Dla zainteresowanych

Układ sterowany i jego modelowanie

Podczas badania ruchu wahadła stożkowego można odnieść wrażenie, że ciężko jest w tej sytuacji wykonać pomiary ilościowe. Stwierdzenie, że ruch wahadła sferycznego jest płaski (tzn. jest to wahadło stożkowe) wymagałoby zapewne zastosowania odpowiedniego układu ekranów i oświetlenia - trudno sobie wyobrazić śledzenie kąta wychylenia nici od pionu z pomocą szkolnego kątomierza. Równie duży problem mielibyśmy ze zmierzeniem początkowego i końcowego momentu pędu, czy wartości jego pionowej składowej, o której przypuszczamy, że jest zachowana.

Więcej: zapewne - w ramach zaspokajania przyrodoznawczej ciekawości - zdarzyło Ci się skracać sznurek inaczej niż wymagały tego warunki zaproponowane w opisie doświadczenia. I prawdopodobnie wtedy układ „wahadło sferyczne o zmiennej długości” pokazał naprawdę, co potrafi - wzbudzały się w nim pewne drgania, o których poniżej. Obserwujemy wtedy zachowanie, które można - nieformalnie - ująć następująco: krótkotrwałe i zbyt gwałtowne (ew. długotrwałe i niewystarczająco łagodne) zmiany długości sznurka prowadzą do drastycznych zmian w zachowaniu się układu.

Układ sterowany zewnętrznie

Jest to szczególny przykład układu fizycznego, którego opis zawiera zwykle stałe wielkości (dla wahadła jest to np. jego długość), a modyfikacja polega na tym, że przychodzi ktoś „z zewnątrz” i niektóre z tych stałych „uruchamia”. Jest to tzw. sterowanie zewnętrzne - dane „z góry” i niepodlegające żadnej modyfikacji zależnej od stanu układu, np. któregoś z parametrów czy tempa jego zmian. Tak postępowaliśmy w naszym doświadczeniu - powoli, jednostajnie skracając nitkę i nie modyfikując tego procesu.

Gdyby na nitce wisiał woreczek z piaskiem, moglibyśmy go przedziurawić. Wtedy - jeśli pominąć wpływ wahań na tempo wysypywania się piasku - mielibyśmy także zewnętrzne sterowanie w postaci zmniejszającej się masy wahadła.

Układ sterowany wewnętrznie

Z podobnym zjawiskiem, polegającym na wzbudzaniu drgań, mamy do czynienia na huśtawce. Jest to zwykłe wahadło, poruszające się w płaszczyźnie pionowej, które użytkownik świadomie rozpędza. Potrafi to zrobić, na ogół nie znając „stojącej za tym fizyki”. Po prostu w odpowiednich chwilach buja się w przód i w tył i zmienia położenie środka masy układu w poziomie. Może też - kiedy rodzice nie patrzą - powodować przemieszczenie środka masy układu w pionie, wykonując coś na kształt przysiadów. Te przysiady także trzeba odpowiednio zsynchronizować z ruchem huśtawki.

Jest to przykład sterowania wewnętrznego - zależnego od stanu układu, podczas gdy np. długość wahadła i masa użytkownika są nadal ustalone.

Często spotykanym terminem jest sterowanie optymalne - prowadzące od danych warunków początkowych do pożądanych warunków końcowych, możliwie najmniejszym kosztem (który też trzeba zdefiniować), względnie w najkrótszym czasie

Czy łatwo być operatorem dźwigu?

