Przykład 1

W tabeli przedstawione zostały średnie wyniki pomiarów temperatury powietrza w Warszawie w okresie od 5 do 11 stycznia.

TAB

Dzień miesiąca

5
6
7
8
9
10
11

Temperatura w °C

-3
2
0
1
-4
-1
2

Sporządźmy wykres tej funkcji.
Odczytajmy miejsce zerowe tej funkcji.
Wskażmy argumenty, dla których funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie oraz wartości ujemne.

Przykład 2

Temperatura powietrza w Warszawie była równa 0°C w dniu 7 stycznia, czyli miejscem zerowym tej funkcji jest ten jeden argument.
Ponieważ dodatnia temperatura powietrza w Warszawie była 6 stycznia, 8 stycznia oraz 11 stycznia, to funkcja przyjmuje dla tych trzech argumentów wartości dodatnie.
Ponieważ ujemna temperatura powietrza w Warszawie była 5 stycznia, 9 stycznia, 10 stycznia, to funkcja przyjmuje dla tych trzech argumentów wartości ujemne.

Zapamiętaj!
  • Ox dzieli wykres funkcji tak, że każdy punkt wykresu, który leży powyżej osi Ox, ma współrzędne, z których druga jest dodatnia. Mówimy wtedy, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

  • Podobnie każdy punkt wykresu, który leży poniżej osi Ox, ma współrzędne, z których druga jest ujemna. Mówimy wtedy, że funkcja przyjmuje wartości ujemne.

Przykład 3

Rozpatrzmy funkcję f określoną wzorem f(x)=3x+5. Obliczymy wartości tej funkcji dla argumentów ze zbioru -2, -123, 0,75, 7.

RRutcaOcbNdLG1
Animacja
Przykład 4

Aby odczytać z wykresu funkcji, jaką wartość przyjmuje ona dla danego argumentu a, wystarczy narysować prostą równoległą do osi Oy, na której leżą wszystkie punkty, których pierwsza współrzędna jest równa a (o takiej prostej mówimy, że ma równanie x=a). Otrzymamy wtedy dokładnie jeden punkt przecięcia tej prostej z wykresem funkcji. Druga współrzędna tego punktu jest szukaną wartością.

R1T4O4wsFiTX01
Animacja
Przykład 5

W praktyce często analizujemy wykresy, szukając na nich argumentów, dla których funkcja osiąga pewne szczególne wartości (co było szerzej skomentowane w przykładach wstępnych). Istotną umiejętnością jest odczytanie z wykresu funkcji jej wartości najmniejszej i wartości największej, o ile da się takie wartości wyznaczyć.

RJDZRITx3llc61
Animacja pokazuje jak poruszając się po wykresie funkcji odczytać najmniejszą i największą wartość funkcji dla danego argumentu.
Przykład 6

Aby odczytać z wykresu, czy i dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość w, wystarczy dorysować prostą równoległą do osi Ox, na której leżą wszystkie punkty, których druga współrzędna jest równa w (o takiej prostej mówimy, że ma równanie y=w). Jeżeli taka prosta przecina wykres danej funkcji, to odczytując pierwszą współrzędną każdego z punktów przecięcia, wyznaczymy argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość w.

RuJYMFY5jBFLz1
Animacja.
Przykład 7

Odczytaj z wykresu funkcji f liczbę rozwiązań równania f(x)=m.

R1RJ9ys6Aw57r1
Animacja pokazuje jak z wykresu odczytać liczbę rozwiązań równania dla zadanej wartości m.
Przykład 8

Dany jest wykres funkcji f.

R1V4pAk3nOp411
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  1. Odczytajmy miejsca zerowe, dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji.

  2. Wskażmy argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie i ujemne.

Przykład 9

Dany jest wykres funkcji f.
Obserwujmy, jak przy zmianie położenia punktu na wykresie zmieniają się wartości tej funkcji dla poszczególnych argumentów.

  1. R1STiOWTa68n21
    Animacja pokazuje wykres funkcji rosnącej.

  2. R1JnFIXVvkgJp1
    Animacja pokazuje wykres funkcji malejącej.

  3. RfC9W1bQ7Ip3m1
    Animacja pokazuje wykres funkcji stałej.

Funkcja rosnąca
Definicja: Funkcja rosnąca

Funkcję nazywamy rosnącą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.

Funkcja malejąca
Definicja: Funkcja malejąca

Funkcję nazywamy malejącą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.

Funkcja stała
Definicja: Funkcja stała

Funkcję nazywamy stałą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów wartość funkcji pozostaje stała.

A
Ćwiczenie 1

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

RcPG6lMxlv84a1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jest to funkcja:

RfX3VidOmU5ky
A
Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

Rfx1dFBlThBw11
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jest to funkcja:

R1PX85Foz9i9P
A
Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

R1RiNxIFpZZ4D1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jest to funkcja

RyRZgk0BALjEk
A
Ćwiczenie 4

Wskaż wykres funkcji rosnącej, której dziedziną jest zbiór {-3, -2, -1,0,1,2,3}.

Rwt7KMwS9FrSg
Wybierz dowolne angielskie słówko ze słowniczka i zapytaj kolegę o jego znaczenie.
A
Ćwiczenie 5

Wskaż wykres funkcji malejącej, której dziedziną jest zbiór {-2, -1,1,2,3,4}.

R109gkArtDMP6
Wysłuchaj nagrania abstraktu i zastanów się, czego jeszcze chciałbyś się dowiedzieć w związku z tematem lekcji.
A
Ćwiczenie 6

Wskaż wykres funkcji rosnącej.

R12zUYGebYsSQ
Wysłuchaj nagrań słówek w słowniczku i naucz się ich prawidłowej wymowy.
A
Ćwiczenie 7

Wskaż wykres funkcji malejącej.

Rd5m2CbVRj4c4
Wysłuchaj nagrania abstraktu i zastanów się, czego jeszcze chciałbyś się dowiedzieć w związku z tematem lekcji.
A
Ćwiczenie 8

Wskaż wykres funkcji, która jest rosnąca w zbiorze argumentów x spełniających warunek -1x3.

R4TfDT9M0Cesf
Wysłuchaj nagrania abstraktu, ułóż do niego pytania i zadaj je koledze.
iDBOr8E2e8_d5e662
A
Ćwiczenie 9

Wskaż wykres funkcji, która jest malejąca tylko dla argumentów x spełniających warunek -2x<4.

RrFm3YDrJYAvO
Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.
A
Ćwiczenie 10

Wskaż wykres funkcji, która jest stała w zbiorach argumentów x spełniających warunki  -3x-2 oraz 0x1.

RiRhYCcktMzcq
Wysłuchaj nagrań słówek w słowniczku i naucz się ich prawidłowej wymowy.
A
Ćwiczenie 11

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g.

R1HKU6tjeXT7p1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja g jest malejąca w zbiorze argumentów x spełniających warunek:

R4of5t0ekpu7U
A
Ćwiczenie 12

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji h.

R1G3Ewk9PbSuO1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja h jest rosnąca w zbiorach argumentów x spełniających warunki:

R8qrU7iyZUlGp
A
Ćwiczenie 13

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji k.

R1Ofz52XVHpIc1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja k jest stała w zbiorach argumentów x spełniających warunki:

R1XhbIJkSqBik
classicmobile
Ćwiczenie 14

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

R1cWczmRConmd1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RGgahO7Ze4av1
static
A
Ćwiczenie 15

Wskaż wykres funkcji, która dla każdego argumentu -2<x<1 przyjmuje wartości ujemne.

RCatwPmJTzFmy
Wysłuchaj nagrania abstraktu i zastanów się, czego jeszcze chciałbyś się dowiedzieć w związku z tematem lekcji.
A
Ćwiczenie 16

Wskaż wykres funkcji, która dla każdego argumentu -5<x<-3 przyjmuje wartości dodatnie.

RXK8BLTIHYF0l
Wysłuchaj nagrania abstraktu i zastanów się, czego jeszcze chciałbyś się dowiedzieć w związku z tematem lekcji.
A
Ćwiczenie 17

Wskaż wykres funkcji, która dla każdego argumentu -3x4 przyjmuje wartości nieujemne.

