Miejsce zerowe funkcji

Przykład 1

Przyjrzyjmy się wykresowi zmian temperatury powietrza w pewnej miejscowości w marcu.

RvX9vsnqeLeX51

Wykres pokazuje, że w dniach od 1 do 6 marca oraz w dniach od 10 do 31 marca temperatura powietrza była równa 0 stopni Celsjusza lub dodatnia. W dniach 7, 8, 9 marca temperatura powietrza była ujemna. Temperatura -4 stopnie Celsjusza w dniu 9 marca była najniższa, a temperatura 9 stopni Celsjusza w dniu 13 marca była najwyższa.

Z wykresu możemy odczytać, że temperatura powietrza w dniu $5$ marca była równa $3 ℃,$ natomiast $11$ marca wynosiła $4 ℃$ . Możemy też z wykresu dowiedzieć się, że temperaturę $5 ℃$ odnotowano czterokrotnie: $2$ , $12$ , $14$ , $26$ marca.

RHwylfk87113M1

Na wykresie temperatury zaznaczona jest prosta pomocnicza w miejscu, gdzie temperatura wynosi 5 stopni Celsjusza, co ułatwia odczytanie z wykresu dni z tą temperaturą.

Szczególną wartością temperatury powietrza jest $0 ℃$ . W tej temperaturze woda przechodzi ze stanu stałego w ciekły lub na odwrót. W których dniach marca, w tej miejscowości odnotowano temperaturę $0 ℃$ ? Z wykresu odczytujemy: $6$ , $10$ , $16$ marca. Możemy przyjąć, że rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji. Wtedy dla $x = 6, x = 10, x = 16$ wartości tej funkcji są równe $0$ .

Miejsce zerowe funkcji

Definicja: Miejsce zerowe funkcji

Miejscem zerowym funkcji nazywamy każdy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $0$ .

Zbiór miejsc zerowych funkcji

Definicja: Zbiór miejsc zerowych funkcji

Zbiorem miejsc zerowych nazywamy zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartość $0$ .

Ćwiczenie 1

Sprawdź, która liczba jest miejscem zerowym funkcji.
$y = 2 x - 2, x_{0} = \dots$
$y = x^{3} - 1, x_{0} = \dots$
$y = x^{2} - 1, x_{0} = \dots$

$x_{0} = 1$
$x_{0} = 1$
$x_{0_{1}} = - 1, x_{0_{2}} = 1$

Ćwiczenie 2

Odczytaj z wykresów miejsca zerowe funkcji.

R4zB69o288q5r1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RKN2EeDFo91Ax1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RlZNHnc6zKjEc1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R6htWWCnkHvXb1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x_{0} = 2$
$x_{0_{1}} = - 2$ $x_{0_{2}} = 1$
$x_{0_{1}} = - 1$ $x_{0_{2}} = 1$
$x_{0_{1}} = 1 x_{0_{2}} = 3$

iip6dgnY5k_d5e229

Ćwiczenie 3

Na podstawie grafu odczytaj miejsca zerowe.

Rj0ca86ut8kMU1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RQEaolFCVeFpl1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rnv3vPOYbsX9O1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Miejsca zerowe to $4$ i $6$
Miejsca zerowe to $0, 2, 4$
Miejsca zerowe to $0, 1, 2, 3$

classicmobile

Ćwiczenie 4

Funkcja $f : X \to Y$ określona jest za pomocą tabelki.

Tabela. Dane
$x$	$- 2$	$0$	$1$	$3$	$4$	$7$
$y$	$2$	$3$	$0$	$1$	$2$	$0$

Miejsce zerowe funkcji $f$ to:

R1KtJ3yPUL7Sc

$3$
$1$ i $7$
tylko $1$
tylko $7$

static

Ćwiczenie 4

Funkcja $f : X \to Y$ określona jest za pomocą tabelki.

Tabela. Dane
$x$	$- 2$	$0$	$1$	$3$	$4$	$7$
$y$	$2$	$3$	$0$	$1$	$2$	$0$

Miejsce zerowe funkcji $f$ to:

RxBSQaiMIuwld

$3$
$1$ i $7$
tylko $1$
tylko $7$

classicmobile

Ćwiczenie 5

Która funkcja ma dwa miejsca zerowe $- 2$ i $2$ ?

RQbknAOtY8L9x

$y = x^{2} + 4$
$y = x - 4$
$y = - x^{2} + 4$
$y = - x^{2} - 4$

static

Ćwiczenie 5

Która funkcja ma dwa miejsca zerowe $- 2$ i $2$ ?

R12lSKmXZYziH

$y = x^{2} + 4$
$y = x - 4$
$y = - x^{2} + 4$
$y = - x^{2} - 4$

classicmobile

Ćwiczenie 6

Jeżeli liczba $- 2$ jest miejscem zerowym funkcji $y = (m + 1) x - 2$ , to

RTl0nZe70MiIr

$m = - 4$
$m = 4$
$m = - 1$
$m = - 2$

static

Ćwiczenie 6

Jeżeli liczba $- 2$ jest miejscem zerowym funkcji $y = (m + 1) x - 2$ , to

RAvU9s5AbCVF6

$m = - 4$
$m = 4$
$m = - 1$
$m = - 2$

classicmobile

Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1FiOlhP8juGY

Liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f (x) = 2 x + 2$ .
Liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f (x) = 2 x - 2$ .
Funkcja $f (x) = 0$ nie posiada miejsc zerowych.
Funkcja $f (x) = 0$ posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych.
Liczba $\sqrt{2}$ jest miejscem zerowym funkcji $f (x) = x + 2 \sqrt{2}$ .
Liczba $\sqrt{2}$ jest miejscem zerowym funkcji $f (x) = 2 x - 2 \sqrt{2}$ .

static

Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RZgVYr5pduF1r

Liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f (x) = 2 x + 2$ .
Liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f (x) = 2 x - 2$ .
Funkcja $f (x) = 0$ nie posiada miejsc zerowych.
Funkcja $f (x) = 0$ posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych.
Liczba $\sqrt{2}$ jest miejscem zerowym funkcji $f (x) = x + 2 \sqrt{2}$ .
Liczba $\sqrt{2}$ jest miejscem zerowym funkcji $f (x) = 2 x - 2 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 8

Liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f (x) = (m + 1) x - 2$ , gdzie $x$ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Oblicz wartość m i podaj wzór funkcji $f (x)$ .
Oblicz wartość funkcji dla argumentu $3$ .
Dla jakiego argumentu wartość funkcji wynosi $1$ ?

$m = 0$
$1$
$3$

Ćwiczenie 9

Narysuj graf, tabelkę i wykres funkcji, której dziedziną jest zbiór składający się z $8$ elementów, jeżeli

funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe
funkcja ma $6$ miejsc zerowych
funkcja nie ma miejsca zerowego

Sposoby opisywania funkcji

Funkcja i jej własności. Część I