Dla zainteresowanych

Układ sterowany i jego modelowanie

Podczas badania ruchu wahadła stożkowego można odnieść wrażenie, że ciężko jest w tej sytuacji wykonać pomiary ilościowe. Stwierdzenie, że ruch wahadła sferycznego jest płaski (tzn. jest to wahadło stożkowe) wymagałoby zapewne zastosowania odpowiedniego układu ekranów i oświetlenia - trudno sobie wyobrazić śledzenie kąta wychylenia nici od pionu z pomocą szkolnego kątomierza. Równie duży problem mielibyśmy ze zmierzeniem początkowego i końcowego momentu pędu, czy wartości jego pionowej składowej, o której przypuszczamy, że jest zachowana.

Więcej: zapewne - w ramach zaspokajania przyrodoznawczej ciekawości - zdarzyło Ci się skracać sznurek inaczej niż wymagały tego warunki zaproponowane w opisie doświadczenia. I prawdopodobnie wtedy układ „wahadło sferyczne o zmiennej długości” pokazał naprawdę, co potrafi - wzbudzały się w nim pewne drgania, o których poniżej. Obserwujemy wtedy zachowanie, które można - nieformalnie - ująć następująco: krótkotrwałe i zbyt gwałtowne (ew. długotrwałe i niewystarczająco łagodne) zmiany długości sznurka prowadzą do drastycznych zmian w zachowaniu się układu.

Układ sterowany zewnętrznie

Jest to szczególny przykład układu fizycznego, którego opis zawiera zwykle stałe wielkości (dla wahadła jest to np. jego długość), a modyfikacja polega na tym, że przychodzi ktoś „z zewnątrz” i niektóre z tych stałych „uruchamia”. Jest to tzw. sterowanie zewnętrzne - dane „z góry” i niepodlegające żadnej modyfikacji zależnej od stanu układu, np. któregoś z parametrów czy tempa jego zmian. Tak postępowaliśmy w naszym doświadczeniu - powoli, jednostajnie skracając nitkę i nie modyfikując tego procesu.

Gdyby na nitce wisiał woreczek z piaskiem, moglibyśmy go przedziurawić. Wtedy - jeśli pominąć wpływ wahań na tempo wysypywania się piasku - mielibyśmy także zewnętrzne sterowanie w postaci zmniejszającej się masy wahadła.

Układ sterowany wewnętrznie

Z podobnym zjawiskiem, polegającym na wzbudzaniu drgań, mamy do czynienia na huśtawce. Jest to zwykłe wahadło, poruszające się w płaszczyźnie pionowej, które użytkownik świadomie rozpędza. Potrafi to zrobić, na ogół nie znając „stojącej za tym fizyki”. Po prostu w odpowiednich chwilach buja się w przód i w tył i zmienia położenie środka masy układu w poziomie. Może też - kiedy rodzice nie patrzą - powodować przemieszczenie środka masy układu w pionie, wykonując coś na kształt przysiadów. Te przysiady także trzeba odpowiednio zsynchronizować z ruchem huśtawki.

Jest to przykład sterowania wewnętrznego - zależnego od stanu układu, podczas gdy np. długość wahadła i masa użytkownika są nadal ustalone.

Często spotykanym terminem jest sterowanie optymalne - prowadzące od danych warunków początkowych do pożądanych warunków końcowych, możliwie najmniejszym kosztem (który też trzeba zdefiniować), względnie w najkrótszym czasie

Czy łatwo być operatorem dźwigu?

Co na ten temat mówią fizycy? Okazuje się, że na temat tego konkretnego układu, ze szczegółami - naprawdę niedużo. Jego szczegółowy opis wykracza poza ramy wykładu z mechaniki klasycznej dla studentów II roku fizyki. Nie znajdziemy go więc w typowych podręcznikach akademickich; okazuje się, że w Sieci jest także praktycznie nieobecny. Problem ten częściej rozpatrują inżynierowie (zwykle w rozbudowanej wersji, bo z uwzględnieniem ruchomego punktu zawieszenia wahadła. Ma to niebagatelne znaczenie dla tak skomplikowanej czynności jak operowanie dźwigiem). Problemami tego typu zajmują się także matematycy. Te dwa podejścia mają dla przeciętnego fizyka dwie - nazwijmy to umownie - wady:

(a) podejście inżyniera dąży do uzyskania konkretnego przepisu na bezpieczne i efektywne przenoszenie konkretnego ładunku (ciężaru) przez konkretny dźwig. Jest to zrozumiałe, ale dla fizyka to za mało. Za szybko w toku analizy włączane są tam do użycia metody przybliżone, za mało wniosków jest formułowanych w oderwaniu od techniki - na rzecz opisu zjawiska przyrodniczego i jego zależności od takich czy innych parametrów.

