Zapytaliśmy uczniów pewnej szkoły, ile godzin przeznaczają tygodniowo na naukę. Każdą otrzymaną odpowiedź zanotowaliśmy, zapisując też informację o płci ucznia i o klasie. Otrzymane dane zestawiliśmy w tabeli.

Nasza tabela składa się z $384$ wierszy. Bezpośrednia obserwacja takiej tabeli niewiele daje. Danych jest zbyt wiele, żeby je przyswoić i wyciągnąć z nich wnioski. Dane te wymagają pewnego zorganizowania w zależności od tego, co chcemy z nich wywnioskować. Gdy chcemy odpowiedzieć na pytanie, czy dziewczęta poświęcają tygodniowo na naukę więcej czasu niż chłopcy, to musimy pogrupować nasze dane ze względu na płeć. Gdy interesuje nas, której klasy uczniowie poświęcają najwięcej czasu na naukę, pogrupujemy je ze względu na klasę.
Oczywiście samo pogrupowanie danych jeszcze nie rozwiązuje problemu. Aby porównać interesującą nas wielkość, w każdej z wyodrębnionych grup, obliczamy pewną liczbę, reprezentującą tę wielkość. Tego typu liczby nazywamy parametrami danych statystycznych, czy też statystykami.
Zacznijmy od takich parametrów, które w pewien sposób wyznaczają „środek” danej próby, czyli są tzw. miarami tendencji centralnej. Należą do nich różnego rodzaju średnie, mediana i dominanta.

Średnią arytmetyczną liczb rzeczywistych $x_1,x_2, \dots ,x_n$ nazywamy liczbę $\stackrel{-}{x}=\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}$.

W celu ustalenia średniej ceny sprzedaży pewnej książki zbadano jej cenę w ośmiu księgarniach. Ceny te były równe: $\mathrm{34,00}\mathrm{ zł}; \mathrm{36,90}\mathrm{ zł}; \mathrm{29,99}\mathrm{ zł}; \mathrm{30,00}\mathrm{ zł}; \mathrm{32,35}\mathrm{ zł}; \mathrm{36,00}\mathrm{ zł}; \mathrm{38,90}\mathrm{ zł}; \mathrm{31,00}\mathrm{ zł}$. Średnia cena tej książki jest więc równa:

Średniej często używa się, żeby stworzyć jakiś wzorzec. Jeżeli obliczę, na podstawie rachunków z ostatniego roku, że średnia miesięczna opłata w moim mieszkaniu za energię elektryczną wynosi $102\mathrm{ zł}$, to mogę przewidywać, że w kolejnych miesiącach też zapłacę około $100\mathrm{ zł}$ miesięcznie, przy założeniu, że warunki nie zmienią się (nie kupię nowego sprzętu elektrycznego, nie zmieni się cena prądu itp). Średnia jest wielkością, z którą wygodnie jest porównywać konkretne dane. Jeżeli z badań przeprowadzonych na grupie $100\mathrm{ tys}$. licealistów wynika, że średnio poświęcają na naukę $63$ minuty dziennie, to możesz oszacować, czy uczysz się więcej, czy mniej niż przeciętny licealista.

Średnia cena pięciu filmów zakupionych przez pana Kowalskiego jest równa 24 zł. Po dokupieniu szóstego filmu, średnia cena wzrosła do $26\mathrm{ zł}$. Ile kosztował szósty z filmów?
Za pięć filmów zapłacono $24\bullet 5\mathrm{ zł}=120 \mathrm{zł}$. Oznaczmy cenę szóstego filmu przez $x$. Wtedy średnia cena zakupu filmu jest równa $\frac{120+x}{6}\mathrm{ zł}$. Cenę tę mamy podaną, jest ona równa $26\mathrm{ zł}$. Pozostaje rozwiązać równanie

Stąd $120+x=156$, czyli $x=36 \mathrm{zł}$.
Zauważ, że jeżeli średnia arytmetyczna pewnych liczb jest równa $\stackrel{-}{x}$ i dodasz do nich liczbę $a>\stackrel{-}{x}$, to po dodaniu średnia nowego zestawu liczb zwiększy się. Jeżeli dodasz liczbę $a<\stackrel{-}{x}$, to średnia nowego zestawu liczb zmniejszy się. Jeżeli dodamy $a=\stackrel{-}{x}$, to średnia nie ulegnie zmianie.

W pewnej szkole są trzy klasy trzecie. Średni wynik próbnej matury uczniów klasy $\mathrm{IIIa}$, liczącej $30$ osób, jest równy $20$ punktów, średni wynik klasy $\mathrm{IIIb}$, liczącej $20$ uczniów, jest równy $40$ punktów, a średni wynik klasy $\mathrm{IIIc}$, liczącej $25$ uczniów, to $30$ punktów. Ile jest równy średni wynik próbnej matury w całej szkole?
Zaczniemy od zsumowania liczby punktów uzyskanych z tej matury przez wszystkich uczniów w szkole. Klasa $\mathrm{IIIa}$: $30\bullet 20=600$ punktów.

