Mnożenie dwóch liczb całkowitych

Umiemy mnożyć dwie liczby całkowite dodatnie. Wiemy też, że takie mnożenie można zastąpić dodawaniem jednakowych składników. Na przykład

8   ·   4   =   8   +   8   +   8   +   8

lub

8   ·   4   =   4   +   4   +   4   +   4   +   4   +   4   +   4   +   4

Mnożenie liczby całkowitej dodatniej przez liczbę ujemną również można zapisać podobnie.

Przykład 1

Iza i Jurek zapisują swoje długi za pomocą liczb ujemnych, a dochody za pomocą liczb dodatnich. Oboje pożyczyli po 6 złotych od trzech osób. Ile złotych długu miało każde z nich?
Iza zapisała odpowiednie dodawanie  

6   +   ( 6 )   +   ( 6 ) = 18

Jurek zapisał odpowiednie mnożenie

3 - 6 =   - 18

Odp.: Każde z nich miało 18  zł długu.
Wyniki obliczeń Izy i Jurka są równe. Zapis obliczeń Jurka jest krótszy.
Z przemienności mnożenia wynika, że Jurek mógł zapisać mnożenie na dwa sposoby:

3   ( - 6 ) =   - 18

lub

- 6     3   =   - 18

Jurek mnożył liczby o różnych znakach, to znaczy liczbę dodatnią i ujemną. Wynik obliczeń był ujemny.

Ważne!

Iloczyn dwóch liczb o różnych znakach jest ujemny.

  • Przykłady.

( - 2 ) 8   = - 16
7 ( - 4 ) = - 28
A
Ćwiczenie 1

Oblicz.

  1. 2   - 7

  2. 5   - 4

  3. 9   - 8

  4. 11   - 10

  5. - 5   9  

  6. - 2   12  

  7. - 10   6  

  8. - 25     4  

A jak pomnożyć dwie liczby ujemne? Najtrudniej jest wyjaśnić, jaki znak będzie miał taki iloczyn. Zapoznaj się uważnie z poniższym przykładem, który to wyjaśnia.

Ważne!

Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią.

  • Przykłady.

( - 2 ) ( - 5 )   =   10
( - 7 ) ( - 6 )   =   42
A
Ćwiczenie 2

Oblicz.

  1. - 3 - 8

  2. - 9 - 6

  3. - 2 - 13  

  4. - 10 - 10

  5. - 15 - 4

  6. - 32 - 5

i0PfexecH7_d5e345

Mnożenie liczb całkowitych

B
Ćwiczenie 3

Uzupełnij.

  1. ( - 2 ) 3   4 = ( - 2 ) 3   4 = 4 =   - 24

  2. ( - 2 )   ( - 3 )   4 = ( - 2 )   ( - 3 ) 4   = 4 =

  3. ( - 2 )   ( - 3 )   ( - 4 ) = ( - 3 )   ( - 2 ) ( - 4 ) = =  

  4. ( - 2 )   3     4     5 = ( - 2 )   3 4     5 = 20 =  

  5. ( - 2 )   ( - 3 )   4     5 = ( - 2 )   ( - 3 ) 4     5 = =

  6. ( - 2 )   ( - 3 )   ( - 4 )   5 = ( - 2 )   ( - 3 ) ( - 4 )   5 = =

  7. ( - 2 )   ( - 3 )   ( - 4 )   ( - 5 ) = ( - 2 )   ( - 3 ) ( - 4 )   ( - 5 ) = =

  8. Gdy w iloczynie występowały jeden lub trzy czynniki ujemne, to iloczyn był liczbą … .

  9. Gdy w iloczynie występowały dwa lub cztery czynniki ujemne, to iloczyn był liczbą … .

Ważne!

Iloczyn kilku liczb całkowitych, z których każda jest różna od zera, jest:

  • dodatni, gdy liczba czynników ujemnych jest parzysta

  • ujemny, gdy liczba czynników ujemnych jest nieparzysta

Na przykład:
- 2     - 3     - 4     10     - 1   =   240     cztery czynniki ujemne
- 2 3     - 4   10   - 1 =   - 240     trzy czynniki ujemne

Przykład 2

Spójrz, jak obliczamy kwadraty i sześciany liczb ujemnych.

  • - 3 2 =   - 3     - 3 = 9   - wynik zawsze dodatni, bo są 2   czynniki ujemne

  • - 3 3 = - 3     - 3   - 3 = - 27   - wynik zawsze ujemny, bo są 3 czynniki ujemne

A
Ćwiczenie 4
RV1OiLmpFeGmF1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 5

Wstaw brakującą liczbę.

  1. ( - 4 ) 2   =   16  

  2. ( - 5 ) ( - 1 ) =   20  

  3. ( - 4 ) ( - 6 ) =   120  

  4. 10     - 20     = 0  

  5. 6   3     =   180

  6. ( - 2 ) ( - 10 ) =   200

C
Ćwiczenie 6

Zapisz liczbę - 24 w postaci iloczynu

  1. dwóch liczb całkowitych

  2. trzech liczb całkowitych

  3. czterech liczb całkowitych

i0PfexecH7_d5e541

Dzielenie liczb całkowitych

Dzielenie i mnożenie są działaniami wzajemnie odwrotnymi.

RrQ17LTm9j1a01
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 7

Oblicz i uzupełnij zdania.

R9z4VhpjELzMo1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeśli dzielna i dzielnik są liczbami ujemnymi, to iloraz jest liczbą … .
Jeśli dzielna i dzielnik są liczbami różnych znaków, to iloraz jest liczbą …

Ważne!
  • Iloraz dwóch liczb o takich samych znakach (obie dodatnie lub obie ujemne) jest liczbą dodatnią.

Na przykład:

15   :   5   =   3
- 15   :   - 5   =   3  
  • Iloraz dwóch liczb o różnych znakach (jedna dodatnia, druga ujemna) jest liczbą ujemną.

Na przykład:

- 10   :   5   =   - 2
10 :   - 5   =   - 2    
A
Ćwiczenie 8

Oblicz.

  1. - 24   : - 6

  2. - 35   : 7

  3. 48   :   - 8

  4. - 120   :   12

  5. - 36   :   - 4

  6. 42 :   - 6

A
Ćwiczenie 9

Uzupełnij obliczenia.

  1. - 64   : = 8

  2.   :   - 9 = 7

  3.   : 2 = 14  

  4. d )   - 30   :   = 5

  5. : - 4   = 0

  6. 400 :   =   10  

i0PfexecH7_d5e703

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Obliczając wartości wyrażeń wymagających mnożenia lub dzielenia kilku liczb, warto zacząć od ustalenia znaku wyniku.

Przykład 3

Obliczmy wartość wyrażenia

- 2     - 9   :   3 - 1   .

Można wykonywać obliczenia po kolei

( - 2 )   ( - 9 ) :   3     ( - 1 ) = 18 :   3   ( - 1 ) =   6   ( - 1 ) =   - 6

lub
najpierw ustalić znak wyniku, a następnie wykonywać obliczenia.

- 2     - 9 :   3 - 1 = 2 9   : 3   1 = -   18   : 3   1 =   - 6   1 = - 6  
A
Ćwiczenie 10

Oblicz wartości wyrażeń.

  1. - 25   :   - 5     - 8

  2. - 2     6 :   - 4     - 3  

  3. - 84   : - 2   :   - 7   - 8

  4. 20   :   - 5   4  

  5. - 550   :   - 11   :   - 5

B
Ćwiczenie 11

Wpisz brakującą liczbę.

  1. - 44   :   - 3 = 12

  2. - 50   : - 2   :     = 25

  3. 7   :   - 2 = 21

  4. 9   :   - 3 2   :   = 1

  5. - 1 2   :   - 1 3     = 3

  6. [ - 2       ]   :   - 3   6 = 1

B
Ćwiczenie 12

W puste pola wpisz odpowiednie liczby. Każda z tych liczb jest ilorazem dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio pod nią.

R1ePAztoKiO041
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 13

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RoVnZMBlaWhLs
static