Mnożenie dwóch liczb całkowitych

Umiemy mnożyć dwie liczby całkowite dodatnie. Wiemy też, że takie mnożenie można zastąpić dodawaniem jednakowych składników. Na przykład

8 \cdot 4 = 8 + 8 + 8 + 8

lub

8 \cdot 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4

Mnożenie liczby całkowitej dodatniej przez liczbę ujemną również można zapisać podobnie.

Przykład 1

Iza i Jurek zapisują swoje długi za pomocą liczb ujemnych, a dochody za pomocą liczb dodatnich. Oboje pożyczyli po $6$ złotych od trzech osób. Ile złotych długu miało każde z nich?
Iza zapisała odpowiednie dodawanie

- 6 + (- 6) + (- 6) = - 18

Jurek zapisał odpowiednie mnożenie

3 ∙ (- 6) = - 18

Odp.: Każde z nich miało $18 zł$ długu.
Wyniki obliczeń Izy i Jurka są równe. Zapis obliczeń Jurka jest krótszy.
Z przemienności mnożenia wynika, że Jurek mógł zapisać mnożenie na dwa sposoby:

3 ∙ (- 6) = - 18

lub

(- 6) ∙ 3 = - 18

Jurek mnożył liczby o różnych znakach, to znaczy liczbę dodatnią i ujemną. Wynik obliczeń był ujemny.

Ważne!

Iloczyn dwóch liczb o różnych znakach jest ujemny.

Przykłady.

(- 2) ∙ 8 = - 16

7 ∙ (- 4) = - 28

Ćwiczenie 1

Oblicz.

$2 ∙ (- 7)$
$5 ∙ (- 4)$
$9 ∙ (- 8)$
$11 ∙ (- 10)$
$(- 5) ∙ 9$
$(- 2) ∙ 12$
$(- 10) ∙ 6$
$(- 25) ∙ 4$

$- 14$
$- 20$
$- 72$
$- 110$
$- 45$
$- 24$
$- 60$
$- 100$

A jak pomnożyć dwie liczby ujemne? Najtrudniej jest wyjaśnić, jaki znak będzie miał taki iloczyn. Zapoznaj się uważnie z poniższym przykładem, który to wyjaśnia.

Ważne!

Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią.

Przykłady.

(- 2) ∙ (- 5) = 10

(- 7) ∙ (- 6) = 42

Ćwiczenie 2

Oblicz.

$(- 3) ∙ (- 8)$
$(- 9) ∙ (- 6)$
$(- 2) ∙ (- 13)$
$(- 10) ∙ (- 10)$
$(- 15) ∙ (- 4)$
$(- 32) ∙ (- 5)$

$24$
$54$
$26$
$100$
$60$
$160$

i0PfexecH7_d5e345

Mnożenie liczb całkowitych

Ćwiczenie 3

Uzupełnij.

$(- 2) ∙ 3 ∙ 4 = (- 2) ∙ 3 ∙ 4 = \dots ∙ 4 = - 24$
$(- 2) ∙ (- 3) ∙ 4 = (- 2) ∙ (- 3) ∙ 4 = \dots ∙ 4 = \dots$
$(- 2) ∙ (- 3) ∙ (- 4) = (- 3) ∙ (- 2) ∙ (- 4) = \dots ∙ \dots =$
$(- 2) ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = (- 2) ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = \dots ∙ 20 = \dots$
$(- 2) ∙ (- 3) ∙ 4 ∙ 5 = (- 2) ∙ (- 3) ∙ 4 ∙ 5 = \dots ∙ \dots = \dots$
$(- 2) ∙ (- 3) ∙ (- 4) ∙ 5 = (- 2) ∙ (- 3) ∙ (- 4) ∙ 5 = \dots ∙ \dots = \dots$
$(- 2) ∙ (- 3) ∙ (- 4) ∙ (- 5) = (- 2) ∙ (- 3) ∙ (- 4) ∙ (- 5) = \dots ∙ \dots = \dots$
Gdy w iloczynie występowały jeden lub trzy czynniki ujemne, to iloczyn był liczbą … .
Gdy w iloczynie występowały dwa lub cztery czynniki ujemne, to iloczyn był liczbą … .

$- 6$
$6, 24$
$6, - 4, - 24$
$- 6, - 120$
$6, 20, 120$
$f) 6, - 20, - 120$
$6, 20, 120$
ujemną
dodatnią

Ważne!

Iloczyn kilku liczb całkowitych, z których każda jest różna od zera, jest:

dodatni, gdy liczba czynników ujemnych jest parzysta
ujemny, gdy liczba czynników ujemnych jest nieparzysta

Na przykład:
$(- 2) ∙ (- 3) ∙ (- 4) ∙ 10 ∙ (- 1) = 240$ cztery czynniki ujemne
$(- 2) ∙ 3 ∙ (- 4) ∙ 10 ∙ (- 1) = - 240$ trzy czynniki ujemne

Przykład 2

Spójrz, jak obliczamy kwadraty i sześciany liczb ujemnych.

${(- 3)}^{2} = (- 3) ∙ (- 3) = 9 -$ wynik zawsze dodatni, bo są $2$ czynniki ujemne
${(- 3)}^{3} = (- 3) ∙ (- 3) ∙ (- 3) = - 27 -$ wynik zawsze ujemny, bo są $3$ czynniki ujemne

Ćwiczenie 4

RV1OiLmpFeGmF1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Wstaw brakującą liczbę.

$(- 4) ∙ 2 ∙ \dots = 16$
$(- 5) ∙ (- 1) ∙ \dots = 20$
$(- 4) ∙ (- 6) ∙ \dots = - 120$
$10 ∙ (- 20) ∙ \dots = 0$
$6 ∙ 3 ∙ \dots = - 180$
$(- 2) ∙ (- 10) ∙ \dots = - 200$

$- 2$
$4$
$- 5$
$0$
$- 10$
$- 10$

Ćwiczenie 6

Zapisz liczbę $(- 24)$ w postaci iloczynu

dwóch liczb całkowitych
trzech liczb całkowitych
czterech liczb całkowitych

$(- 6) ∙ 4$ lub odwrotnie, $(- 8) ∙ 3$ lub odwrotnie , $(- 12) ∙ 2$ lub odwrotnie, $(- 24) ∙ 1$ lub odwrotnie ;
wszystkie kombinacje $1, 3$ i $8$ oraz $6,4, 1$ oraz $2,3$ i $4$ oraz $12, 1$ i $2$ , przy czym jedna lub trzy liczby, w każdym przypadku, ujemne
wszystkie kombinacje $3,1, 2$ i $4$ , przy czym jedna lub trzy liczby, w każdym przypadku, ujemne, np. $- 3, 1,2, 4$ lub $- 3, - 2, - 1, 4$ lub $3, - 1, 2, 4$ lub $3, - 1, - 2, - 4$ itd.

i0PfexecH7_d5e541

Dzielenie liczb całkowitych

Dzielenie i mnożenie są działaniami wzajemnie odwrotnymi.

RrQ17LTm9j1a01

Graf ilustruje rozwiązanie przykładu: -4 razy 5 =-20 oraz -20 dzielone przez 5 =-4. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Oblicz i uzupełnij zdania.

R9z4VhpjELzMo1

Trzy grafy ilustrujące sposób rozwiązania przykładów. Pierwszy graf: puste razy (-6) równa się (-18) oraz (-18) dzielone przez (-6) równa się puste. Drugi graf: puste razy (-6) równa się 18 oraz 18 dzielone przez (-6) równa się puste. Trzeci graf: puste razy 6 równa się (-18) oraz (-18) dzielone przez 6 równa się puste. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeśli dzielna i dzielnik są liczbami ujemnymi, to iloraz jest liczbą … .
Jeśli dzielna i dzielnik są liczbami różnych znaków, to iloraz jest liczbą …

Ważne!

Iloraz dwóch liczb o takich samych znakach (obie dodatnie lub obie ujemne) jest liczbą dodatnią.

Na przykład:

15 : 5 = 3

(- 15) : (- 5) = 3

Iloraz dwóch liczb o różnych znakach (jedna dodatnia, druga ujemna) jest liczbą ujemną.

Na przykład:

(- 10) : 5 = - 2

10 : (- 5) = - 2

Ćwiczenie 8

Oblicz.

$(- 24) : (- 6)$
$(- 35) : 7$
$48 : (- 8)$
$(- 120) : 12$
$(- 36) : (- 4)$
$42 : (- 6)$

$4$
$- 5$
$- 6$
$- 10$
$9$
$- 7$

Ćwiczenie 9

Uzupełnij obliczenia.

$(- 64) : \dots = - 8$
$\dots : (- 9) = 7$
$\dots : 2 = - 14$
$d) (- 30) : \dots = 5$
$\dots : (- 4) = 0$
$400 : \dots = - 10$

$8$
$- 63$
$- 28$
$- 6$
$0$
$- 40$

i0PfexecH7_d5e703

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Obliczając wartości wyrażeń wymagających mnożenia lub dzielenia kilku liczb, warto zacząć od ustalenia znaku wyniku.

Przykład 3

Obliczmy wartość wyrażenia

(- 2) ∙ (- 9) : 3 ∙ (- 1) .

Można wykonywać obliczenia po kolei

(- 2) ∙ (- 9) : 3 ∙ (- 1) = 18 : 3 ∙ (- 1) = 6 ∙ (- 1) = - 6

lub
najpierw ustalić znak wyniku, a następnie wykonywać obliczenia.

(- 2) ∙ (- 9) : 3 ∙ (- 1) = - 2 ∙ 9 : 3 ∙ 1 = - 18 : 3 ∙ 1 = - 6 ∙ 1 = - 6

Ćwiczenie 10

Oblicz wartości wyrażeń.

$(- 25) : (- 5) ∙ (- 8)$
$(- 2) ∙ 6 : (- 4) ∙ (- 3)$
$(- 84) : (- 2) : (- 7) ∙ (- 8)$
$20 : (- 5 ∙ 4)$
$(- 550) : (- 11) : (- 5)$

$- 40$
$- 9$
$48$
$- 1$
$- 10$

Ćwiczenie 11

Wpisz brakującą liczbę.

$(- 44) : \dots ∙ (- 3) = - 12$
$(- 50) : (- 2) : \dots = - 25$
$7 ∙ \dots : (- 2) = - 21$
$9 : {(- 3)}^{2} : \dots = - 1$
${(- 1)}^{2} : {(- 1)}^{3} ∙ \dots = 3$
$[- 2 ∙ \dots] : [(- 3) ∙ 6] = 1$

$- 11$
$- 1$
$6$
$- 1$
$- 3$
$f)$

Ćwiczenie 12

W puste pola wpisz odpowiednie liczby. Każda z tych liczb jest ilorazem dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio pod nią.

R1ePAztoKiO041

Rysunek dwóch piramid zbudowanych z kwadratów. W pierwszej piramidzie nad czterema kwadratami leżą trzy kwadraty, nad trzema leżą dwa kwadraty, nad dwoma leży jeden kwadrat. Podane liczby w czterech dolnych kwadratach: 120, -10, -5, 5 oraz liczba -1 nad liczbami -5 i 5. W drugiej piramidzie nad pięcioma kwadratami leżą cztery kwadraty, nad czterema kwadratami leżą trzy kwadraty, nad trzema leżą dwa kwadraty, nad dwoma leży jeden kwadrat. Podane liczby w pięciu dolnych kwadratach: 1944, puste, -12, 12, puste. Liczby w leżących wyżej czterech kwadratach: 54, puste, puste, -1. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 13

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RoVnZMBlaWhLs

Iloczyn dwudziestu liczb ujemnych jest liczbą ujemną.
Iloraz dwóch liczb całkowitych, z których jedna jest liczbą ujemną, a druga dodatnią, może być liczbą dodatnią lub liczbą ujemną.
Iloraz liczby $(- 1000)$ i liczby do niej przeciwnej jest liczbą ujemną.
Iloczyn liczb $(- 300)$ i $(- 50)$ jest mniejszy niż iloczyn liczb $300$ i $50$ .
Iloczyn kolejnych dwudziestu liczb całkowitych, z których najmniejszą jest $- 10$ , jest liczbą dodatnią.
Liczba przeciwna do iloczynu jedenastu liczb ujemnych jest liczbą dodatnią.

static

Ćwiczenie 13

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1eKLfSsXkhup

Iloczyn dwudziestu liczb ujemnych jest liczbą ujemną.
Iloraz dwóch liczb całkowitych, z których jedna jest liczbą ujemną, a druga dodatnią, może być liczbą dodatnią lub liczbą ujemną.
Iloraz liczby $(- 1000)$ i liczby do niej przeciwnej jest liczbą ujemną.
Iloczyn liczb $(- 300)$ i $(- 50)$ jest mniejszy niż iloczyn liczb $300$ i $50$ .
Iloczyn kolejnych dwudziestu liczb całkowitych, z których najmniejszą jest $- 10$ , jest liczbą dodatnią.
Liczba przeciwna do iloczynu jedenastu liczb ujemnych jest liczbą dodatnią.

Odejmowanie liczb całkowitych

Rozwiązywanie zadań tekstowych

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Mnożenie dwóch liczb całkowitych

Mnożenie liczb całkowitych

Dzielenie liczb całkowitych

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych