Funkcja i jej własności. Część I

Przykład 1

W tabeli przedstawione zostały średnie wyniki pomiarów temperatury powietrza w Warszawie w okresie od $5$ do $11$ stycznia.

TAB
Dzień miesiąca	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$
Temperatura w $° C$	$- 3$	$2$	$0$	$1$	$- 4$	$- 1$	$2$

Sporządźmy wykres tej funkcji.
Odczytajmy miejsce zerowe tej funkcji.
Wskażmy argumenty, dla których funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie oraz wartości ujemne.

Przykład 2

Temperatura powietrza w Warszawie była równa $0 ° C$ w dniu $7$ stycznia, czyli miejscem zerowym tej funkcji jest ten jeden argument.
Ponieważ dodatnia temperatura powietrza w Warszawie była $6$ stycznia, $8$ stycznia oraz $11$ stycznia, to funkcja przyjmuje dla tych trzech argumentów wartości dodatnie.
Ponieważ ujemna temperatura powietrza w Warszawie była $5$ stycznia, $9$ stycznia, $10$ stycznia, to funkcja przyjmuje dla tych trzech argumentów wartości ujemne.

Zapamiętaj!

Oś $Ox$ dzieli wykres funkcji tak, że każdy punkt wykresu, który leży powyżej osi $Ox$ , ma współrzędne, z których druga jest dodatnia. Mówimy wtedy, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie.
Podobnie każdy punkt wykresu, który leży poniżej osi $Ox$ , ma współrzędne, z których druga jest ujemna. Mówimy wtedy, że funkcja przyjmuje wartości ujemne.

Przykład 3

Rozpatrzmy funkcję $f$ określoną wzorem $f (x) = 3 x + 5$ . Obliczymy wartości tej funkcji dla argumentów ze zbioru $\{- 2, - 1 \frac{2}{3}, 0,75, \sqrt{7}\}$ .

RRutcaOcbNdLG1

Argument i wartosc funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej_atrapa_animacja_253

Przykład 4

Aby odczytać z wykresu funkcji, jaką wartość przyjmuje ona dla danego argumentu $a$ , wystarczy narysować prostą równoległą do osi $Oy$ , na której leżą wszystkie punkty, których pierwsza współrzędna jest równa $a$ (o takiej prostej mówimy, że ma równanie $x = a$ ). Otrzymamy wtedy dokładnie jeden punkt przecięcia tej prostej z wykresem funkcji. Druga współrzędna tego punktu jest szukaną wartością.

R1T4O4wsFiTX01

Argument i wartosc funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej_atrapa_animacja_254

Przykład 5

W praktyce często analizujemy wykresy, szukając na nich argumentów, dla których funkcja osiąga pewne szczególne wartości (co było szerzej skomentowane w przykładach wstępnych). Istotną umiejętnością jest odczytanie z wykresu funkcji jej wartości najmniejszej i wartości największej, o ile da się takie wartości wyznaczyć.

RJDZRITx3llc61

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DVgffn6ko

Przykład 6

Aby odczytać z wykresu, czy i dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość $w$ , wystarczy dorysować prostą równoległą do osi $Ox$ , na której leżą wszystkie punkty, których druga współrzędna jest równa $w$ (o takiej prostej mówimy, że ma równanie $y = w$ ). Jeżeli taka prosta przecina wykres danej funkcji, to odczytując pierwszą współrzędną każdego z punktów przecięcia, wyznaczymy argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość $w$ .

RuJYMFY5jBFLz1

Argument i wartosc funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej_atrapa_animacja_460

Przykład 7

Odczytaj z wykresu funkcji $f$ liczbę rozwiązań równania $f (x) = m$ .

R1RJ9ys6Aw57r1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DVgffn6ko

Przykład 8

Dany jest wykres funkcji $f .$

R1V4pAk3nOp411

Wykres w postaci łamanej złożonej z dwóch odcinków leżącej w pierwszej, drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Punkty o współrzędnych (-3, -2), (-1, 0), (1, 0), (1, 2), (3, 0), (4, -1) należą do wykresu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytajmy miejsca zerowe, dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji.
Wskażmy argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie i ujemne.

Przykład 9

Dany jest wykres funkcji $f .$
Obserwujmy, jak przy zmianie położenia punktu na wykresie zmieniają się wartości tej funkcji dla poszczególnych argumentów.

R1STiOWTa68n21
Animacja pokazuje wykres funkcji rosnącej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1STiOWTa68n2
Odczytywanie wlasnosci funkcji na podstawie jej wykresu czII_atrapa_animacja_259
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja pokazuje wykres funkcji rosnącej.
R1JnFIXVvkgJp1
Animacja pokazuje wykres funkcji malejącej.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1JnFIXVvkgJp
Odczytywanie wlasnosci funkcji na podstawie jej wykresu czII_atrapa_animacja_260
Animacja pokazuje wykres funkcji malejącej.
RfC9W1bQ7Ip3m1
Animacja pokazuje wykres funkcji stałej.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/RfC9W1bQ7Ip3m
Odczytywanie wlasnosci funkcji na podstawie jej wykresu czII_atrapa_animacja_261
Animacja pokazuje wykres funkcji stałej.

Funkcja rosnąca

Definicja: Funkcja rosnąca

Funkcję nazywamy rosnącą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.

Funkcja malejąca

Definicja: Funkcja malejąca

Funkcję nazywamy malejącą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.

Funkcja stała

Definicja: Funkcja stała

Funkcję nazywamy stałą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów wartość funkcji pozostaje stała.

Ćwiczenie 1

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$ .

RcPG6lMxlv84a1

Wykres funkcji składa się z siedmiu punktów o współrzędnych (minus jeden i jedna czwarta, -2), (-1, -1), (0, 0), (jeden i jedna trzecia, jedna czwarta), (2, jedna druga), (dwa i jedna trzecia, 1), (3, 3). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jest to funkcja:

RfX3VidOmU5ky

rosnąca
malejąca
stała

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$ .

Rfx1dFBlThBw11

Wykres funkcji składa się z jedenastu punktów, których współrzędna y =0. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jest to funkcja:

R1PX85Foz9i9P

stała
malejąca
rosnąca

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$ .

R1RiNxIFpZZ4D1

Wykres funkcji składa się z jedenastu punktów, o współrzędnych (-3, 4), (minus dwa i jedna trzecia, trzy i trzy trzecie), (-2, 3), (minus jeden i trzy czwarte, dwa i jedna czwarta), (-1, 2), (minus jedna czwarta, jeden i trzy czwarte), (0, 1), (jedna trzecia, jedna trzecia), (1, 0), (jeden i trzy czwarte, minus jedna czwarta), (2, -1). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jest to funkcja

RyRZgk0BALjEk

malejąca
stała
rosnąca

Ćwiczenie 4

Wskaż wykres funkcji rosnącej, której dziedziną jest zbiór ${- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ .

Rwt7KMwS9FrSg

Ćwiczenie 5

Wskaż wykres funkcji malejącej, której dziedziną jest zbiór ${- 2, - 1, 1, 2, 3, 4}$ .

R109gkArtDMP6

Ćwiczenie 6

Wskaż wykres funkcji rosnącej.

R12zUYGebYsSQ

Ćwiczenie 7

Wskaż wykres funkcji malejącej.

Rd5m2CbVRj4c4

Ćwiczenie 8

Wskaż wykres funkcji, która jest rosnąca w zbiorze argumentów $x$ spełniających warunek $- 1 \leq x \leq 3$ .

R4TfDT9M0Cesf

iDBOr8E2e8_d5e662

Ćwiczenie 9

Wskaż wykres funkcji, która jest malejąca tylko dla argumentów $x$ spełniających warunek $- 2 \leq x < 4$ .

RrFm3YDrJYAvO

Ćwiczenie 10

Wskaż wykres funkcji, która jest stała w zbiorach argumentów $x$ spełniających warunki $- 3 \leq x \leq - 2$ oraz $0 \leq x \leq 1$ .

RiRhYCcktMzcq

Ćwiczenie 11

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $g$ .

R1HKU6tjeXT7p1

Wykres funkcji w postaci krzywej leżącej w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Dziedziną funkcji jest przedział otwarty od -4 do 5. Punkty o współrzędnych (-3, 1), (-2, 1), (1, 3), (2, 4) i (3, trzy i jedna druga) należą do wykresu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja $g$ jest malejąca w zbiorze argumentów $x$ spełniających warunek:

R4of5t0ekpu7U

$2 \leq x \leq 5$
$- 4 \leq x \leq - 2$
$- 2 \leq x \leq 2$
$- 4 \leq x \leq 5$

Ćwiczenie 12

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $h$ .

R1G3Ewk9PbSuO1

Wykres funkcji w postaci krzywej leżącej w pierwszej, drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Dziedziną funkcji jest przedział otwarty od -4 do 5. Punkty o współrzędnych (-3, dwa i jedna druga), (-2, 4), (0, 2), (1, 0), (4, 4), (cztery i dwie trzecie, 0) należą do wykresu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja $h$ jest rosnąca w zbiorach argumentów $x$ spełniających warunki:

R8qrU7iyZUlGp

$- 4 < x \leq - 2$ oraz $1 \leq x \leq 4$
$4 \leq x \leq 2$ oraz $1 \leq x \leq 4$
$- 2 \leq x \leq 1$ oraz $4 \leq x < 5$
$- 2 \leq x \leq 4$

Ćwiczenie 13

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $k$ .

R1Ofz52XVHpIc1

Wykres funkcji w postaci krzywej leżącej w pierwszej, drugiej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Dziedziną funkcji jest przedział prawostronnie domknięty od -3 do 4. Punkty o współrzędnych (-2, 3), (-1, 3), (0, 4), (1, 3), (2, 3), (3, 3) i (4, 1) należą do wykresu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja $k$ jest stała w zbiorach argumentów $x$ spełniających warunki:

R1XhbIJkSqBik

$- 2 \leq x \leq - 1$ oraz $1 \leq x \leq 3$
$- 2 \leq x \leq 3$
$- 2 \leq x \leq 0$ oraz $1 \leq x \leq 3$
$- 2 \leq x \leq - 1$ oraz $1 \leq x \leq 2$

classicmobile

Ćwiczenie 14

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$ .

R1cWczmRConmd1

Wykres funkcji w postaci krzywej leżącej w pierwszej, drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Dziedziną funkcji jest przedział lewostronnie domknięty od -2 do 3. Punkty o współrzędnych (-2, 0), (-1, 3), (0, 3), (1, -3), (2, -1) należą do wykresu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RGgahO7Ze4av1

static

Ćwiczenie 14

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$ .

R1cWczmRConmd1

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Rz5O0H2Ol3Z7W

Ćwiczenie 15

Wskaż wykres funkcji, która dla każdego argumentu $- 2 < x < 1$ przyjmuje wartości ujemne.

RCatwPmJTzFmy

Ćwiczenie 16

Wskaż wykres funkcji, która dla każdego argumentu $- 5 < x < - 3$ przyjmuje wartości dodatnie.

RXK8BLTIHYF0l

Ćwiczenie 17

Wskaż wykres funkcji, która dla każdego argumentu $- 3 \leq x \leq 4$ przyjmuje wartości nieujemne.

RwaN4BYDxoUxY

Ćwiczenie 18

Wskaż wykres funkcji, która dla każdego argumentu $- 2 \leq x \leq 4$ przyjmuje wartości niedodatnie.

RrXR9E0GEQY7X

Ćwiczenie 19

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $h$ .

RR1ySrEA2W7ja1

Wykres funkcji w postaci krzywej leżącej w pierwszej, drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Dziedziną funkcji jest przedział otwarty od -3 do 5. Punkty o współrzędnych (-2, 0), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (4, -1) należą do wykresu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja $h$ przyjmuje wartości dodatnie dla każdego argumentu $x$ , takiego że:

RSSjpANRYK4p8

$- 2 < x < 3$
$- 2 \leq x \leq 3$
$- 3 < x < - 2$
$3 < x < 5$

Ćwiczenie 20

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $k$ .

RawQR1VGAkfXz1

Wykres funkcji w postaci krzywej leżącej w pierwszej, drugiej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Dziedziną funkcji jest przedział obustronnie domknięty od -6 do 4. Punkty o współrzędnych (-6, 0), (-4, -2), (-1, 0), (1, 3), (4, 0) należą do wykresu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja $k$ przyjmuje wartości ujemne dla każdego argumentu $x$ spełniającego warunek:

RMQADbvsjtW8B

$- 6 < x < - 1$
$- 6 \leq x \leq - 1$
$- 1 < x < 4$
$- 1 < x \leq 4$

classicmobile

Ćwiczenie 21

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$ .

RM0hY1qk2ca3f1

Oceń, czy podane zdania są prawdziwe, czy fałszywe.

RCPK2kfCINuII

static

Ćwiczenie 21

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$ .

RM0hY1qk2ca3f1

Oceń, czy podane zdania są prawdziwe, czy fałszywe.

R1ZfIaquLI1Jh

Ćwiczenie 22

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $h$ .

RaklNkVBaVaj51

Odczytaj z wykresu i zapisz:

dziedzinę funkcji $h$ ,
zbiór wartości funkcji $h$ ,
miejsca zerowe funkcji $h$ ,
zbiór argumentów, w którym funkcja $h$ jest rosnąca,
zbiór argumentów, w którym funkcja $h$ jest malejąca,
dla jakich argumentów funkcja $h$ jest stała,
dla jakich argumentów funkcja $h$ przyjmuje wartości dodatnie,
dla jakich argumentów funkcja $h$ przyjmuje wartości ujemne,
największą i najmniejszą wartość funkcji $h$ .

$- 3 \leq x \leq 4$
$- 1 \leq f (x) \leq 4$
$1, 3, - 3$
$- 3 < x \leq - 2 oraz 2 \leq x \leq 4$
$0 \leq x \leq 2$
$- 2 \leq x \leq 0$
$- 3 < x < 1 oraz 3 < x \leq 4$
$1 < x < 3$
wartość największa wynosi $4$ , wartość najmniejsza wynosi $- 1$

Ćwiczenie 23

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

R5bxBMRaeKxSN1

Odczytaj z wykresu i zapisz:

dziedzinę funkcji $f$ ,
zbiór wartości funkcji $f$ ,
miejsca zerowe funkcji $f$ ,
zbiór argumentów, w którym funkcja $f$ jest rosnąca,
zbiór argumentów, w którym funkcja $f$ jest malejąca,
dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie,
dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne,
największą i najmniejszą wartość funkcji $f$ .

$- 6 < x < 6$
$- 2 \leq f (x) \leq 4$
$- 3, 2$
$- 6 < x \leq - 5$ oraz $- 4 \leq x \leq 0$ oraz $4 \leq x \leq 5$
$- 5 \leq x \leq - 4$ oraz $0 \leq x \leq 4$ oraz $5 \leq x < 6$
$- 3 < x < 2$
$- 6 < x < - 3$ oraz $2 < x < 6$
wartość największa wynosi $4$ , wartość najmniejsza wynosi $- 2$ .

Ćwiczenie 24

Narysuj wykres funkcji określonej w zbiorze liczb naturalnych mniejszych od $7$ , wiedząc, że:

funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów większych od $4$ ,
funkcja jest rosnąca,
funkcja ma jedno miejsce zerowe,
największa wartość funkcji wynosi $3$ .

Ćwiczenie 25

Narysuj wykres funkcji określonej w zbiorze ${- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ , wiedząc, że:

funkcja przyjmuje wartość ujemną dla jednego argumentu,
funkcja ma dwa miejsca zerowe,
najmniejsza wartość funkcji wynosi $- 2$ .

Ćwiczenie 26

Narysuj wykres funkcji określonej dla każdego argumentu $- 4 < x \leq 5$ , wiedząc, że:

funkcja jest rosnąca w zbiorze argumentów $x$ , takich że $1 \leq x \leq 5$ ,
funkcja jest malejąca w zbiorze argumentów $x$ , takich że $- 4 < x \leq 1$ ,
punkt $(1, - 3)$ należy do wykresu funkcji.

Ćwiczenie 27

Narysuj wykres funkcji, wiedząc, że:

funkcja przyjmuje wartości ujemne dla każdego argumentu $- 4 < x < 3$ ,
funkcja jest rosnąca w zbiorze argumentów $x$ spełniających warunek $1 \leq x \leq 5$ ,
funkcja ma jedno miejsce zerowe.

Ćwiczenie 28

Narysuj wykres funkcji, wiedząc, że:

funkcja jest stała w zbiorze argumentów $x$ , takich że $- 3 \leq x \leq - 1$ ,
funkcja nie ma wartości największej,
funkcja ma dwa miejsca zerowe,
funkcja jest malejąca w zbiorze argumentów $x$ , takich że $- 6 < x \leq - 3$ .

Miejsce zerowe funkcji

Funkcja jej własności. Część II