Liczba rozwiązań układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Przykład 1

RepwbsfWrbLjf1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

RbTMzjm1cyY5O1

Zapamiętaj!

Para liczb spełnia dany układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, jeżeli spełnia jednocześnie dwa równania tego układu.
Zbiór wszystkich par liczb spełniających dany układ równań nazywamy rozwiązaniem tego układu równań.

Ważne!

Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi może:

nie mieć żadnej pary liczb spełniającej dany układ równań,
mieć dokładnie jedną parę liczb spełniającą dany układ równań,
mieć nieskończenie wiele par liczb spełniających dany układ równań.

Przykład 3

Spośród poniższych układów równań wybierz te, które:

mają dokładnie jedno rozwiązanie,
nie mają żadnego rozwiązania,
mają nieskończenie wiele rozwiązań.
R1OxwRstbf6Ms1
Animacja
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja

Zapamiętaj!

Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb nazywamy układem oznaczonym.
Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest nieskończenie wiele par liczb, nazywamy układem nieoznaczonym.
Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, który nie ma rozwiązania, nazywamy układem sprzecznym.

ijOjqrBdbU_d5e409

Ćwiczenie 1

RG5MkpdRKa9K01

Połącz w pary układy równań z ich rozwiązaniami.

${\begin{array}{c} 2 x - y = - 2 \\ x + y = - 1 \end{array}$
${\begin{array}{c} 2 x - y = 1 \\ x + y = 5 \end{array}$
${\begin{array}{c} - x + 2 y = 4 \\ x - 4 y = - 5 \end{array}$
${\begin{array}{c} 4 x + 5 y = 4 \\ 4 x - 5 y = 6 \end{array}$
${\begin{array}{c} - x + y = 1 \\ x - 2 y = 3 \end{array}$
${\begin{array}{c} 3 x - 4 y = - 14 \\ 2 x + 5 y = 6 \end{array}$
${\begin{array}{c} x - y = 0 \\ x + y = 6 \end{array}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 2

Parą liczb spełniającą układ równań $\{\begin{matrix} 5 x + 2 y = 3 \\ - 4 x - 0,5 y = 2 \end{matrix}$ jest

RPUTFzSmk40AU

$(- 1, 4)$
$(- 1, - 4)$
$(1, 4)$
$(1, - 4)$

static

Ćwiczenie 2

Parą liczb spełniającą układ równań $\{\begin{matrix} 5 x + 2 y = 3 \\ - 4 x - 0,5 y = 2 \end{matrix}$ jest

R1Sp9Wt79B5Oq

$(- 1, 4)$
$(- 1, - 4)$
$(1, 4)$
$(1, - 4)$

classicmobile

Ćwiczenie 3

Parą liczb spełniającą układ równań $\{\begin{matrix} 2 (x - 6) + 4 (y + 3) = y - x \\ - (- x + 1) - 2 (5 - 2 y) = - 17 \end{matrix}$ jest

R1MLpS4M8KHzp

$(2, - 2)$
$(2, 2)$
$(- 2, 2)$
$(- 2, - 2)$

static

Ćwiczenie 3

Parą liczb spełniającą układ równań $\{\begin{matrix} 2 (x - 6) + 4 (y + 3) = y - x \\ - (- x + 1) - 2 (5 - 2 y) = - 17 \end{matrix}$ jest

RUmFKh5D7Q00I

$(2, - 2)$
$(2, 2)$
$(- 2, 2)$
$(- 2, - 2)$

classicmobile

Ćwiczenie 4

Sprawdź, czy podana para liczb jest rozwiązaniem danego układu równań.

RJamr8DiFp1Pf

$"{"\begin{matrix} - y - x = 1 \\ 2 x - 3 y = 28 \end{matrix}"", (5, - 6)$
$"{"\begin{matrix} 2 x - y = - 7 \\ y = 1 - x \end{matrix},"" (- 2, 3)$
$"{"\begin{matrix} - 4 x - y = - 15 \\ 3 y - 7 x = 7 \end{matrix}"", (2, - 7)$
$"{"\begin{matrix} x - 2 y = - 12 \\ 2 y - x = 4 \end{matrix},"" (- 4, - 4)$
$"{"\begin{matrix} 2 (x - y) = 2 \\ 3 (x - 1) + 2 (y - 1) = 8 \end{matrix},"" (3, 2)$

static

Ćwiczenie 4

Sprawdź, czy podana para liczb jest rozwiązaniem danego układu równań.

R1P5SbQxWuguF

$"{"\begin{matrix} - y - x = 1 \\ 2 x - 3 y = 28 \end{matrix}"", (5, - 6)$
$"{"\begin{matrix} 2 x - y = - 7 \\ y = 1 - x \end{matrix},"" (- 2, 3)$
$"{"\begin{matrix} - 4 x - y = - 15 \\ 3 y - 7 x = 7 \end{matrix}"", (2, - 7)$
$"{"\begin{matrix} x - 2 y = - 12 \\ 2 y - x = 4 \end{matrix},"" (- 4, - 4)$
$"{"\begin{matrix} 2 (x - y) = 2 \\ 3 (x - 1) + 2 (y - 1) = 8 \end{matrix},"" (3, 2)$

classicmobile

Ćwiczenie 5

Sprawdź, które układy równań spełnia para liczb $(- 4, \frac{1}{5})$ .

R1bOBp2bwabls

$"{"\begin{matrix} \frac{1}{2} x - 10 y = 6 \\ 6 x - 15 y = - 1 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} - 3 x + 5 y = 9 \\ x + 5 y = - 3 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 3 \frac{1}{2} x + 25 y = - 9 \\ 10 y - 3 x = 14 \end{matrix}""$

static

Ćwiczenie 5

Sprawdź, które układy równań spełnia para liczb $(- 4, \frac{1}{5})$ .

Rx6X4ZGHQ4O8Y

$"{"\begin{matrix} \frac{1}{2} x - 10 y = 6 \\ 6 x - 15 y = - 1 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} - 3 x + 5 y = 9 \\ x + 5 y = - 3 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 3 \frac{1}{2} x + 25 y = - 9 \\ 10 y - 3 x = 14 \end{matrix}""$

Ćwiczenie 6

Zapisz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest podana para liczb

$(4, 6)$
$(- 2, - 5)$
$(0, 9)$
$(- 3, 0)$
$(- 1, 4)$

ijOjqrBdbU_d5e651

Ćwiczenie 7

R1cDUJdd37hq31

Przeciagnij i upuść układy równań z dolnej sekcji do górnej.

brak rozwiązań
jedno rozwiązanie
nieskończenie wiele rozwiązań

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 8

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RRH1SLqNUqbiW

Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ x - y = 3 \end{matrix}""$ jest układem oznaczonym.
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ 2 x + 2 y = 6 \end{matrix}""$ jest układem nieoznaczonym.
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ 2 x + 2 y = 3 \end{matrix}""$ jest układem oznaczonym
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ x - y = 3 \end{matrix}""$ jest układem nieoznaczonym.
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ 2 x + 2 y = 6 \end{matrix}""$ jest układem oznaczonym.
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ 2 x + 2 y = 6 \end{matrix}""$ jest układem sprzecznym.

static

Ćwiczenie 8

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RcIZxtXCoeb9L

Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ x - y = 3 \end{matrix}""$ jest układem oznaczonym.
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ 2 x + 2 y = 6 \end{matrix}""$ jest układem nieoznaczonym.
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ 2 x + 2 y = 3 \end{matrix}""$ jest układem oznaczonym
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ x - y = 3 \end{matrix}""$ jest układem nieoznaczonym.
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ 2 x + 2 y = 6 \end{matrix}""$ jest układem oznaczonym.
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ 2 x + 2 y = 6 \end{matrix}""$ jest układem sprzecznym.

classicmobile

Ćwiczenie 9

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RnMO5nKDJYoSy

Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ x + y = - 3 \end{matrix}""$ jest układem sprzecznym.
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ 2 x + 2 y = 3 \end{matrix}""$ jest układem sprzecznym.
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ x - y = 3 \end{matrix}""$ jest układem sprzecznym.
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ x + y = - 3 \end{matrix}""$ jest układem oznaczonym.
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ x + y = - 3 \end{matrix}""$ jest układem nieoznaczonym.
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ 2 x + 2 y = 3 \end{matrix}""$ jest układem nieoznaczonym.

static

Ćwiczenie 9

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R6jclPpE5DXvq

Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ x + y = - 3 \end{matrix}""$ jest układem sprzecznym.
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ 2 x + 2 y = 3 \end{matrix}""$ jest układem sprzecznym.
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ x - y = 3 \end{matrix}""$ jest układem sprzecznym.
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ x + y = - 3 \end{matrix}""$ jest układem oznaczonym.
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ x + y = - 3 \end{matrix}""$ jest układem nieoznaczonym.
Układ równań $"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ 2 x + 2 y = 3 \end{matrix}""$ jest układem nieoznaczonym.

classicmobile

Ćwiczenie 10

Które z podanych układów równań są sprzeczne?

R1Va4sAuwZvtg

$"{"\begin{matrix} 2 a + 3 b = 1 \\ 2 a + 3 b = - 1 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} a - 6 b = 2 \\ - a + 6 b = 2 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x - 3 y = 5 \\ - x + 3 y = 5 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 24 x - 16 y = 9 \\ 12 x - 8 y = 9 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x + 2 y = 3 \\ - x - 2 y = - 3 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 2 a + 4 b = 8 \\ a + 2 b = 4 \end{matrix}""$

static

Ćwiczenie 10

Które z podanych układów równań są sprzeczne?

RcAOtiZNliIF4

$"{"\begin{matrix} 2 a + 3 b = 1 \\ 2 a + 3 b = - 1 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} a - 6 b = 2 \\ - a + 6 b = 2 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x - 3 y = 5 \\ - x + 3 y = 5 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 24 x - 16 y = 9 \\ 12 x - 8 y = 9 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x + 2 y = 3 \\ - x - 2 y = - 3 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 2 a + 4 b = 8 \\ a + 2 b = 4 \end{matrix}""$

classicmobile

Ćwiczenie 11

Które z podanych układów równań są sprzeczne?

RA3QUaLC9h237

$"{"\begin{matrix} 24 x - 16 y = 9 \\ 12 x - 8 y = 9 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 6 x - 2 y = 5 \\ - 2 y + 6 x = 4 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} - 3 y + 3 x = 1 \\ 3 y - 3 x = 1 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 4 a - 7 b = 12 \\ 4 a - 7 b = 21 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x + 3 y = 12 \\ x - 3 y = 12 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 5 x - 7 y = 0 \\ 4 x + 7 y = 18 \end{matrix}""$

static

Ćwiczenie 11

Które z podanych układów równań są sprzeczne?

RNZhHbFM3mSaP

$"{"\begin{matrix} 24 x - 16 y = 9 \\ 12 x - 8 y = 9 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 6 x - 2 y = 5 \\ - 2 y + 6 x = 4 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} - 3 y + 3 x = 1 \\ 3 y - 3 x = 1 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 4 a - 7 b = 12 \\ 4 a - 7 b = 21 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x + 3 y = 12 \\ x - 3 y = 12 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 5 x - 7 y = 0 \\ 4 x + 7 y = 18 \end{matrix}""$

classicmobile

Ćwiczenie 12

Które z podanych układów równań są nieoznaczone?

R79Obq6bBctBO

$"{"\begin{matrix} 2 a + 3 b = 1 \\ - 2 a - 3 b = - 1 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} a + 6 b = 2 \\ a + 6 b = 2 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x + 3 y = - 5 \\ - x - 3 y = 5 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 24 x - 16 y = 9 \\ 12 x - 8 y = 4,5 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 24 x - 16 y = 9 \\ 12 x - 8 y = 9 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 4 a - 7 b = 12 \\ 4 a - 7 b = 24 \end{matrix}""$

static

Ćwiczenie 12

Które z podanych układów równań są nieoznaczone?

RL4e0CFXmR4Ya

$"{"\begin{matrix} 2 a + 3 b = 1 \\ - 2 a - 3 b = - 1 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} a + 6 b = 2 \\ a + 6 b = 2 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x + 3 y = - 5 \\ - x - 3 y = 5 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 24 x - 16 y = 9 \\ 12 x - 8 y = 4,5 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 24 x - 16 y = 9 \\ 12 x - 8 y = 9 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 4 a - 7 b = 12 \\ 4 a - 7 b = 24 \end{matrix}""$

classicmobile

Ćwiczenie 13

Które z podanych układów równań są nieoznaczone?

RNCFDgpI0gItA

$"{"\begin{matrix} 24 x - 16 y = 9 \\ 12 x - 8 y = 4,5 \end{matrix}""$ ,
$"{"\begin{matrix} 6 x - 2 y = 5 \\ - 2 y + 6 x = 5 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} y + 3 x = - 1 \\ 3 y + 9 x = - 3 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 4 a - 7 b = 12 \\ 14 b - 8 a = - 24 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} y + 3 x = 1 \\ 3 y + x = 3 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 2 a + 4 b = 8 \\ a + 2 b = 16 \end{matrix}""$

static

Ćwiczenie 13

Które z podanych układów równań są nieoznaczone?

R1IEBzZ0KEULa

$"{"\begin{matrix} 24 x - 16 y = 9 \\ 12 x - 8 y = 4,5 \end{matrix}""$ ,
$"{"\begin{matrix} 6 x - 2 y = 5 \\ - 2 y + 6 x = 5 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} y + 3 x = - 1 \\ 3 y + 9 x = - 3 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 4 a - 7 b = 12 \\ 14 b - 8 a = - 24 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} y + 3 x = 1 \\ 3 y + x = 3 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 2 a + 4 b = 8 \\ a + 2 b = 16 \end{matrix}""$

classicmobile

Ćwiczenie 14

Które z podanych układów równań są oznaczone?