Co na ten temat mówią fizycy? Okazuje się, że na temat tego konkretnego układu, ze szczegółami - naprawdę niedużo. Jego szczegółowy opis wykracza poza ramy wykładu z mechaniki klasycznej dla studentów II roku fizyki. Nie znajdziemy go więc w typowych podręcznikach akademickich; okazuje się, że w Sieci jest także praktycznie nieobecny. Problem ten częściej rozpatrują inżynierowie (zwykle w rozbudowanej wersji, bo z uwzględnieniem ruchomego punktu zawieszenia wahadła. Ma to niebagatelne znaczenie dla tak skomplikowanej czynności jak operowanie dźwigiem). Problemami tego typu zajmują się także matematycy. Te dwa podejścia mają dla przeciętnego fizyka dwie - nazwijmy to umownie - wady:

(a) podejście inżyniera dąży do uzyskania konkretnego przepisu na bezpieczne i efektywne przenoszenie konkretnego ładunku (ciężaru) przez konkretny dźwig. Jest to zrozumiałe, ale dla fizyka to za mało. Za szybko w toku analizy włączane są tam do użycia metody przybliżone, za mało wniosków jest formułowanych w oderwaniu od techniki - na rzecz opisu zjawiska przyrodniczego i jego zależności od takich czy innych parametrów.

(b) na prześledzenie podejścia matematyka - tym razem na dużo wyższym poziomie ogólności niż tylko wahadło sferyczne na skracanej nici - wielu fizyków ma zbyt słabe przygotowanie matematyczne.

Kompromis, czyli modelowanie numeryczne

Pozostaje więc podejście, które stosuje wielu fizyków, a o którym możesz przeczytać w e‑materiałach „Jak modelować wybrane zjawiska za pomocą modeli matematycznych?” oraz „Jak modelować wybrane zjawiska za pomocą modeli fizycznych?”.

Gdy zatem fizyk uznaje, że warto zaproponować opisane tu doświadczenie do demonstracji zasady zachowania momentu pędu, musi jeszcze wykonać sporo pracy. Przypomnijmy: nigdy nie przerabiał tego zagadnienia samodzielnie i nie bardzo ma na czym się wzorować. Swoje przekonanie musi więc zweryfikować w ramach kilkuetapowego postępowania:

(i) próba możliwie pełnego - w ramach naszych możliwości - jakościowego (i przybliżonego ilościowego) zrozumienia zachowania naszego układu,
(ii) próba odpowiedzi na pytanie, czy na pewno w wahadle sferycznym o zmiennej w czasie długości moment pędu jest stały,
(iii) analiza numeryczna,
(iv) wizualizacja i próba interpretacji wyników, w szczególności sprawdzenie, na ile dobrze wypada porównanie z przewidywaniami z pkt. (i) oraz (ii).

Analiza jakościowa

Zaczynamy od „sugestii numerycznej” w dwóch wersjach:
(a) założenie bardzo powolnych zmian długości nici i zbadanie, czy zmiana energii całkowitej wahadła - uwzględniająca oczywiście wykonaną przy wyciąganiu nici pracę - daje stały moment pędu,
(b) próba zredukowania równań ruchu i ich przybliżone, numeryczne rozwiązanie.

Dla dowolnej długości nici, masy ciężarka na niej zawieszonego i dowolnej początkowej prędkości kątowej da się wyznaczyć kąt między pionem a nicią obracającego się wahadła stożkowego,

gdzie jest pewną długością; jak widać zależy ona od wymienionych parametrów układu oraz przyspieszenia ziemskiego.

Polecenie 1

Sprawdź, że jednostką jest metr.

Okazuje się, że wstawienie tej wielkości do wzoru opisującego energię całkowitą układu może służyć do analizy jego stabilności - kąt ten okazuje się być położeniem równowagi trwałej dla zmiennego w czasie kąta . Przybliżając energię ruchu dla bliskich , podobnie jak w przypadku przybliżenia małych drgań dla zwykłego wahadła - wykonującego ruch w płaszczyźnie pionowej - możemy np. wnioskować o ich częstotliwości.

Wynikiem tej analizy jest stwierdzenie, że jeśli zaburzyć ruch wahadła stożkowego, ustalony poprzednio kąt zacznie zmieniać się z okresowo w czasie. Jeśli zaburzenie jest niewielkie, kąt ten będzie się zmieniać harmonicznie w czasie.  Wyrażenie opisujące częstotliwość takich drgań ma postać

Wykres tej funkcji znajduje się na Rys. 1. Widać, że drgania te mają tym większą częstotliwość (a więc tym mniejszy okres), im wyżej jest wahadło. Da się to wytłumaczyć faktem obecności „energii potencjalnej siły odśrodkowej”.

R1CSguTMDOYDV
Rys. 1. Zależność Ω(α0). Na osi rzędnych oddano wielkość bezwymiarową, a dziedzinę ograniczono tak, aby wartości nie przekraczały 20. (Gdy kąt zbliża się do prostego, częstotliwość drgań dąży do nieskończoności.)
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.
Polecenie 2

Sprawdź, że jednostką współczynnika mianowanego w powyższym wzorze, tj. , jest .

Na animacjach oraz wykresach poniżej zaobserwujesz „zagęszczanie się” drgań  - wzrost ich częstotliwości oraz maksymalnej możliwej prędkości kątowej , gdy „średni kąt” wychylenia wahadła zbliża się do kąta prostego.

Symulacja numeryczna I

Przypomnijmy: w części „Przeczytaj” podaliśmy i omówiliśmy wyniki pozwalające lepiej zrozumieć wykonywane doświadczenie. Uzyskane zostały w oparciu o symulację numeryczną, przy czym stanem początkowym było wahadło stożkowe. Ważnym założeniem było, że wystarczająco powoli skracając nić, uzyskujemy ruch ciężarka po pewnej krzywej, w każdej chwili czasu przechodzącej przez punkty równowagi kolejnych - coraz krótszych - wahadeł stożkowych. Algorytm symulacji opierał się na bilansie energii całkowitej, rzecz jasna z uwzględnieniem pracy wykonywanej podczas skracania nici. Symulacja ta miała na celu sprawdzenie, czy (i z jaką dokładnością) zachowana jest pionowa składowa momentu pędu. Uznaliśmy, że dokładność rzędu setnych części procenta jest zadowalająca.

Można jednak to założenie (ściśle rzecz biorąc nieprawdziwe, co pokazuje doświadczenie wykonywane odpowiednio szybko) opuścić. Dzieje się to kosztem skomplikowania naszej analizy - musimy odwołać się do pełnego równania ruchu dla wahadła sferycznego o zmiennej długości. Najwnikliwiej trzeba przyjrzeć się ewolucji czasowej kąta .

Symulacja numeryczna II

Dla potrzeb tej symulacji zakładamy, że pionowa składowa momentu pędu jest stała. Można tak uczynić, mając za wskazówkę wyniki symulacji I. Teoretycznym argumentem jest analiza wyrażenia opisującego całkowitą energię mechaniczną układu,

Zauważ, że współrzędna kątowa nie pojawia się w tym wyrażeniu (jedynie odpowiadająca jej prędkość kątowa). Można więc powiedzieć, że symetria tego wyrażenia względem przesunięć w  odzwierciedla symetrię osiową problemu. To pozwala wnioskować o istnieniu pewnej zachowanej (tj. stałej podczas ruchu) wielkości. Z zasad mechaniki wynika, że jest to moment pędu stowarzyszony z tą współrzędną, czyli . O związku symetrii z prawami zachowania w fizyce dowiesz się więcej, sięgając do materiału „Kim była Emmy Amalie Noether?

Okazuje się, że „oprogramowanie” problemu zawiera dwa w miarę skomplikowane fragmenty. Pierwszy to oczywiście przybliżone rozwiązanie równania ruchu dla współrzędnej kątowej . Jest to równanie na nieznaną funkcję czasu, w którym to równaniu „uczestniczą” nie tylko wyrazy zależne od , ale także od tempa zmian tej funkcji (tj. odpowiedniej prędkości kątowej) oraz tempa zmian tej prędkości kątowej (czyli przyspieszenia kątowego):

(1)

Równania takie nazywamy różniczkowymi. W przeciwieństwie do kilku znanych ze szkolnego kursu fizyki przypadków (równanie ruchu wahadła, ciężarka na sprężynie, ale również równanie rozpadu promieniotwórczego) - jawnego (zapisywalnego „jednym wzorem”, z pomocą funkcji elementarnych, tj. wielomianów, funkcji trygonometrycznych itp.) wyrażenia na nie znamy. Jeśli istnieje, uzyskanie go jest bardzo trudne, a wnioskowanie o jego własnościach ilościowych i tak musiałoby prowadzić do konieczności odwołania się do tablic, wykresów i metod obliczeniowych. Stąd swego rodzaju wytrych - rozwiązanie numeryczne, tj. użycie komputera i operowanie skończonymi przyrostami czasu i uzyskanie przybliżenia poszukiwanej zależności.

Otrzymanie zależności nie jest trudne, jeśli umiemy uporać się z powyższym równaniem - to dzięki związkowi

Drugim trudnym - ale łatwiejszym do rozwiązania - problemem jest odwrócenie zależności , aby dla znanej długości wahadła móc znaleźć odpowiadający jej i pozostałym parametrom ruchu kąt odpowiedniego wahadła stożkowego. Należy numerycznie rozwiązać równanie (już algebraiczne!)

(2)

ze względu na . Okazuje się, że dla różnych zakresów (i spodziewanych wyników) należy wykonać nieco „żonglerki”, np. podnosząc oba wyrazy do potęgi , dzieląc przez itp. Unika się w ten sposób efektów w postaci rozwiązań „schodkowych” - kawałkami stałych, co jest jawnie niezgodne z doświadczeniem i przewidywaniami.

Krótko o stosowanych algorytmach numerycznych

Do przybliżonego rozwiązania równania (2) używamy metody Rungego‑KuttyMetoda Rungego‑Kuttymetody Rungego‑Kutty IV rzędu. Do uzyskania zależności czasowej kąta azymutalnego wystarczy zastosowanie „naiwnej” metody dodawania iloczynu prędkości kątowej przez krok czasowy.

Ciekawostka

Zastosowanie metody „naiwnej” do równania (2) prowadzi do absurdalnych wyników. Jeśli do „poprzedniej” wartości kąta dodamy iloczyn prędkości kątowej przez krok czasowy i połowę przyspieszenia kątowego przez kwadrat kroku czasowego (de facto przyjmując, że na krótkim odcinku czasu ruch jest jednostajnie przyspieszony), już wahadło sferyczne (o ustalonej długości!) będzie miało rosnącą w czasie energię. Widać więc już na etapie wstępnym, że ta metoda do naszej symulacji się nie nadaje. Metoda Rungego‑Kutty okazuje się z bardzo dobrą dokładnością „zachowywać energię” - przez setki cykli zmienności obu kątów opisujących ruch takiego wahadła.

Równanie (2) służące uzyskaniu zależności rozwiązujemy metodą bisekcjiMetoda bisekcjimetodą bisekcji. Polega to na wzięciu początkowego przedziału dla kontynuowaniu dzielenia go na połowy tak, aby znaki lewej strony (1) były różne na końcach kolejnych przedziałów. W każdym nowym kroku tej metody przedział, do którego należy poszukiwany wynik, jest połową przedziału w kroku poprzednim. Jeśli wartość lewej strony dla ustalonych  i  (a więc  i ) jest odpowiednio mała (w naszych obliczeniach była to liczba rzędu ), zwracamy jako rozwiązanie odpowiednią wartość kąta . Graficzną ilustrację tego algorytmu obejrzysz w harmonii poniżej.

R5IeMWRKOv47F
Krok 1 Rysunek przedstawia pierwszy krok w poszukiwaniu miejsca zerowego funkcji f nawias x koniec nawiasu metodą bisekcji. Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych, zmienna niezależna przebiegająca poziomą oś oznaczona jest literą x, zmienna zależna odłożona jest na pionowej osi. Dla dwóch wybranych punktów x dolny indeks min koniec dolnego indeksu i x dolny indeks min koniec dolnego indeksu zaznaczono wartości funkcji f w tych punktach. Wartości te różnią się znakiem, więc między nimi istnieje punkt, w którym funkcja f ma wartość zero., Krok 2 Rysunek przedstawia drugi krok w poszukiwaniu miejsca zerowego funkcji f nawias x koniec nawiasu metodą bisekcji. Po podziale pierwotnego przedziału na dwie równe części okazało się, że w połowie wartość funkcji f jest dodatnia, więc w drugim kroku x indeks dolny max koniec indeksu dolnego wypada w połowie pierwotnego przedziału, a x indeks dolny min koniec indeksu dolnego pozostaje bez zmian., Krok 3 Rysunek przedstawia trzeci krok w poszukiwaniu miejsca zerowego funkcji f nawias x koniec nawiasu metodą bisekcji. Po podziale przedziału z drugiego kroku na dwie równe części okazuje się, że w połowie wartość funkcji f jest ujemna, więc w trzecim kroku x indeks dolny min koniec indeksu dolnego wypada w połowie przedziału, a x indeks dolny max koniec indeksu dolnego pozostaje bez zmian., Krok 4 Rysunek przedstawia czwarty krok w poszukiwaniu miejsca zerowego funkcji f nawias x koniec nawiasu metodą bisekcji. Dla czytelności zrezygnowano z oznaczeń końców przedziału i odpowiadających im wartości funkcji. Przedział, w którym znajduje się poszukiwane miejsce zerowe jest już osiem razy krótszy niż w pierwszym kroku., Krok 5 Rysunek przedstawia piąty krok w poszukiwaniu miejsca zerowego funkcji f nawias x koniec nawiasu metodą bisekcji. Dla czytelności zrezygnowano z oznaczeń końców przedziału i odpowiadających im wartości funkcji. Przedział, w którym znajduje się poszukiwane miejsce zerowe jest już szesnaście razy krótszy niż w pierwszym kroku.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Opis harmonii:

  • Rys. 1. Rysunek przedstawia pierwszy krok w poszukiwaniu miejsca zerowego funkcji f nawias x koniec nawiasu metodą bisekcji. Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych, zmienna niezależna przebiegająca poziomą oś oznaczona jest literą x, zmienna zależna odłożona jest na pionowej osi. Dla dwóch wybranych punktów x dolny indeks min koniec dolnego indeksu i x dolny indeks min koniec dolnego indeksu zaznaczono wartości funkcji f w tych punktach. Wartości te różnią się znakiem, więc między nimi istnieje punkt, w którym funkcja f ma wartość zero.

  • Rys. 2. Rysunek przedstawia drugi krok w poszukiwaniu miejsca zerowego funkcji f nawias x koniec nawiasu metodą bisekcji. Po podziale pierwotnego przedziału na dwie równe części okazało się, że w połowie wartość funkcji f jest dodatnia, więc w drugim kroku x indeks dolny max koniec indeksu dolnego wypada w połowie pierwotnego przedziału, a x indeks dolny min koniec indeksu dolnego pozostaje bez zmian.

  • Rys. 3. Rysunek przedstawia trzeci krok w poszukiwaniu miejsca zerowego funkcji f nawias x koniec nawiasu metodą bisekcji. Po podziale przedziału z drugiego kroku na dwie równe części okazuje się, że w połowie wartość funkcji f jest ujemna, więc w trzecim kroku x indeks dolny min koniec indeksu dolnego wypada w połowie przedziału, a x indeks dolny max koniec indeksu dolnego pozostaje bez zmian.