(b) na prześledzenie podejścia matematyka - tym razem na dużo wyższym poziomie ogólności niż tylko wahadło sferyczne na skracanej nici - wielu fizyków ma zbyt słabe przygotowanie matematyczne.

Kompromis, czyli modelowanie numeryczne

Pozostaje więc podejście, które stosuje wielu fizyków, a o którym możesz przeczytać w e‑materiałach „Jak modelować wybrane zjawiska za pomocą modeli matematycznych?” oraz „Jak modelować wybrane zjawiska za pomocą modeli fizycznych?”.

Gdy zatem fizyk uznaje, że warto zaproponować opisane tu doświadczenie do demonstracji zasady zachowania momentu pędu, musi jeszcze wykonać sporo pracy. Przypomnijmy: nigdy nie przerabiał tego zagadnienia samodzielnie i nie bardzo ma na czym się wzorować. Swoje przekonanie musi więc zweryfikować w ramach kilkuetapowego postępowania:

(i) próba możliwie pełnego - w ramach naszych możliwości - jakościowego (i przybliżonego ilościowego) zrozumienia zachowania naszego układu,
(ii) próba odpowiedzi na pytanie, czy na pewno w wahadle sferycznym o zmiennej w czasie długości moment pędu jest stały,
(iii) analiza numeryczna,
(iv) wizualizacja i próba interpretacji wyników, w szczególności sprawdzenie, na ile dobrze wypada porównanie z przewidywaniami z pkt. (i) oraz (ii).

Analiza jakościowa

Zaczynamy od „sugestii numerycznej” w dwóch wersjach:
(a) założenie bardzo powolnych zmian długości nici i zbadanie, czy zmiana energii całkowitej wahadła - uwzględniająca oczywiście wykonaną przy wyciąganiu nici pracę - daje stały moment pędu,
(b) próba zredukowania równań ruchu i ich przybliżone, numeryczne rozwiązanie.

Dla dowolnej długości nici, masy ciężarka na niej zawieszonego i dowolnej początkowej prędkości kątowej da się wyznaczyć kąt $\alpha_0$ między pionem a nicią obracającego się wahadła stożkowego,

gdzie $l_0=\sqrt[3]{\frac{L^2}{M^2g}}$ jest pewną długością; jak widać zależy ona od wymienionych parametrów układu oraz przyspieszenia ziemskiego.

Okazuje się, że wstawienie tej wielkości do wzoru opisującego energię całkowitą układu może służyć do analizy jego stabilności - kąt ten okazuje się być położeniem równowagi trwałej dla zmiennego w czasie kąta $\alpha$. Przybliżając energię ruchu dla $\alpha$ bliskich $\alpha_0$, podobnie jak w przypadku przybliżenia małych drgań dla zwykłego wahadła - wykonującego ruch w płaszczyźnie pionowej - możemy np. wnioskować o ich częstotliwości.

Wynikiem tej analizy jest stwierdzenie, że jeśli zaburzyć ruch wahadła stożkowego, ustalony poprzednio kąt $\alpha$ zacznie zmieniać się z okresowo w czasie. Jeśli zaburzenie jest niewielkie, kąt ten będzie się zmieniać harmonicznie w czasie.  Wyrażenie opisujące częstotliwość takich drgań ma postać

Wykres tej funkcji znajduje się na Rys. 1. Widać, że drgania te mają tym większą częstotliwość (a więc tym mniejszy okres), im wyżej jest wahadło. Da się to wytłumaczyć faktem obecności „energii potencjalnej siły odśrodkowej”.

R1CSguTMDOYDV

Rys. 1. Rysunek przedstawia wykres zależności częstotliwości drgań dla kąta alfa, opisującego wychylenie wahadła stożkowego od pionu, wokół kąta równowagi alfa dolny indeks zero. Na osi pionowej wykresu odłożono wielkość bezwymiarową – iloraz prędkości kątowej Omega przez pierwiastek sześcienny z wielkie M małe g kwadrat dzielone przez wielkie L. Zakres osi pionowej to przedział od 0 do 20, znaczniki główne co pięć jednostek opisano liczbami: zero, pięć, dziesięć, piętnaście, dwadzieścia. Obecne są także znaczniki pomocnicze co pięć jednostek. Zakres osi poziomej to kąty od zero radianów do pi pół radianów, znaczniki co pi ósmych radiana opisano liczbami zero, pi ósmych, pi czwartych, trzy ósme pi oraz jedna druga pi. Niebieska krzywa będąca wykresem opisywanej funkcji zaczyna się w początku układu współrzędnych, rośnie łagodnie do punktu odpowiadającego kątowi równowagi alfa zero równemu około pi czwartych radiana i wartości na osi pionowej około dwa i pół. Następnie do kąta nieco powyżej trzy ósme pi krzywa jest praktycznie pozioma, po czym zaczyna wzrastać, coraz stromiej. Wartość końcowa osi poziomej nigdy nie jest osiągana – według wzoru nad rysunkiem, teoretycznie wartość tej częstotliwości dąży do nieskończoności, gdy kąt równowagi dąży do pi pół, czyli do kąta prostego.

Na animacjach oraz wykresach poniżej zaobserwujesz „zagęszczanie się” drgań  - wzrost ich częstotliwości oraz maksymalnej możliwej prędkości kątowej $\Delta \alpha/\Delta t$, gdy „średni kąt” wychylenia wahadła zbliża się do kąta prostego.

Symulacja numeryczna I

Przypomnijmy: w części „Przeczytaj” podaliśmy i omówiliśmy wyniki pozwalające lepiej zrozumieć wykonywane doświadczenie. Uzyskane zostały w oparciu o symulację numeryczną, przy czym stanem początkowym było wahadło stożkowe. Ważnym założeniem było, że wystarczająco powoli skracając nić, uzyskujemy ruch ciężarka po pewnej krzywej, w każdej chwili czasu przechodzącej przez punkty równowagi kolejnych - coraz krótszych - wahadeł stożkowych. Algorytm symulacji opierał się na bilansie energii całkowitej, rzecz jasna z uwzględnieniem pracy wykonywanej podczas skracania nici. Symulacja ta miała na celu sprawdzenie, czy (i z jaką dokładnością) zachowana jest pionowa składowa momentu pędu. Uznaliśmy, że dokładność rzędu setnych części procenta jest zadowalająca.

Można jednak to założenie (ściśle rzecz biorąc nieprawdziwe, co pokazuje doświadczenie wykonywane odpowiednio szybko) opuścić. Dzieje się to kosztem skomplikowania naszej analizy - musimy odwołać się do pełnego równania ruchu dla wahadła sferycznego o zmiennej długości. Najwnikliwiej trzeba przyjrzeć się ewolucji czasowej kąta $\alpha$.

Symulacja numeryczna II

Dla potrzeb tej symulacji zakładamy, że pionowa składowa momentu pędu jest stała. Można tak uczynić, mając za wskazówkę wyniki symulacji I. Teoretycznym argumentem jest analiza wyrażenia opisującego całkowitą energię mechaniczną układu,

Zauważ, że współrzędna kątowa $\varphi$ nie pojawia się w tym wyrażeniu (jedynie odpowiadająca jej prędkość kątowa). Można więc powiedzieć, że symetria tego wyrażenia względem przesunięć w $\varphi$ odzwierciedla symetrię osiową problemu. To pozwala wnioskować o istnieniu pewnej zachowanej (tj. stałej podczas ruchu) wielkości. Z zasad mechaniki wynika, że jest to moment pędu stowarzyszony z tą współrzędną, czyli $L$. O związku symetrii z prawami zachowania w fizyce dowiesz się więcej, sięgając do materiału „Kim była Emmy Amalie Noether?”

Okazuje się, że „oprogramowanie” problemu zawiera dwa w miarę skomplikowane fragmenty. Pierwszy to oczywiście przybliżone rozwiązanie równania ruchu dla współrzędnej kątowej $\alpha$. Jest to równanie na nieznaną funkcję czasu, w którym to równaniu „uczestniczą” nie tylko wyrazy zależne od $\alpha$, ale także od tempa zmian tej funkcji (tj. odpowiedniej prędkości kątowej) oraz tempa zmian tej prędkości kątowej (czyli przyspieszenia kątowego):

Równania takie nazywamy różniczkowymi. W przeciwieństwie do kilku znanych ze szkolnego kursu fizyki przypadków (równanie ruchu wahadła, ciężarka na sprężynie, ale również równanie rozpadu promieniotwórczego) - jawnego (zapisywalnego „jednym wzorem”, z pomocą funkcji elementarnych, tj. wielomianów, funkcji trygonometrycznych itp.) wyrażenia na $\alpha(t)$ nie znamy. Jeśli istnieje, uzyskanie go jest bardzo trudne, a wnioskowanie o jego własnościach ilościowych i tak musiałoby prowadzić do konieczności odwołania się do tablic, wykresów i metod obliczeniowych. Stąd swego rodzaju wytrych - rozwiązanie numeryczne, tj. użycie komputera i operowanie skończonymi przyrostami czasu $\Delta t$ i uzyskanie przybliżenia poszukiwanej zależności.

Otrzymanie zależności $\varphi(t)$ nie jest trudne, jeśli umiemy uporać się z powyższym równaniem - to dzięki związkowi $L=Ml^2\sin^2\alpha\frac{\Delta\varphi}{\Delta t}=\text{const.}$

Drugim trudnym - ale łatwiejszym do rozwiązania - problemem jest odwrócenie zależności $l_0(\alpha_0)$, aby dla znanej długości wahadła móc znaleźć odpowiadający jej i pozostałym parametrom ruchu kąt odpowiedniego wahadła stożkowego. Należy numerycznie rozwiązać równanie (już algebraiczne!)

ze względu na $\alpha_0$. Okazuje się, że dla różnych zakresów $l$ (i spodziewanych wyników) należy wykonać nieco „żonglerki”, np. podnosząc oba wyrazy do potęgi $3$, dzieląc przez $\cos\alpha_0$ itp. Unika się w ten sposób efektów w postaci rozwiązań „schodkowych” - kawałkami stałych, co jest jawnie niezgodne z doświadczeniem i przewidywaniami.

Krótko o stosowanych algorytmach numerycznych

Do przybliżonego rozwiązania równania (2) używamy metody Rungego‑KuttyMetoda Rungego‑Kuttymetody Rungego‑Kutty IV rzędu. Do uzyskania zależności czasowej kąta azymutalnego $\varphi$ wystarczy zastosowanie „naiwnej” metody dodawania iloczynu prędkości kątowej przez krok czasowy.

Równanie (2) służące uzyskaniu zależności $\alpha_0(l)$ rozwiązujemy metodą bisekcjiMetoda bisekcjimetodą bisekcji. Polega to na wzięciu początkowego przedziału $(0;\pi/2)$ dla $\alpha_0$ i kontynuowaniu dzielenia go na połowy tak, aby znaki lewej strony (1) były różne na końcach kolejnych przedziałów. W każdym nowym kroku tej metody przedział, do którego należy poszukiwany wynik, jest połową przedziału w kroku poprzednim. Jeśli wartość lewej strony dla ustalonych $l$ i $l_0$ (a więc $L$ i $M$) jest odpowiednio mała (w naszych obliczeniach była to liczba rzędu $10^{-5}$), zwracamy jako rozwiązanie odpowiednią wartość kąta $\alpha_0$. Graficzną ilustrację tego algorytmu obejrzysz w harmonii poniżej.

Wyniki

Wahadło sferyczne

Aby uzyskać ogląd, jak zachowuje się nasz układ, zacznijmy od wahadła o ustalonej długości. Na Rys. 2a. pokazane są współrzędne, których będziemy używać - tzw. współrzędne sferyczne, w których określenie położenia punktu - zamiast trójki współrzędnych kartezjańskich - polega na podaniu jego odległości od pewnego punktu wyróżnionego (początku pokazanego układu kartezjańskiego) oraz dwóch kątów. Jeden z nich - zwany azymutalnym - mierzy kąt między linią przerywaną a osią $Ox$ w płaszczyźnie $z = 0$. Drugi mierzy odchylenie nici wahadła od pionu, wyznaczonego przez oś $Oz$. Oba kąty podajemy zawsze w radianach; w razie potrzeby można je przeliczyć na stopnie, mnożąc wynik przez $180^{\circ}/\pi\,\text{rad}$. Kąty te są - z dokładnością do wyboru początku odliczania i zakresu - analogiem odpowiednio długości i szerokości geograficznej znanych z lekcji geografii.