Rs1vYTcnMqHUH

$"{"\begin{matrix} 2 a + 3 b = 1 \\ - 2 a + 3 b = - 1 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} a - 6 b = 2 \\ a + 6 b = 2 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x + 3 y = 5 \\ - x + 3 y = 5 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} y + 3 x = 1 \\ 3 y + x = 1 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 24 x - 16 y = 9 \\ 12 x - 8 y = 9 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 6 x - 2 y = 5 \\ - 2 y + 6 x = 4 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 4 a - 7 b = 12 \\ 4 a - 7 b = 21 \end{matrix}""$

static

Ćwiczenie 14

Które z podanych układów równań są oznaczone?

R18Bsev0iO2TQ

$"{"\begin{matrix} 2 a + 3 b = 1 \\ - 2 a + 3 b = - 1 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} a - 6 b = 2 \\ a + 6 b = 2 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x + 3 y = 5 \\ - x + 3 y = 5 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} y + 3 x = 1 \\ 3 y + x = 1 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 24 x - 16 y = 9 \\ 12 x - 8 y = 9 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 6 x - 2 y = 5 \\ - 2 y + 6 x = 4 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 4 a - 7 b = 12 \\ 4 a - 7 b = 21 \end{matrix}""$

classicmobile

Ćwiczenie 15

Które z podanych układów równań są oznaczone?

R8GeGrO59djwS

$"{"\begin{matrix} y + 3 x = 1 \\ 3 y + x = 1 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 3 x + 3 y = 15 \\ - 3 x + 2 y = 10 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x = 3 y \\ x + y = 4 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} y = - 7 x \\ x + y = - 6 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x + 3 y = 5 \\ - x - 3 y = 5 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x + 3 y = 5 \\ - x - 3 y = - 5 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x + 3 y = 1 \\ - x - 3 y = 2 \end{matrix}""$

static

Ćwiczenie 15

Które z podanych układów równań są oznaczone?

RhgUNTN6xkSVs

$"{"\begin{matrix} y + 3 x = 1 \\ 3 y + x = 1 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 3 x + 3 y = 15 \\ - 3 x + 2 y = 10 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x = 3 y \\ x + y = 4 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} y = - 7 x \\ x + y = - 6 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x + 3 y = 5 \\ - x - 3 y = 5 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x + 3 y = 5 \\ - x - 3 y = - 5 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x + 3 y = 1 \\ - x - 3 y = 2 \end{matrix}""$

ijOjqrBdbU_d5e1197

classicmobile

Ćwiczenie 16

Układ równań $\{\begin{matrix} 2 x - 7 y = - 3 \\ - 2 x - 7 y = - 3 \end{matrix}$ jest

R1M8cZUmfClep

oznaczony
nieoznaczony
sprzeczny

static

Ćwiczenie 16

Układ równań $\{\begin{matrix} 2 x - 7 y = - 3 \\ - 2 x - 7 y = - 3 \end{matrix}$ jest

R1Hv0jwoqa1pV

oznaczony
nieoznaczony
sprzeczny

classicmobile

Ćwiczenie 17

Układ równań $\{\begin{matrix} - 2 x + 7 y = - 3 \\ 2 x - 7 y = 3 \end{matrix}$ jest

RWcd3gTq74ePr

nieoznaczony
oznaczony
sprzeczny

static

Ćwiczenie 17

Układ równań $\{\begin{matrix} - 2 x + 7 y = - 3 \\ 2 x - 7 y = 3 \end{matrix}$ jest

R1f25nXwJP5J0

nieoznaczony
oznaczony
sprzeczny

classicmobile

Ćwiczenie 18

Układ równań $\{\begin{matrix} - 2 x + 7 y = - 3 \\ 2 x - 7 y = - 3 \end{matrix}$ jest

R1SpQg0T82SJT

sprzeczny
nieoznaczony
oznaczony

static

Ćwiczenie 18

Układ równań $\{\begin{matrix} - 2 x + 7 y = - 3 \\ 2 x - 7 y = - 3 \end{matrix}$ jest

R1MM6nt4uJ4fe

sprzeczny
nieoznaczony
oznaczony

Ćwiczenie 19

Jaki jednomian należy wpisać w miejsce kropek, aby otrzymany układ równań był sprzeczny?

$\{\begin{matrix} x - 8 y = 6 \\ \dots - 8 y = - 5 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} 2 a - 4 b = 3 \\ - 2 a + \dots = 3 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} 6 x + 8 y = 12 \\ - 3 x - 4 y = \dots \end{matrix}$

$x$
$4 b$
różny od $- 6$

Ćwiczenie 20

Jaki jednomian należy wpisać w miejsce kropek, aby otrzymany układ równań był nieoznaczony?

$\{\begin{matrix} 2 a + 3 b = 5 \\ - 2 a + \dots = - 5 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} 20 x + 35 y = 10 \\ \dots - 7 y = - 2 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} 13 x - 9 y = 32 \\ 26 x - 18 y = \dots \end{matrix}$

$- 3 b$
$- 4 x$
$64$

Ćwiczenie 21

Z podanych równań wybierz takie, aby otrzymać układ oznaczony.

$\{\begin{matrix} 2 x - 6 y = 10 \\ \dots \end{matrix}$

$x - 3 y = 5, x + 3 y = 5, - x - 3 y = 5, x - 3 y = - 5, - x + 3 y = 5$

$\{\begin{matrix} - \frac{1}{2} x + 3 y = 1 \\ \dots \end{matrix}$

$2 x - 12 y = - 4, 2 x + 12 y = - 4, - 2 x + 12 y = - 4, 2 x - 12 y = 4, - 2 x - 12 y = - 4$

$\{\begin{matrix} 5 x - y = - 3 \\ \dots \end{matrix}$

$15 x - 3 y = - 9, 15 x + 3 y = - 9, - 15 x - 3 y = - 9, 15 x - 3 y = 9, - 15 y + 3 y = - 9$

$x - 3 y = 5$
$2 x - 12 y = - 4$
$15 x - 3 y = - 9$

Ćwiczenie 22

Z podanych równań dobierz takie drugie równanie, aby otrzymany układ był sprzeczny.

$\{\begin{matrix} 2 x - 6 y = 10 \\ \dots \end{matrix}$
$x - 3 y = 5, x + 3 y = 5, - x - 3 y = 5, x - 3 y = - 5, - x + 3 y = - 5$
$\{\begin{matrix} - \frac{1}{2} x + 3 y = 1 \\ \dots \end{matrix}$
$2 x - 12 y = - 4, 2 x + 12 y = - 4, - 2 x + 12 y = - 4, 2 x - 12 y = 4, - 2 x - 12 y = - 4$
$\{\begin{matrix} 5 x - y = - 3 \\ \dots \end{matrix}$
$15 x - 3 y = - 9, 15 x + 3 y = - 9, - 15 x - 3 y = - 9, 15 x - 3 y = 9, - 15 y + 3 y = - 9$

$x - 3 y = - 5$
$2 x - 12 y = 4$
$15 x - 3 y = 9$

Ćwiczenie 23

Wybierz spośród podanych równań z dwiema niewiadomymi dwa równania, tak aby otrzymany układ równań był oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny. Rozważ wszystkie możliwości.

$x - 4 y = 3$
$- x + 4 y = - 3$
$2 x + 4 y = 6$
$2 x - 8 y = 6$
$2 x + 4 y = - 6$

układ nieoznaczony: $\{\begin{matrix} x - 4 y = 3 \\ - x + 4 y = - 3 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} x - 4 y = 3 \\ 2 x - 8 y = 6 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} - x + 4 y = - 3 \\ 2 x - 8 y = 6 \end{matrix}$
układ oznaczony: $\{\begin{matrix} x - 4 y = 3 \\ 2 x + 4 y = 6 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} - x + 4 y = - 3 \\ 2 x + 4 y = 6 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} 2 x + 4 y = - 6 \\ x - 4 y = 3 \end{matrix}$ , $\begin{matrix} 2 x + 4 y = - 6 \\ - x + 4 y = - 3 \end{matrix}$ , $\begin{matrix} 2 x + 4 y = - 6 \\ 2 x - 8 y = 6 \end{matrix}$
układ sprzeczny: $\{\begin{matrix} 2 x + 4 y = 6 \\ 2 x + 4 y = - 6 \end{matrix}$

Ćwiczenie 24

Zapisz wyrażenie algebraiczne, które należy wpisać w miejsce kropek, aby układ równań $\{\begin{matrix} - 2 x + 7 y = 5 \\ \dots = - 10 \end{matrix}$

był sprzeczny
był nieoznaczony

$2 x - 7 y$
$4 x - 14 y$

Układ równań z dwiema niewiadomymi – opisywanie związków między wielkościami za pomocą równań

Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania

Liczba rozwiązań układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi