Umiemy mnożyć dwie liczby całkowite dodatnie. Wiemy też, że takie mnożenie można zastąpić dodawaniem jednakowych składników. Na przykład
lub
Mnożenie liczby całkowitej dodatniej przez liczbę ujemną również można zapisać podobnie.
Przykład 1
Iza i Jurek zapisują swoje długi za pomocą liczb ujemnych, a dochody za pomocą liczb dodatnich. Oboje pożyczyli po złotych od trzech osób. Ile złotych długu miało każde z nich? Iza zapisała odpowiednie dodawanie
Jurek zapisał odpowiednie mnożenie
Odp.: Każde z nich miało długu. Wyniki obliczeń Izy i Jurka są równe. Zapis obliczeń Jurka jest krótszy. Z przemienności mnożenia wynika, że Jurek mógł zapisać mnożenie na dwa sposoby:
lub
Jurek mnożył liczby o różnych znakach, to znaczy liczbę dodatnią i ujemną. Wynik obliczeń był ujemny.
Ważne!
Iloczyn dwóch liczb o różnych znakach jest ujemny.
Przykłady.
A
Ćwiczenie 1
Oblicz.
A jak pomnożyć dwie liczby ujemne? Najtrudniej jest wyjaśnić, jaki znak będzie miał taki iloczyn. Zapoznaj się uważnie z poniższym przykładem, który to wyjaśnia.
Ważne!
Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią.
Przykłady.
A
Ćwiczenie 2
Oblicz.
i0PfexecH7_d5e345
Mnożenie liczb całkowitych
B
Ćwiczenie 3
Uzupełnij.
Gdy w iloczynie występowały jeden lub trzy czynniki ujemne, to iloczyn był liczbą … .
Gdy w iloczynie występowały dwa lub cztery czynniki ujemne, to iloczyn był liczbą … .
ujemną
dodatnią
Ważne!
Iloczyn kilku liczb całkowitych, z których każda jest różna od zera, jest:
dodatni, gdy liczba czynników ujemnych jest parzysta
ujemny, gdy liczba czynników ujemnych jest nieparzysta
Na przykład: cztery czynniki ujemne trzy czynniki ujemne
Przykład 2
Spójrz, jak obliczamy kwadraty i sześciany liczb ujemnych.
wynik zawsze dodatni, bo są czynniki ujemne
wynik zawsze ujemny, bo są czynniki ujemne
A
Ćwiczenie 4
RV1OiLmpFeGmF1
Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 5
Wstaw brakującą liczbę.
C
Ćwiczenie 6
Zapisz liczbę w postaci iloczynu
dwóch liczb całkowitych
trzech liczb całkowitych
czterech liczb całkowitych
lub odwrotnie, lub odwrotnie , lub odwrotnie, lub odwrotnie ;
wszystkie kombinacje i oraz oraz i oraz i , przy czym jedna lub trzy liczby, w każdym przypadku, ujemne
wszystkie kombinacje i , przy czym jedna lub trzy liczby, w każdym przypadku, ujemne, np. lub lub lub itd.
i0PfexecH7_d5e541
Dzielenie liczb całkowitych
Dzielenie i mnożenie są działaniami wzajemnie odwrotnymi.
RrQ17LTm9j1a01
Graf ilustruje rozwiązanie przykładu: -4 razy 5 =-20 oraz -20 dzielone przez 5 =-4.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 7
Oblicz i uzupełnij zdania.
R9z4VhpjELzMo1
Trzy grafy ilustrujące sposób rozwiązania przykładów. Pierwszy graf: puste razy (-6) równa się (-18) oraz (-18) dzielone przez (-6) równa się puste. Drugi graf: puste razy (-6) równa się 18 oraz 18 dzielone przez (-6) równa się puste. Trzeci graf: puste razy 6 równa się (-18) oraz (-18) dzielone przez 6 równa się puste.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Jeśli dzielna i dzielnik są liczbami ujemnymi, to iloraz jest liczbą … . Jeśli dzielna i dzielnik są liczbami różnych znaków, to iloraz jest liczbą …
Ważne!
Iloraz dwóch liczb o takich samych znakach (obie dodatnie lub obie ujemne) jest liczbą dodatnią.
Na przykład:
Iloraz dwóch liczb o różnych znakach (jedna dodatnia, druga ujemna) jest liczbą ujemną.
Na przykład:
A
Ćwiczenie 8
Oblicz.
A
Ćwiczenie 9
Uzupełnij obliczenia.
i0PfexecH7_d5e703
Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych
Obliczając wartości wyrażeń wymagających mnożenia lub dzielenia kilku liczb, warto zacząć od ustalenia znaku wyniku.
Przykład 3
Obliczmy wartość wyrażenia
Można wykonywać obliczenia po kolei
lub najpierw ustalić znak wyniku, a następnie wykonywać obliczenia.
A
Ćwiczenie 10
Oblicz wartości wyrażeń.
B
Ćwiczenie 11
Wpisz brakującą liczbę.
B
Ćwiczenie 12
W puste pola wpisz odpowiednie liczby. Każda z tych liczb jest ilorazem dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio pod nią.
R1ePAztoKiO041
Rysunek dwóch piramid zbudowanych z kwadratów. W pierwszej piramidzie nad czterema kwadratami leżą trzy kwadraty, nad trzema leżą dwa kwadraty, nad dwoma leży jeden kwadrat. Podane liczby w czterech dolnych kwadratach: 120, -10, -5, 5 oraz liczba -1 nad liczbami -5 i 5. W drugiej piramidzie nad pięcioma kwadratami leżą cztery kwadraty, nad czterema kwadratami leżą trzy kwadraty, nad trzema leżą dwa kwadraty, nad dwoma leży jeden kwadrat. Podane liczby w pięciu dolnych kwadratach: 1944, puste, -12, 12, puste. Liczby w leżących wyżej czterech kwadratach: 54, puste, puste, -1.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R3tMkWf8N8H6k1
"Rysunek dwóch piramid ułożonych z kwadratów uzupełnionych liczbami. Rozwiązanie zadania. W pierwszej piramidzie podane liczby, wpisane od lewej strony: w czterech kwadratach: - 120, -10, -5, 5
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 13
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
RoVnZMBlaWhLs
Iloczyn dwudziestu liczb ujemnych jest liczbą ujemną.
Iloraz dwóch liczb całkowitych, z których jedna jest liczbą ujemną, a druga dodatnią, może być liczbą dodatnią lub liczbą ujemną.
Iloraz liczby i liczby do niej przeciwnej jest liczbą ujemną.
Iloczyn liczb i jest mniejszy niż iloczyn liczb i .
Iloczyn kolejnych dwudziestu liczb całkowitych, z których najmniejszą jest , jest liczbą dodatnią.
Liczba przeciwna do iloczynu jedenastu liczb ujemnych jest liczbą dodatnią.
static
Ćwiczenie 13
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
R1eKLfSsXkhup
Iloczyn dwudziestu liczb ujemnych jest liczbą ujemną.
Iloraz dwóch liczb całkowitych, z których jedna jest liczbą ujemną, a druga dodatnią, może być liczbą dodatnią lub liczbą ujemną.
Iloraz liczby i liczby do niej przeciwnej jest liczbą ujemną.
Iloczyn liczb i jest mniejszy niż iloczyn liczb i .
Iloczyn kolejnych dwudziestu liczb całkowitych, z których najmniejszą jest , jest liczbą dodatnią.
Liczba przeciwna do iloczynu jedenastu liczb ujemnych jest liczbą dodatnią.