R1Qy9ZmA6qArS

Rys. 2a. Na rysunku zaprezentowano tzw. współrzędne sferyczne, opisujące położenie badanego wahadła. W prostokątnym układzie współrzędnych kartezjańskich x, y, z narysowano wahadło w postaci czarnej kropki, niebieski odcinek symbolizuje sznurek, na którym zawieszone jest wahadło, jego początek znajduje się w początku układu współrzędnych kartezjańskich, tj. w punkcie x równa się zero, y równa się zero, z równa się zero. Rzut niebieskiego odcinka na płaszczyznę x, y, tj. płaszczyznę z równa się zero, oznaczono kropkowaną linią. Kąt między tą linią a osią x oznaczono przez fi i zakrzywioną strzałkę od osi x do kropkowanej linii. Kąt między ujemną półosią osi z a sznurkiem oznaczono przez alfa i zakrzywioną strzałkę od osi z mniejsze od zera do niebieskiego odcinka. Wspólnie z odległością czarnej kropki od początku układu kartezjańskiego, kąty alfa i fi dają możliwość opisania położenia wahadła w przestrzeni, jest to w tym przypadku prostsze niż używanie współrzędnych kartezjańskich.

Związek między przedstawionymi współrzędnymi a typowo używanymi kartezjańskimi jest następujący

W przypadku ogólnego ruchu wahadła sferycznego, tj. z $\vec{L}\neq 0$ i ze zmiennym kątem $\alpha$, ciężarek zakreśla ciekawe krzywe na powierzchni sfery, której promień ma długość równą długości nici. Zwykle krzywe te - nieformalnie - nazywa się rozetkami. Zobaczysz taką krzywą na animacji poniżej. Póki co zwróć uwagę, że kształt wykresu $\alpha(t)$ w ogólności odbiega wyraźnie od kształtu „czystej” sinusoidy (Rys. 2b. i 2c.).

RNRQvyjWR6gw7

Rys. 2b. Na rysunku zaprezentowano dwa wykresy przykładowej zależności kątów alfa oraz fi od czasu. W lewym górnym rogu umieszczono legendę, na której czerwona krzywa przyporządkowana jest zależności alfa nawias okrągły małe t zamknięcie nawiasu okrągłego, a niebieska krzywa przyporządkowana jest zależności fi nawias okrągły małe t zamknięcie nawiasu okrągłego. Na osi poziomej odłożono czas wyrażony w sekundach, oznaczony małą literą t, jednostkę oznaczono małą literą s w nawiasie kwadratowym. Zakres osi pionowej to przedział od zera do dwóch sekund, znaczniki osi co pół sekundy oddano w postaci liczb: zero, zero i pięć dziesiątych, jeden, jeden i pięć dziesiątych, dwa. Na osi pionowej odłożono wspólny dla obu kątów przedział od zera do dwa pi. Znaczniki co pi pół radiana oddano liczbami: zero, pi pół, pi, trzy drugie pi, dwa pi. W opisanym układzie współrzędnych narysowano dwie krzywe. Niebieska opisuje zależność kąta fi od czasu, czerwona opisuje zależność kąta alfa od czasu. Czerwona krzywa opisuje drgania, zaczyna się nieco nad początkiem układu współrzędnych i zawiera nieco ponad dwa okresy drgań. Przejścia przez maksymalne wartości kąta alfa odbywają się istotnie wolniej i łagodniej niż przejścia przez minimalne wartości kąta alfa – wykres znacząco różni się od wykresu funkcji sinus, gdzie charakter przejść przez wartości minimalne i maksymalne jest w pełni symetryczny. Maksymalna wartość kąta alfa nie przekracza jednej czwartej pi, tj. czterdziestu pięciu stopni. Minimalna wartość kąta alfa jest niewielka, ale dodatnia. Niebieska krzywa opisuje zależność kąta fi od czasu, wzrasta od zera do dwa pi w sposób schodkowy, przy czym dzieje się to najwolniej, gdy czerwona krzywa osiąga lokalne maksimum, a najszybciej, gdy czerwona krzywa osiąga lokalne minimum.

Można jakościowo wytłumaczyć ten fakt: punkty odpowiadające maksymalnej i minimalnej wartości $\alpha$ znajdują się na różnych wysokościach, różnią się wiec energią potencjalną, więc mają prawo różnić się wartością siły „zawracającej” wahadło do położenia równowagi. Trzeba też pamiętać, że podział energii kinetycznej między prędkości kątowe $\frac{\Delta \alpha}{\Delta t}$ oraz $\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}$ musi uwzględniać stałość pionowej składowej momentu pędu, $L=Ml^2\sin^2\alpha\frac{\Delta\varphi}{\Delta t}$. W skrajnym uproszczeniu można powiedzieć, że zależność obu kątów od czasu jest na tyle skomplikowana - ze względu na postać równań ruchu - że na pewno nie jest sinusoidalna.

Poniżej (Rys. 2c.) prezentujemy podobne wykresy, ale dla mniejszej masy wahadła przy tym samym momencie pędu. Tu wykres $\alpha(t)$ bardziej przypomina wykres funkcji sinus niż poprzednio. Funkcja $\varphi(t)$ rośnie praktycznie liniowo w czasie - odstępstwa od linii prostej są tu zauważalnie mniejsze niż dla niebieskiej krzywej z Rys. 2b.

R1JIso1gpHcOT

Rys. 2c. Na rysunku zaprezentowano dwa wykresy przykładowej zależności kątów alfa oraz fi od czasu. W lewym górnym rogu umieszczono legendę, na której czerwona krzywa przyporządkowana jest zależności alfa nawias okrągły małe t zamknięcie nawiasu okrągłego, a niebieska krzywa przyporządkowana jest zależności fi nawias okrągły małe t zamknięcie nawiasu okrągłego. Na osi poziomej odłożono czas wyrażony w sekundach, oznaczony małą literą t, jednostkę oznaczono małą literą s w nawiasie kwadratowym. Zakres osi pionowej to przedział od zera do dwóch sekund, znaczniki osi co pół sekundy oddano w postaci liczb: zero, zero i pięć dziesiątych, jeden, jeden i pięć dziesiątych, dwa. Na osi pionowej odłożono wspólny dla obu kątów przedział od zera do dwa pi. Znaczniki co pi pół radiana oddano liczbami: zero, pi pół, pi, trzy drugie pi, dwa pi. W opisanym układzie współrzędnych narysowano dwie krzywe. Niebieska opisuje zależność kąta fi od czasu, czerwona opisuje zależność kąta alfa od czasu. Czerwona krzywa opisuje drgania, zaczyna się nieco nad początkiem układu współrzędnych i zawiera nieco ponad dwa okresy drgań. Przejścia przez maksymalne wartości kąta alfa odbywają się praktycznie jak w przypadku funkcji sinus. Maksymalna wartość kąta alfa nie przekracza jednej czwartej pi, tj. czterdziestu pięciu stopni. Minimalna wartość kąta alfa jest niewiele mniejsza, a amplituda drgań bardzo mała. Niebieska krzywa opisuje zależność kąta fi od czasu, wzrasta od zera do dwa pi w sposób praktycznie liniowy, ale z widocznymi oscylacjami. Podobnie jak w przypadku na rysunku 2b, lokalne nachylenie krzywej niebieskiej jest minimalne, gdy krzywa czerwona osiąga maksimum i maksymalne, gdy krzywa czerwona osiąga minimum.

Różnica w częstotliwościach widocznych oscylacji wynika z różnych mas przy jednakowym momencie pędu. W przybliżeniu odpowiada za to związek opisujący wielkość $\Omega$ powyżej, przed Poleceniem 2.

Wizualizacja wyników

Zacznijmy od obiecanych „rozetek” dla wahadła sferycznego - prześledź Animację 1. poniżej:

Animacja 2. pokazuje zachowanie wahadła o nici skracanej liniowo w czasie, tj. wg przepisu

przy czym zawsze $l(t) \geqslant 0$. Symbolem $V$ oznaczamy prędkość skracania wahadła wyrażoną w metrach na sekundę.

Symulacja kończy się - choć nie musi tak być, ale tak to zaprogramowaliśmy - w chwili, gdy kąt $\alpha$ pierwszy raz staje się prosty, tj. osiąga wartość $\pi/2\,\text{rad}$. Obok wirującego wahadła (zakreślającego swój tor) oraz jego „cienia” - w zamyśle ułatwiającego śledzenie ruchu - pokazane są też wartości kąta równowagowego $\alpha_0$ (punkt zielony) oraz rzeczywistego kąta $\alpha$ (punkt niebieski). Pionowa oś tej części animacji jest wyskalowana w radianach. Niewielkie drgania punktu niebieskiego - na tle „wznoszenia” punktu zielonego - są praktycznie nie do zaobserwowania na animacji po lewej stronie.

Tor wahadła może kojarzyć się z zieloną krzywą oplatającą szarą powierzchnię, zaprezentowaną na Rys. 7. w sekcji „Przeczytaj”. To naturalny kandydat na pierwsze skojarzenie. Jednak należy pamiętać, że rzeczywisty tor jedynie co jakiś czas przechodzi przez kolejne położenia równowagi $\alpha_0$, ale w żadnym wypadku nie jest tak dla każdej chwili czasu. Co więcej - żadnej tak prostej do opisania i naturalnie wyróżnionej powierzchni tu nie ma. Jednak mamy prawo przypuszczać (i zasugerować to na drodze „eksperymentu numerycznego”), że im mniejsza prędkość skracania nici $V$, tym realny tor jest bliższy wspomnianej powierzchni. Dzieje się tak z uwagi na mniejsze odstępstwa $\alpha(t)$ od $\alpha_0$.

Kolejny przypadek to wahadło sferyczne (nie stożkowe), które skracamy inaczej niż poprzednio, bo niejednostajnie. Rys. 3a. pokazuje zależność $l(t)$; wybraliśmy funkcję arcus tangens, tj. odwrotną do tangensa. Dobrze modeluje ona sytuację, gdy zaczynamy ciągnąć nić powoli, następnie coraz szybciej, ale pod koniec zwalniamy.

R1e3RplkDql2b

Rys. 3a. Rysunek prezentuje przebieg przykładowego niejednostajnego skracania nici wahadła w postaci wykresu długości nici od czasu. Na osi pionowej układu współrzędnych odłożono długość nici wyrażoną w metrach i oznaczoną przez małe l nawias okrągły małe t zamknięcie nawiasu okrągłego, jednostka (metr) małe m w nawiasach kwadratowych. Na osi poziomej oddano czas oznaczony przez małe t, jednostka (sekunda) małe s w nawiasie kwadratowym. Zakres zmienności małe l to przedział od zero do jeden metr, znaczniki co jedną dziesiątą metra oddano liczbami zero, jedna dziesiąta, dwie dziesiąte, trzy dziesiąte, cztery dziesiąte, pięć dziesiątych, sześć dziesiątych, siedem dziesiątych, osiem dziesiątych, dziewięć dziesiątych, jeden. Zakres zmienności czasu to przedział od trzydzieści do siedemdziesiąt sekund, znaczniki oddano liczbami trzydzieści, trzydzieści pięć, czterdzieści, czterdzieści pięć, pięćdziesiąt, pięćdziesiąt pięć, sześćdziesiąt, sześćdziesiąt pięć, siedemdziesiąt. Wykres funkcji małe l nawias okrągły małe t zamknięcie nawiasu okrągłego przedstawia niebieska krzywa, zaczynająca się w okolicach punktu o współrzędnych trzydzieści sekund i nieco ponad zero przecinek dziewięćdziesiąt sześć setnych metra. Krzywa łagodnie opada, a dla czasu w przedziale czterdzieści pięć pięćdziesiąt sekund opada szybciej, po czym znów się wypłaszcza, ale cały czas maleje. Końcową wartością, odpowiadającą czasowi siedemdziesiąt sekund jest nieco ponad czterdzieści dwie setne metra.

Na Rys. 3b. widać wykres zależności kąta $\alpha(t)$ (krzywa czerwona) oraz kąta odpowiadającego równowadze (krzywa zielona). Warto zauważyć, że w miarę wzrostu czasu (a zatem malenia $l$) oscylacje $\alpha$ wyraźnie zwiększają amplitudę i częstotliwość.

REoEmhNFlrndk

Rys. 3b. Na rysunku zaprezentowano zależność kąta alfa oraz kąta równowagi alfa zero od czasu w sytuacji, gdy nić wahadła skracana jest według przepisu przedstawionego na rysunku 3a. W prawym górnym rogu rysunku umieszczono legendę, która czerwoną krzywą przyporządkowuje zależności alfa nawias okrągły małe t zamknięcie nawiasu i zieloną krzywą zależności alfa indeks dolny zero koniec indeksu dolnego nawias okrągły małe t zamknięcie nawiasu okrągłego. Na osi pionowej układu współrzędnych odłożono wspólny dla obu kątów przedział od zero do pi pół radianów. Wykres ma charakter jakościowy, znaczniki to kąty zero, pi szóstych, pi czwartych, pi trzecich i pi drugich radiana, czyli zero, trzydzieści, czterdzieści pięć, sześćdziesiąt i dziewięćdziesiąt stopni. Na osi poziomej oddano czas oznaczony przez małe t, jednostka (sekunda) małe s w nawiasie kwadratowym. Zakres zmienności czasu to przedział od trzydzieści do siedemdziesiąt sekund, znaczniki oddano liczbami trzydzieści, trzydzieści pięć, czterdzieści, czterdzieści pięć, pięćdziesiąt, pięćdziesiąt pięć, sześćdziesiąt, sześćdziesiąt pięć, siedemdziesiąt. Wykres funkcji alfa zero od małe t to zielona krzywa, która zaczyna się nieco poniżej wartości pi szóstych radiana, bardzo łagodnie rośnie, przy czym w przedziale około czterdzieści pięć do pięćdziesiąt pięć sekund rośnie zauważalnie szybciej, po czym znów jej wzrost jest bardzo powolny. Wykres funkcji alfa od małe t ma postać czerwonej krzywej, oscylującej wokół zielonej, z zauważalnie rosnącą amplitudą i częstotliwością. Widoczna jest asymetria tych drgań, wychylenia dodatnie mają większą wartość bezwzględną niż ujemne. Amplituda tych drgań rośnie od około 10 stopni do około 15 stopni. Kąt równowagi zwiększa się od wartości wyraźnie mniejszej niż 30 stopni do prawie 45 stopni. Jest to ilustracja wzrostu energii kinetycznej układu wskutek wykonywania pracy podczas skracania nici wahadła.

Na Rys. 3c. pokazujemy odpowiednie prędkości kątowe - dla kąta azymutalnego $\varphi$ oraz kąta $\alpha$.

R1F3LDI4PI1K2

Rys. 3c. Na rysunku przedstawiono wykresy prędkości kątowych dla kąta alfa i fi dla wahadła, którego nić skracana jest w sposób opisany na rysunku 3a. W prawym górnym rogu umieszczono legendę, która zielonej krzywej przyporządkowuje zależność prędkości kątowej delta fi podzielić przez delta małe t wyrażonej w radianach na sekundę, a krzywej fioletowej zależność prędkości kątowej delta alfa podzielić przez delta małe t, również wyrażonej w radianach na sekundę. Oś pozioma opisuje czas wyrażony w sekundach, oznaczony przez małe t, jednostka (sekunda) małe s w nawiasie kwadratowym. Przedział czasu na osi poziomej to trzydzieści pięć do sześćdziesięciu sekund, znaczniki co pięć sekund oddano liczbami trzydzieści pięć, czterdzieści, czterdzieści pięć, pięćdziesiąt, pięćdziesiąt pięć, sześćdziesiąt. Zakres osi pionowej, wspólny dla obu prędkości kątowych, to przedział od minus 2 do 9 radianów na sekundę, znaczniki co 1 radian na sekundę oddano liczbami minus dwa, minus jeden, zero, jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, siedem, osiem, dziewięć. Krzywa fioletowa, opisująca prędkość kątową dla kąta alfa, zaczyna się w okolicach punktu trzydzieści pięć sekund, minus pięć dziesiątych radiana na sekundę i ma charakter drgań o rosnącej amplitudzie i częstotliwości. Amplituda w chwili początkowej nie przekracza 1 radiana na sekundę, amplituda w chwili końcowej jest bliska wartości 2 radiany na sekundę. Fragmenty wznoszące krzywej są bardziej strome niż fragmenty opadające, wykres lokalnie wyraźnie różni się od wykresu funkcji sinus. Krzywa zielona zaczyna się w pobliżu punktu trzydzieści pięć sekund pięć i pół radiana na sekundę, i również ma charakter drgań o słabiej wzrastającej amplitudzie, rosnącej częstotliwości. Kluczową różnicą jest tu wzrost położenia równowagi. Rośnie ono w przybliżeniu od prawie 4 radianów na sekundę do około 6 radianów na sekundę.

Algorytm, czyli wstęp do działalności własnej

Schemat 1. przedstawia sposób uzyskiwania wyników, które posłużyły do stworzenia powyższych rysunków i animacji. Zachęcamy do prześledzenia go, konsultacji na lekcjach informatyki i fizyki oraz twórczej modyfikacji, ew. stworzenia sumulacji zachowania innego interesującego układu fizycznego. W szczególności: problemem, którego tu nie poruszyliśmy, a uważamy za ciekawy, jest zbadanie zależności stanu końcowego wahadła po ustaniu zmian jego długości od chwili, kiedy te zmiany ustały, w szczególności od tego, czy w chwili tej wahadło przechodziło przez punkt o zerowej, czy może maksymalnej prędkości kątowej dla kąta $\alpha$.

Zastosowane tu środowisko, języki programowania i zewnętrzne narzędzia nie są w żadnym wypadku wyborem uniwersalnym. Jedną z „wad” wyboru C++ jest nieco trudniejsza obsługa powiązania argumentów wejściowych z rodzajem symulacji, tj. konkretną postacią $l(t)$. Łatwiej jest to zrobić w językach takich jak C# czy Java.

Słowniczek