50 zł, bluzka 7 – 50 zł, bluzka 8 – 50 zł, bluzka 9- 60 zł, bluzka 10 – 60 zł. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na pierwszym wykresie dane znajdują się w sporej odległości od średniej $x = 50$ , na drugim skupiają się wokół niej. W pierwszym zestawie danych są kwoty bardzo małe i bardzo duże w stosunku do średniej. Może to oznaczać, że do sklepu przychodzą zarówno zamożni klienci, jak i wydający na ubrania minimum pieniędzy. W drugim sklepie większość danych jest bliska średniej i medianie. Może to oznaczać, że klienci drugiego sklepu to ludzie średnio zamożni, którzy wybierają towar przeciętny, nie za drogi i nie za tani.
Właściciel sklepów przeprowadził podobne badanie przez kilka kolejnych dni i wnioski powtarzały się. Zdecydował się więc do pierwszego sklepu zamówić bluzki bardzo tanie i droższe, zaś do drugiego takie, których cena jest bliska $50 zł$ .

Przykład 2

Pewna firma zajmuje się prowadzeniem szkoleń. Po każdym ze szkoleń uczestnicy oceniają trenera prowadzącego szkolenie. Ocena ta jest liczbą całkowitą od $1$ (najniższa ocena) do $10$ . Jedno ze szkoleń, w którym wzięło udział $20$ uczestników, prowadzone było przez dwóch trenerów. Na poniższym wykresie przedstawiono otrzymane przez nich oceny.

Ry8zoK3cmrSK31

Diagram słupkowy pionowy, z którego odczytujemy liczbę ocen, wystawionych przez uczestników szkolenia dwóm trenerom, w zależności od oceny jaką otrzymali. Trener 1 Ocena 1 – wystawione 2 oceny, ocena 2 – wystawione 2 oceny, ocena 3 – wystawiona 1 ocena, ocena 4 – wystawione 2 oceny, ocena 7 – wystawiona 1 ocena, ocena 8 – wystawione 2 oceny, ocena 9 – wystawione 5 ocen, ocena 10 - wystawione 5 ocen. Trener 2 Ocena 6 - wystawione 8 ocen, ocena 7 – wystawione 9 ocen, ocena 8 – wystawione 3 oceny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczmy średnią ocenę, jaką otrzymał każdy z trenerów.
Trener $1$ : $\bar{x_{1}} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 1 + 8 \cdot 2 + 9 \cdot 5 + 10 \cdot 5}{20} = \frac{135}{20} = 6,75$ .
Trener $2$ : $\bar{x_{2}} = \frac{6 \cdot 8 + 7 \cdot 9 + 8 \cdot 3}{20} = \frac{135}{20} = 6,75$ .
Średnie oceny są takie same. Wykres natomiast wskazuje na inne rozkłady poszczególnych ocen jednostkowych. Trener $1$ otrzymał oceny prawie z całej skali. Są one rozproszone w stosunku do oceny średniej, a więc część uczestników szkolenia oceniła go bardzo wysoko, a część bardzo nisko. Trener $2$ otrzymał jedynie oceny $6, 7$ i $8$ , a więc skupione wokół średniej. Może nie jest idealny (nie otrzymał $10$ ), ale ludziom się na ogół podobał i nie wzbudzał negatywnych odczuć.
Oczywiście, jeżeli zestaw danych jest większy to trudniej zaobserwować jego strukturę. Podobnie jak w przypadku tendencji centralnej, tak i w tym przypadku posłużymy się pewnymi statystykami. Do oceny koncentracji badanych danych służą miary rozproszenia. Najprostszą miarą rozproszenia jest rozstęp, czyli różnica pomiędzy największą i najmniejszą wartością.

R = x_{\max} - x_{\min}

Dużą zaletą tej charakterystyki jest łatwość jej wyznaczania. Jednak nie informuje nas ona, jak w przedziale $〈{x_{\min}, x}_{\max}〉$ o długości $R$ są rozłożone poszczególne dane. Czy np. są skupione wokół jednego punktu, czy rozrzucone w tym przedziale. Rozstęp mówi tylko o tym, jaką długość ma najkrótszy przedział zawierający wszystkie dane.

Przykład 3

Obliczmy rozstęp dla każdej z wielkości występujących w poprzednich dwóch przykładach.
Dla pierwszego sklepu $R = 90 - 10 = 80$ , a dla drugiego $R = 60 - 40 = 20$ . Zauważymy więc, że różnica w cenie najdroższej i najtańszej bluzki w pierwszym sklepie wynosi 80 zł, zaś w drugim $20 zł$ , czyli jest cztery razy mniejsza. Zatem w drugim sklepie ceny są bardziej skupione.
W drugim przykładzie dla pierwszego trenera $R = 10 - 1 = 9$ , a dla drugiego $R = 8 - 6 = 2$ . Tutaj także rozstęp wyników drugiego trenera jest mniejszy niż pierwszego.
Najczęściej jednak potrzebujemy dokładniejszej analizy rozproszenia danych. Zauważmy, że dla tego samego rozstępu dane mogą układać się bardzo różnie. Na przykład rozstąp w zestawie danych: $1, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 5$ jest równy $4$ i jest taki sam, jak w zestawie: $1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5$ . Jednak w pierwszym zestawie, poza danymi skrajnymi, występuje wielokrotnie ta sama wartość $3$ , a w drugim zestawie występują wszystkie wartości całkowite od $1$ do $5$ i prawie każda tak samo często. Spróbujemy skonstruować taki wskaźnik, który pozwoli nam odróżnić te dwie sytuacje.
Zajmiemy się więc badaniem odległości każdej danej od średniej. Przypomnijmy, że odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej to wartość bezwzględna różnicy tych liczb. Zatem odchylenie liczby $x_{i}$ od średniej $\bar{x}$ , to

|x_{i} - \bar{x}| .

Obliczmy odchylenia średnich cen bluzek z przykładu pierwszego w każdym z dwóch sklepów. Wyniki zapiszmy w tabeli.

Tabela. Dane
I sklep		II sklep
Cena bluzki $x_{i}$	Odchylenie od średniej $\|x_{i} - \bar{x}\| = \|x_{i} - 50\|$	Cena bluzki $x_{i}$	Odchylenie od średniej $\|x_{i} - \bar{x}\| = \|x_{i} - 50\|$
10	40	$40$	$10$
10	40	$40$	$10$
20	30	$50$	$0$
20	30	$50$	$0$
80	30	$50$	$0$
80	30	$50$	$0$
90	40	$60$	$10$
90	40	$60$	$10$

Obliczmy teraz średnią arytmetyczną znalezionych odchyleń w każdym ze sklepów.
W pierwszym sklepie: $\frac{40 + 40 + 30 + 30 + 30 + 30 + 40 + 40}{8} = \frac{280}{8} = 35$ .
W drugim sklepie: $\frac{10 + 10 + 10 + 10}{8} = \frac{40}{8} = 5$ .
Obliczone przez nas wielkości to tak zwane odchylenia przeciętne.

iqUlOJ5aca_d5e194

Odchylenie przeciętne

Definicja: Odchylenie przeciętne

Odchyleniem przeciętnym liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ nazywamy liczbę

\frac{|x_{1} - \bar{x}| + |x_{2} - \bar{x}| + \dots + |x_{n} - \bar{x}|}{n}

Zatem w pierwszym sklepie odchylenie przeciętne jest wyższe niż w drugim, co potwierdza naszą wcześniejszą obserwację, że w pierwszym sklepie ceny leżą dalej od średniej, a w drugim znajdują się bliżej średniej.

W statystyce częściej od odchylenia przeciętnego wykorzystuje się tzw. odchylenie standardowe.

Odchylenie standardowe

Definicja: Odchylenie standardowe

Odchyleniem standardowym $σ$ liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ nazywamy liczbę

σ = \sqrt{\frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n}}

Kwadrat tej wielkości nazywamy wariancją i oznaczamy symbolem $σ^{2}$ , czyli

σ^{2} = \frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n}

Wariancja i odchylenie standardowe niosą dokładnie te same informacje. Wygodniej używać odchylenia standardowego, ponieważ wariancja jest podawana w jednostkach kwadratowych, a odchylenie standardowe dokładnie w tych samych jednostkach, co analizowane dane.

Obliczanie odchylenia standardowego, czy też wariancji jest uciążliwe w sytuacji, gdy $\bar{x}$ jest liczbą niecałkowitą i ma albo długie rozwinięcie dziesiętne, albo nawet nieskończone. Podamy teraz wzór, który sprawia, że obliczenia są znacznie wygodniejsze.

Wariancja liczb

Twierdzenie: Wariancja liczb

Wariancja liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ jest równa

σ^{2} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + \dots + {x_{n}}^{2}}{n} - {(\bar{x})}^{2}

Dowód

Przekształcając wzór z definicji wariancji ,otrzymujemy

σ^{2} = \frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n} =

= \frac{x_{1}^{2} - 2 x_{1} \cdot \bar{x} + {(\bar{x})}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{2} \cdot \bar{x} + {(\bar{x})}^{2} + \dots + x_{n}^{2} - 2 x_{n} \cdot \bar{x} + {(\bar{x})}^{2}}{n} =

= \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{n} - 2 \bar{x} \frac{x_{1} + x_{2} + \dots x_{n}}{n} + \frac{n \cdot {(\bar{x})}^{2}}{n} =

= \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{n} - 2 \cdot {(\bar{x})}^{2} + {(\bar{x})}^{2} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{n} - {(\bar{x})}^{2}

Przykład 4

W tabeli przedstawiono kwoty rachunków za telefon, jakie zapłaciła Małgosia w kolejnych miesiącach.

Tabela. Dane
styczeń	luty	marzec	kwiecień	maj	czerwiec
$63 zł$	$41 zł$	$35 zł$	$67 zł$	$60 zł$	$52 zł$

Obliczymy wariancję i odchylenie standardowe tych wydatków z dokładnością do $1 zł$ . Średnia wydatków na telefon Małgosi jest równa $\bar{x} = \frac{63 + 41 + 35 + 67 + 60 + 52}{6} = \frac{318}{6} = 53$ $(zł)$
W kolejnych miesiącach odchylenie od średniej jest równe:

Tabela. Dane
	styczeń	luty	marzec	kwiecień	maj	czerwiec
$x_{i}$	$63 zł$	$41 zł$	$35 zł$	$67 zł$	$60 zł$	$52 zł$
$\|x_{i} - \bar{x}\|$	$10$	$12$	$18$	$14$	$7$	$1$

Wariancja jest więc równa:
$σ^{2} = \frac{10^{2} + 12^{2} + 18^{2} + 14^{2} {+ 7}^{2} + 1^{2}}{6} = \frac{100 + 144 + 324 + 196 + 49 + 1}{6} = \frac{814}{6} = 135, (6) \approx 136$
a odchylenie standardowe

σ = \sqrt{136} \approx 12 .

Przykład 5

Wyniki pewnego badania umieszczono w tabeli.

Tabela. Dane
Wynik	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
Częstość	$5$	$2$	$4$	$6$	$3$

Obliczymy wariancję i odchylenie standardowe w tym badaniu.
Zaczniemy od policzenia średniej

\bar{x} = \frac{5 ∙ 4 + 2 ∙ 5 + 4 ∙ 6 + 6 ∙ 7 + 3 \cdot 8}{5 + 2 + 4 + 6 + 3} = \frac{120}{20} = 6 .

sposób $I$

Obliczymy wariancję, korzystając ze wzoru podanego w twierdzeniu. W tym celu obliczymy średnią kwadratów otrzymanych wyników

\frac{5 ∙ 4^{2} + 2 ∙ 5^{2} + 4 ∙ 6^{2} + 6 ∙ 7^{2} + 3 ∙ 8^{2}}{5 + 2 + 4 + 6 + 3} = \frac{760}{20} = 38 .

Stąd wariancja jest równa $σ^{2} = 38 - {(\bar{x})}^{2} = 38 - 36 = 2$ i odchylenie standardowe $σ = \sqrt{2}$ .

sposób $II$

Obliczymy wariancję, posługując się definicją. Odchylenia poszczególnych wyników od średniej zamieścimy w tabeli.

Tabela. Dane
wynik $x_{i}$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
odchylenie $\|x_{i} - \bar{x}\|$	$\|4 - 6\| = 2$	$\|5 - 6\| = 1$	$\|6 - 6\| = 0$	$\|7 - 6\| = 1$	$\|8 - 6\| = 2$
częstość	$5$	$2$	$4$	$6$	$3$

Podstawiając wyniki do wzoru na wariancję, otrzymujemy:

σ^{2} = \frac{5 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 0^{2} + 6 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 2^{2}}{5 + 2 + 4 + 6 + 3} = \frac{40}{20} = 2

Przykład 6

W pewnej szkole przeprowadzono ankietę, w której zadano uczniom pytanie „Ile książek przeczytałeś/łaś w ciągu ostatnich dwóch tygodni?”. Wyniki ankiety przedstawiono na diagramie.

RfYmYenR0RP8a1

Diagram kołowy, z którego odczytujemy procent uczniów w zależności od liczby przeczytanych książek. 1 książka – 10% uczniów, 2 książki – 40% uczniów, 3 książki – 30% uczniów, 4 książki – 20% uczniów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczymy wariancję i odchylenie standardowe otrzymanych wyników.
Dla otrzymanych wyników możemy przyjąć następujące wagi

Tabela. Dane
$1$ książka	$2$ książki	$3$ książki	$4$ książki	Suma wag
$0,1$	$0,4$	$0,3$	$0,2$	$1$

Średnia ważona otrzymanych wyników jest równa

{\bar{x}}_{w} = 0,1 ∙ 1 + 0,4 ∙ 2 + 0,3 ∙ 3 + 0,2 ∙ 4 = 0,1 + 0,8 + 0,9 + 0,8 = 2,6 .

Licząc wariancję, posłużymy się wzorem z twierdzenia

σ^{2} = \frac{{0,1 ∙ 1}^{2} + {0,4 ∙ 2}^{2} + {0,3 ∙ 3}^{2} + {0,2 ∙ 4}^{2}}{1} - {(2,6)}^{2} = 0,1 + 1,6 + 2,7 + 3,2 - 6,76 = 0,84 .

Wtedy odchylenie standardowe jest równe $σ \approx 0,92$ .

Przykład 7

Michał przeprowadził doświadczenie, w którym mierzył m.in. czas ruchu pewnego ciała. Wykonał doświadczenie $10$ razy i otrzymał następujące wyniki w sekundach:

Tabela. Dane
doświadczenie	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
wynik	$10,23$	$10,45$	$9,98$	$9,67$	$10,05$	$10,14$	$9,48$	$9,92$	$10,31$	$10,26$

Wyznacz średni czas ruchu ciała oraz odchylenie standardowe w tym doświadczeniu. Ile wyników jest większych od średniego lub mniejszych od średniego czasu o więcej niż jedno odchylenie standardowe?

iqUlOJ5aca_d5e399

classicmobile

Ćwiczenie 1

Odchylenie standardowe zestawu liczb: $5, 7, 11, 13$ jest równe

RkF8eRF9waWq0

$\sqrt{10}$
$8$
$9$
$10$

static

Ćwiczenie 1

Odchylenie standardowe zestawu liczb: $5, 7, 11, 13$ jest równe

R1VLZxUvLTXuT

$\sqrt{10}$
$8$
$9$
$10$

classicmobile

Ćwiczenie 2

Wariancja zestawu liczb: $4, 7, 9, 20$ jest równa

RqtkHqdeuvEX6

$10$
$12$
$36,5$
$146$

static

Ćwiczenie 2

Wariancja zestawu liczb: $4, 7, 9, 20$ jest równa

RPVEXBmMICKE0

$10$
$12$
$36,5$
$146$

classicmobile

Ćwiczenie 3

Jeżeli odchylenie standardowe pewnego zestawu danych jest równe $4 \sqrt{2}$ , to wariancja jest równa

R1DeIHnOybiUr

$2 \sqrt[4]{2}$
$2 \sqrt{2}$
$8$
$32$

static

Ćwiczenie 3

Jeżeli odchylenie standardowe pewnego zestawu danych jest równe $4 \sqrt{2}$ , to wariancja jest równa

RbCLpbWE9WiNh

$2 \sqrt[4]{2}$
$2 \sqrt{2}$
$8$
$32$

classicmobile

Ćwiczenie 4

Największe odchylenie standardowe ma zestaw liczb

RO6beCq962L5H

$1,2, 4,6, 7$
$1, 2, 9,10,11$
$15,15,15,15$
$10,12,14, 12$

static

Ćwiczenie 4

Największe odchylenie standardowe ma zestaw liczb

RcYebG0NHglRs

$1,2, 4,6, 7$
$1, 2, 9,10,11$
$15,15,15,15$
$10,12,14, 12$

Ćwiczenie 5

przedstawiono wyniki, jakie osiągnęło dwóch skoczków narciarskich podczas przygotowań do zawodów.

Który z nich ma wyższą średnią długość skoków?
Który ze skoczków skacze bardziej stabilnie?
Tabela. Dane
$1$ skok
$2$ skok
$3$ skok
$4$ skok
$5$ skok
$6$ skok
$7$ skok
$8$ skok
$1$ zawodnik
$115$
$119$
$116$
$125$
$123$
$122$
$115$
$125$
$2$ zawodnik
$120$
$115$
$116$
$121$
$123$
$124$
$115$
$118$

Tabela. Dane
	$1$ skok	$2$ skok	$3$ skok	$4$ skok	$5$ skok	$6$ skok	$7$ skok	$8$ skok
$1$ zawodnik	$115$	$119$	$116$	$125$	$123$	$122$	$115$	$125$
$2$ zawodnik	$120$	$115$	$116$	$121$	$123$	$124$	$115$	$118$

Obliczamy średni wynik pierwszego zawodnika
$\bar{x} = \frac{115 + 119 + 116 + 125 + 123 + 122 + 115 + 125}{8} = \frac{960}{8} = 120 .$ Obliczamy średni wynik drugiego zawodnika.
$\bar{x} = \frac{120 + 115 + 116 + 121 + 123 + 124 + 115 + 118}{8} = \frac{952}{8} = 119 .$ Zatem pierwszy zawodnik ma wyższą średnią długość skoku.
Obliczamy wariancję wyników pierwszego zawodnika
$σ^{2} = \frac{{(- 5)}^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 5^{2} {+ 3}^{2} + 2^{2} + {(- 5)}^{2} + 5^{2}}{8} = \frac{130}{8} = 16,25 .$ Obliczamy wariancję wyników drugiego zawodnika.
$σ^{2} = \frac{1^{2} + 4^{2} + 3^{2} + 2^{2} {+ 4}^{2} + 5^{2} + 4^{2} + 1^{2}}{8} = \frac{88}{8} = 11 .$

Można wyciągnąć wniosek, że drugi zawodnik jest w dużo stabilnejszej formie. Jego średnia niewiele się różni od średniej pierwszego zawodnika, za to zróżnicowanie wyników jest dużo mniejsze od zróżnicowania wyników zawodnika drugiego.

Ćwiczenie 6

R1VqQWB2tqCXP1

Połącz w pary te zestawy danych, które mają jednakowe odchylenie standardowe.

15,13,11,9, 15,12,13,14, 11,13,14,16

5,3,4,6
5,2,7,4
12,14,16,18

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iqUlOJ5aca_d5e663

Ćwiczenie 7

R1WjWKHGqYsOh1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

RXOuFQCak5aan1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

RJ9x87Omqkfwd1

Połącz w pary te zestawy danych, które mają jednakowe odchylenie standardowe.

15,12,13,14, 15,13,11,9, 11,13,14,16

5,3,4,6
5,2,7,4
12,14,16,18

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

R9xDfIm0fgRNF1

Uporządkuj zestawy danych w kolejności wzrastającej wariancji.

$8, 8, 8, 8$
$6, 6, 5, 7$
$3, 1, 7, 5$
$9, 4, 1, 6$
$1, 10, 4, 12$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

R1E5OP8tLXxR51

Uporządkuj podane liczby rosnąco.

$\frac{2}{3}$
$\frac{3}{5}$
$0, 88$
$0, 8$
$\frac{23}{25}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

RpRKKvWv7BTOS1

Uporządkuj podane liczby malejąco.

$\frac{323}{11}$
$32, 3$
$3, 23$
$3, 223$
$29 \frac{1}{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iqUlOJ5aca_d5e742

Ćwiczenie 13

W pewnym badaniu statystycznym otrzymano następujące wyniki: $15,12,17,10,13,8, 10,16$ . Ile z tych wyników różni się od średniej o więcej niż jedno odchylenie standardowe?

$3$

Średnia danych liczb jest równa $\bar{x} = \frac{15 + 12 + 17 + 10 + 13 + 8 + 10 + 16}{8} = 12,625$ . Wariancja z dokładnością do trzech miejsc po przecinku jest równa $σ^{2} = \frac{15^{2} + 12^{2} + 17^{2} + 10^{2} {+ 13}^{2} + 8^{2} + 10^{2} + 16^{2}}{8} - {(12,625)}^{2} = 8,984$ , stąd odchylenie standardowe $σ = 2,997$ . Wszystkie liczby odległe od średniej o więcej niż odchylenie standardowe są większe od $15,622$ lub mniejsze od $9,628$ .

Ćwiczenie 14

Tomek każdego dnia rano, jadąc do szkoły, porównywał czas przyjazdu tramwaju z informacją umieszczoną na przystanku. Przez kolejne dni informację notował w zeszycie. Odchylenie dodatnie oznacza, że tramwaj przyjechał później, a odchylenie ujemne, że przyjechał wcześniej. Jakie było odchylenie przeciętne przyjazdu tramwaju?

Tabela. Dane
poniedziałek	wtorek	środa	czwartek	piątek
$- 3,5 \min$	$2 \min$	$1,5 \min$	$- 1 \min$	$2 \min$

$2$

Odchylenie przeciętne przyjazdu tramwaju jest równe $\frac{3,5 + 2 + 1,5 + 1 + 2}{5} = \frac{10}{5} = 2$

Ćwiczenie 15

R3Dlit4pybNkl1

Przeciągnij z dolnej sekcji do górnej takie trzy liczby, dla których średnia jest równa $7$ i odchylenie standardowe jest większe od $2,3$ .

$4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Magda, przygotowując się do matury, postanowiła sprawdzić, ile godzin dziennie przeznacza na naukę. W tym celu przez dwa tygodnie codziennie zapisywała wyniki w tabeli, a następnie zaznaczyła je na wykresie. Oblicz średnią liczbę czasu poświęconego na naukę i odchylenie standardowe w pierwszym tygodniu, w drugim oraz w całym okresie dwóch tygodni.

RBu1m0SHPa2Yo1

Wykres, z którego odczytujemy liczbę godzin przeznaczonych dziennie na naukę w kolejnych dniach w rozbiciu na tygodnie. Tydzień I Poniedziałek – 5 godzin, wtorek – 6 godzin, środa – 3 godziny, czwartek – 2 godziny, piątek – 4 godziny, sobota – 7 godzin, niedziela – 1 godzina. Tydzień II Poniedziałek – 3 godziny, wtorek – 3 godziny, środa – 4 godziny, czwartek – 4 godziny, piątek – 5 godzin, sobota – 6 godzin, niedziela – 3 godziny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W pierwszym tygodniu $\bar{x} = 4$ , $σ \approx 2$ , w drugim tygodniu $\bar{x} = 4$ , $σ \approx 1,07$ , a w całym okresie $\bar{x} = 4$ , $σ \approx 1,60$ .

W pierwszym tygodniu średni czas, jaki Magda poświęciła na naukę, wynosił:

\bar{x} = \frac{5 + 6 + 3 + 2 + 4 + 7 + 1}{7} = \frac{28}{7} = 4 .

W drugim tygodniu średnia ilość czasu wynosiła:

\bar{x} = \frac{3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 6 + 3}{7} = \frac{28}{7} = 4 .

Ponieważ obie próby były równoliczne, więc średnia ilość czasu, jaki Magda poświęciła na naukę przez dwa tygodnie, była też równa $4$ .
Wariancja w pierwszym tygodniu wynosiła:

σ^{2} = \frac{1^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2} {+ 0}^{2} + 3^{2} + {(- 3)}^{2}}{7} = \frac{28}{7} = 4

Zatem odchylenie standardowe w pierwszym tygodniu było równe $σ = \sqrt{4} = 2$ .
W drugim tygodniu wariancja wynosiła:

σ^{2} = \frac{{(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 0^{2} + 0^{2} {+ 1}^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}}{7} = \frac{8}{7} \approx 1,14 .

Zatem odchylenie standardowe w drugim tygodniu było równe $σ = \sqrt{1,14} \approx 1,07$ .
Przez cały okres badania wariancja wynosiła $σ^{2} = \frac{28 + 8}{14} = \frac{36}{14} \approx 2,57$ , stąd odchylenie standardowe $σ = \sqrt{2,57} \approx 1,60$ .

Ćwiczenie 17

Odpowiedz na pytania.

Jaka jest wariancja i jakie jest odchylenie standardowe zestawu liczb: $2, 4, 6, 8, 10$ ? Jak zmienią się wariancja i odchylenie standardowe, jeżeli każdą z podanych liczb zwiększymy dwa razy?
Średnia arytmetyczna zestawu pięciu liczb: $a, b, c, d, e$ jest równa $\bar{x}$ , a odchylenie standardowe $σ$ . Jak zmienią się te dwa wskaźniki, gdy każdą z liczb tego zestawu zwiększymy trzy razy?

$\bar{x} = 6$ , $6^{2} = 8$ , $σ = 2 \sqrt{2}$ , po zwiększeniu każdej liczby dwa razy zarówno średnia, jak i odchylenie standardowe też wzrosną dwukrotnie, wariancja wzrośnie czterokrotnie.
Zarówno średnia, jak i odchylenie standardowe wzrosną trzykrotnie.

Średnia danych liczb $\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6$ . Wtedy wariancja jest równa $σ^{2} = \frac{{(- 4)}^{2} + {(- 2)}^{2} + 0^{2} + 2^{2} + 4^{2}}{5} = 8$ , stąd odchylenie standardowe jest równe $σ = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .
Jeżeli liczby zwiększymy dwukrotnie, otrzymamy: $4, 8, 12, 16, 20$ , dla których średnia jest równa $\bar{x} = \frac{4 + 8 + 12 + 16 + 20}{5} = \frac{60}{6} = 12$ . Wariancja wynosi $σ^{2} = \frac{{(- 8)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 0^{2} + 4^{2} + 8^{2}}{5} = \frac{160}{5} = 32$ , czyli $σ = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ . Zarówno średnia, jak i wariancja wzrosną dwukrotnie.
Po zwiększeniu danych liczb trzykrotnie, otrzymujemy: $3 a, 3 b, 3 c, 3 d, 3 e$ . Średnia tego zestawu wynosi: $\frac{3 a + 3 b + 3 c + 3 d + 3 e}{5} = 3 ∙ \frac{a + b + c + d + e}{5} = 3 \cdot \bar{x}$ , a wariancja $\frac{(3 {a)}^{2} + (3 {b)}^{2} + (3 {c)}^{2} + (3 {d)}^{2} + (3 {e)}^{2}}{5} - {(3 ∙ \bar{x})}^{2} = 9 \cdot \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2}}{5} - 9 \cdot \bar{x} = 9 \cdot σ^{2}$ , stąd odchylenie standardowe jest równe $σ = \sqrt{9 ∙ σ^{2}} = 3 ∙ σ$ . Zatem zarówno średnia, jak i odchylenie standardowe zwiększą się trzykrotnie.

Ćwiczenie 18

W pewnej szkole przeprowadzono badanie dotyczące liczby dzieci w rodzinach uczniów. Wyniki przedstawiono na diagramie.

RGJqqVJ5iPL4M1

Diagram kołowy, z którego odczytujemy procent rodzin w zależności od liczby posiadanych dzieci. 1 dziecko – 40% rodzin, 2 dzieci – 40% rodzin, 3 dzieci – 10% rodzin, 4 dzieci – 10% rodzin. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz wariancję i odchylenie standardowe otrzymanych wyników.

$σ^{2} = 0,89$ , $σ \approx 0,94$

Przyjmujemy następujące wagi

Tabela. Dane
$1$ dziecko	$2$ dzieci	$3$ dzieci	$4$ dzieci	Suma wag
$0,4$	$0,4$	$0,1$	$0,1$	$1$

Średnia ważona jest wówczas równa

{\bar{x}}_{w} = 0,4 ∙ 1 + 0,4 ∙ 2 + 0,1 ∙ 3 + 0,1 ∙ 4 = 0,4 + 0,8 + 0,3 + 0,4 = 1,9

Liczymy wariancję.

σ^{2} = \frac{{0,4 ∙ 1}^{2} + {0,4 ∙ 2}^{2} + {0,1 ∙ 3}^{2} + {0,1 ∙ 4}^{2}}{1} - {(1,9)}^{2} = 0,4 + 1,6 + 0,9 + 1,6 - 3,61 = 0,89

Wtedy odchylenie standardowe jest równe $σ \approx 0,94$ .

Ćwiczenie 19

Na lekcji fizyki przeprowadzono doświadczenie, podczas którego mierzono temperaturę pewnej próbki umieszczonej w określonych warunkach. Wyniki zapisano w tabeli.

Tabela. Dane
nr próbki	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
temperatura	$23,12$	$23,71$	$22,93$	$23,34$	$23,19$	$23,45$	$23,65$	$23,74$	$23,48$	$23,62$

Oblicz średnią temperaturę oraz wariancję i odchylenie standardowe w tym badaniu. Każdy z otrzymanych wyników podaj z dokładnością do $0,01$ .

Średnia, mediana, dominanta

Liczba elementów zbioru skończonego