RwaN4BYDxoUxY
Wysłuchaj nagrania abstraktu i zastanów się, czego jeszcze chciałbyś się dowiedzieć w związku z tematem lekcji.
A
Ćwiczenie 18

Wskaż wykres funkcji, która dla każdego argumentu -2x4 przyjmuje wartości niedodatnie.

RrXR9E0GEQY7X
Wysłuchaj nagrania abstraktu i zastanów się, czego jeszcze chciałbyś się dowiedzieć w związku z tematem lekcji.
A
Ćwiczenie 19

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji h.

RR1ySrEA2W7ja1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja h przyjmuje wartości dodatnie dla każdego argumentu x, takiego że:

RSSjpANRYK4p8
A
Ćwiczenie 20

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji k.

RawQR1VGAkfXz1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja k przyjmuje wartości ujemne dla każdego argumentu x spełniającego warunek:

RMQADbvsjtW8B
classicmobile
Ćwiczenie 21

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

RM0hY1qk2ca3f1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oceń, czy podane zdania są prawdziwe, czy fałszywe.

RCPK2kfCINuII
static
A
Ćwiczenie 22

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji h.

RaklNkVBaVaj51
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytaj z wykresu i zapisz:

  1. dziedzinę funkcji h,

  2. zbiór wartości funkcji h,

  3. miejsca zerowe funkcji h,

  4. zbiór argumentów, w którym funkcja h jest rosnąca,

  5. zbiór argumentów, w którym funkcja h jest malejąca,

  6. dla jakich argumentów funkcja h jest stała,

  7. dla jakich argumentów funkcja h przyjmuje wartości dodatnie,

  8. dla jakich argumentów funkcja h przyjmuje wartości ujemne,

  9. największą i najmniejszą wartość funkcji h.

A
Ćwiczenie 23

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.

R5bxBMRaeKxSN1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytaj z wykresu i zapisz:

  1. dziedzinę funkcji f,

  2. zbiór wartości funkcji f,

  3. miejsca zerowe funkcji f,

  4. zbiór argumentów, w którym funkcja f jest rosnąca,

  5. zbiór argumentów, w którym funkcja f jest malejąca,

  6. dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości dodatnie,

  7. dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości ujemne,

  8. największą i najmniejszą wartość funkcji f.

B
Ćwiczenie 24

Narysuj wykres funkcji określonej w zbiorze liczb naturalnych mniejszych od 7, wiedząc, że:

  1. funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów większych od 4,

  2. funkcja jest rosnąca,

  3. funkcja ma jedno miejsce zerowe,

  4. największa wartość funkcji wynosi 3.

B
Ćwiczenie 25

Narysuj wykres funkcji określonej w zbiorze {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, wiedząc, że:

  1. funkcja przyjmuje wartość ujemną dla jednego argumentu,

  2. funkcja ma dwa miejsca zerowe,

  3. najmniejsza wartość funkcji wynosi -2.

B
Ćwiczenie 26

Narysuj wykres funkcji określonej dla każdego argumentu -4<x5, wiedząc, że:

  1. funkcja jest rosnąca w zbiorze argumentów x, takich że 1x5,

  2. funkcja jest malejąca w zbiorze argumentów x, takich że-4<x1,

  3. punkt (1, -3) należy do wykresu funkcji.

B
Ćwiczenie 27

Narysuj wykres funkcji, wiedząc, że:

  1. funkcja przyjmuje wartości ujemne dla każdego argumentu -4<x<3,

  2. funkcja jest rosnąca w zbiorze argumentów x spełniających warunek 1x5,

  3. funkcja ma jedno miejsce zerowe.

B
Ćwiczenie 28

Narysuj wykres funkcji, wiedząc, że:

  1. funkcja jest stała w zbiorze argumentów x, takich że-3x-1,

  2. funkcja nie ma wartości największej,

  3. funkcja ma dwa miejsca zerowe,

  4. funkcja jest malejąca w zbiorze argumentów x, takich że -6<x-3.