• Klasa $\mathrm{IIIb}$: $20\bullet 40=800$ punktów.

• Klasa $\mathrm{IIIc}$: $25\bullet 30=750$ punktów.

W sumie w całej szkole uczniowie zdobyli $2150$ punktów. Ponieważ uczniów w klasach trzecich tej szkoły jest $30+20+25=75$, więc szukana średnia jest równa $\frac{2150}{75}\approx \mathrm{28,67}$.
Zauważ, że średnia ta nie jest średnią arytmetyczną podanych średnich w poszczególnych klasach, czyli nie jest ona równa:

Tak jest, gdyż liczby osób w klasach są różne. Średni wynik klasy III a w większym stopniu wpływa na obliczony średni wynik szkoły niż wynik każdej z pozostałych dwóch klas, ponieważ klasa $\mathrm{IIIa}$ jest najliczniejsza. Spośród wszystkich $75$ uczniów klas trzecich tej szkoły $30$ to uczniowie klasy $\mathrm{IIIa}$, więc możemy przyjąć, że mamy $30$ uczniów, z których każdy ma wynik $20$ punktów. Analogicznie możemy przyjąć, że mamy $20$ uczniów z wynikiem średnim $40$ punktów i $25$ uczniów z wynikiem $30$ punktów. Średni wynik jest więc równy:

Liczebności, z jakimi występowały wyniki $20, 40$ i $30$, a więc liczby $30, 20$ i $25$, są wagami tych wyników, a obliczona średnia to średnia ważona.

Średnią ważoną liczb $x_1,x_2, \dots ,x_n$, którym przyporządkowane są odpowiednio dodatnie wagi $w_1,w_2, \dots ,w_n$, nazywamy liczbę ${\stackrel{-}{x}}_w=\frac{x_1\bullet w_1+x_2\bullet w_2+\dots +x_n\bullet w_n}{w_1+w_2+\dots {+w}_n}$.

Aby zaliczyć przedmiot „Matematyka” na pewnym kierunku studiów, student musi uzyskać $3$ oceny: z ćwiczeń, laboratorium i egzaminu, przy czym każda z ocen musi być pozytywna (co najmniej równa $3$). Wówczas ocena z przedmiotu „Matematyka” jest średnią ważoną tych trzech ocen: ocena z ćwiczeń ma wagę $3$, z laboratorium $-$ wagę $1$, a ocena z egzaminu $-$ wagę $4$. W tabeli zestawiono oceny cząstkowe Tomka i Michała. Jaką ocenę otrzyma każdy z nich na zaliczenie?

Średnia ważona ocen Tomka jest równa ${\stackrel{-}{x}}_w=\frac{3\cdot 3+5\cdot 1+\mathrm{3,5}\cdot 4}{3+1+4}=\frac{28}{8}=\mathrm{3,5}$.
Średnia ważona ocen Michała jest równa ${\stackrel{-}{x}}_w=\frac{\mathrm{3,5}\cdot 3+3\cdot 1+5\cdot 4}{3+1+4}=\frac{\mathrm{33,5}}{8}=\mathrm{4,19}$.
Zwróć uwagę, że mimo iż obaj chłopcy cząstkowe oceny mieli takie same, czyli $3, \mathrm{3,5}$ oraz $5$ na koniec dostaną inną ocenę. Tak jest dlatego, gdyż Tomek ma najwyższą ocenę z laboratorium, czyli tę o najniższej wadze, za to Michał najwyższą ocenę ma z egzaminu, czyli tę o najwyższej wadze.
Średnia arytmetyczna ma pewne wady. Bardzo duży wpływ na nią mają wartości skrajne, czyli te największe i najmniejsze, zwłaszcza jeżeli są wyraźnie większe albo mniejsze od pozostałych. W takich przypadkach średnia nie oddaje prawdziwego poziomu interesującej nas wielkości.

Chcemy rozpocząć pracę w pewnej firmie. Dowiadujemy się, że średnia pensja w tej firmie to $1380\mathrm{ zł}$. Czy należy się spodziewać, że będziemy zarabiać około $1300 - 1400\mathrm{ zł}$? Otóż niekoniecznie. Gdyby w tej firmie pracowało $9$ osób, z których 8 to szeregowi pracownicy o zarobkach odpowiednio: $720\mathrm{ zł}, 800\mathrm{ zł}, 850\mathrm{ zł}, 850\mathrm{ zł}, 900\mathrm{ zł}, 900\mathrm{ zł}, 950\mathrm{ zł}$ i $950\mathrm{ zł}$ oraz $1$ prezes, którego zarobki to $5500\mathrm{ zł}$, to średnia pensja w tej firmie jest równa $1380\mathrm{ zł}$. Należy przypuszczać, że nowo zatrudniony pracownik w takiej firmie nie będzie zarabiał więcej niż najwięcej zarabiający aktualnie pracownik szeregowy, a więc $950\mathrm{ zł}$.
W takich przypadkach, gdy wyniki skrajne znacznie odbiegają od pozostałych i w efekcie zaburzają średnią, lepiej posłużyć się inną miarą tendencji centralnej. Możemy np. obliczyć medianę.

Medianą (wartością środkową) uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru $n$ liczb $x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n$jest:

• dla nieparzystej liczby $n$ środkowy wyraz ciągu, czyli wyraz $x_{\frac{n+1}{2},}$

• dla parzystej liczby $n$ średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów ciągu, czyli $\frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})$.

Policzmy medianę zarobków w firmie z przykładu $6$. Pensje już są ustawione w ciąg niemalejący

Medianę liczymy z $9$ liczb, czyli środkową jest stojąca na pozycji piątej. Mediana jest więc równa $900$. Wielkość ta dużo lepiej, niż średnia arytmetyczna oddaje realia zarobków szeregowych pracowników w rozważanej firmie.

Średnia arytmetyczna zestawu danych: $4, 5, 8, 3, 3, \mathrm{11,12},x$ jest równa $7$. Oblicz medianę tego zestawu danych.
Suma danych liczb jest równa: $4+5+8+3+3+11+12+x=46+x$. Ponieważ średnia arytmetyczna tych danych jest równa $7$, otrzymujemy równanie $\frac{46+x}{8}=7$, stąd $46+x=56$. Mamy więc $x=10$. Ustawiamy dane liczby w niemalejący ciąg

Liczba wyrazów ciągu jest równa $8$, a więc jest parzysta. Stąd mediana jest równa średniej arytmetycznej wyrazów stojących na dwóch środkowych pozycjach. W tym przypadku na czwartej i piątej. Jest więc równa $\frac{5+8}{2}=\frac{13}{2}=\mathrm{6,5}$.

• Innym sposobem na zmniejszenie wrażliwości średniej na wyniki skrajne jest odrzucenie pewnej liczby największych i najmniejszych danych i policzenie średniej z pozostałych danych. Taka średnia nosi nazwę średniej ucinanej (obciętej). Spotykamy ją w liczeniu noty końcowej przyznawanej przez sędziów w wielu dyscyplinach sportowych, np. w skokach narciarskich, jeździe figurowej na lodzie, czy gimnastyce artystycznej.

• Sposobem na znalezienie „środka” danej próby jest podanie tzw. dominanty. Przydaje się ona szczególnie w tych przypadkach, gdy opisywane wielkości nie mają wartości liczbowej, czyli nie można policzyć dla nich średniej czy mediany.

Dominantą (modą, wartością najczęstszą) nazywamy tę wartość, która występuje w próbie najczęściej.

W sondzie ulicznej stu losowo wybranym osobom zadano pytanie: jaką herbatę piją najchętniej? Wyniki badania przedstawiono na diagramie.

RTKvnnmt0isru1

Diagram kołowy, z którego odczytujemy rodzaj herbaty, jaką piją wybrane w sondzie ulicznej osoby. Herbatę owocową wybrało – 25% badanych, herbatę zieloną wybrało – 19%, herbatę czarną wybrało – 47%, herbatę roibos wybrało – 5%, herbatę mate wybrało – 2%. Nie pijam herbaty – 2% badanych.

Dominantą tego badania jest herbata czarna.

W pewnym domu kultury prowadzone są zajęcia plastyczne, w których bierze udział $90$ dzieci. Porównaj ze sobą średnią wieku, medianę i dominantę uczestników tych zajęć.

Rf2DX8wZ0huhW1

Diagram słupkowy pionowy (słupki ułożone pionowo), z którego odczytujemy liczbę dzieci na zajęciach plastycznych w zależności od wieku dziecka. Wiek 7 lat – 7 dzieci, wiek 8 lat – 13 dzieci, wiek 9 lat – 23 dzieci, wiek 10 lat – 21 dzieci, wiek 11 lat – 14 dzieci, wiek 12 lat – 5 dzieci, wiek 13 lat – 2 dzieci, wiek 14 lat – 8 dzieci.

Średnia wieku uczestników jest równa:

Dominantą jest wiek $9$ lat. Medianą będzie średnia arytmetyczna wieku stojącego na $45$ i $46$ pozycji w niemalejącym ciągu wieku uczestników. Zauważmy, że jeżeli zsumujemy liczby siedmio-, ośmio- i dziewięciolatków, otrzymamy $40$ osób, czyli od pozycji $41$ do pozycji $61$ będzie stała wartość $10$ lat, więc mediana jest równa $10$.