  • Rys. 4. Rysunek przedstawia czwarty krok w poszukiwaniu miejsca zerowego funkcji f nawias x koniec nawiasu metodą bisekcji. Dla czytelności zrezygnowano z oznaczeń końców przedziału i odpowiadających im wartości funkcji. Przedział, w którym znajduje się poszukiwane miejsce zerowe jest już osiem razy krótszy niż w pierwszym kroku.

  • Rys. 5. Rysunek przedstawia piąty krok w poszukiwaniu miejsca zerowego funkcji f nawias x koniec nawiasu metodą bisekcji. Dla czytelności zrezygnowano z oznaczeń końców przedziału i odpowiadających im wartości funkcji. Przedział, w którym znajduje się poszukiwane miejsce zerowe jest już szesnaście razy krótszy niż w pierwszym kroku.

Wyniki
Wahadło sferyczne

Aby uzyskać ogląd, jak zachowuje się nasz układ, zacznijmy od wahadła o ustalonej długości. Na Rys. 2a. pokazane są współrzędne, których będziemy używać - tzw. współrzędne sferyczne, w których określenie położenia punktu - zamiast trójki współrzędnych kartezjańskich - polega na podaniu jego odległości od pewnego punktu wyróżnionego (początku pokazanego układu kartezjańskiego) oraz dwóch kątów. Jeden z nich - zwany azymutalnym - mierzy kąt między linią przerywaną a osią w płaszczyźnie . Drugi mierzy odchylenie nici wahadła od pionu, wyznaczonego przez oś . Oba kąty podajemy zawsze w radianach; w razie potrzeby można je przeliczyć na stopnie, mnożąc wynik przez . Kąty te są - z dokładnością do wyboru początku odliczania i zakresu - analogiem odpowiednio długości i szerokości geograficznej znanych z lekcji geografii.

R1Qy9ZmA6qArS
Rys. 2a. Współrzędne używane w opisie wahadła. Kąt azymutalny φ mierzony jest w płaszczyźnie xy i przebiega zakres [0;2π), kąt α mierzy odchylenie nici wahadła od pionu. W zasadzie jego dziedziną, obejmującą także obszar dodatnich z, jest przedział [0;π], ale dla potrzeb naszego problemu wystarczy zakres kątów ostrych, tj. [0;π/2)
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Związek między przedstawionymi współrzędnymi a typowo używanymi kartezjańskimi jest następujący

W przypadku ogólnego ruchu wahadła sferycznego, tj. z  i ze zmiennym kątem , ciężarek zakreśla ciekawe krzywe na powierzchni sfery, której promień ma długość równą długości nici. Zwykle krzywe te - nieformalnie - nazywa się rozetkami. Zobaczysz taką krzywą na animacji poniżej. Póki co zwróć uwagę, że kształt wykresu w ogólności odbiega wyraźnie od kształtu „czystej” sinusoidy (Rys. 2b. i 2c.).

RNRQvyjWR6gw7
Rys. 2b. Wahadło sferyczne - zależność kątów α oraz φ od czasu dla pełnego obiegu wahadła dookoła osi pionowej (kąt φ raz przebiega przedział [0;2π). Widać, że w miejscach największej stromizny niebieskiej krzywej (tj. największych wartości Δφ/Δt) krzywa czerwona ma minimum i jest ono "ostrzejsze" niż maksimum.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Można jakościowo wytłumaczyć ten fakt: punkty odpowiadające maksymalnej i minimalnej wartości znajdują się na różnych wysokościach, różnią się wiec energią potencjalną, więc mają prawo różnić się wartością siły „zawracającej” wahadło do położenia równowagi. Trzeba też pamiętać, że podział energii kinetycznej między prędkości kątowe oraz musi uwzględniać stałość pionowej składowej momentu pędu, . W skrajnym uproszczeniu można powiedzieć, że zależność obu kątów od czasu jest na tyle skomplikowana - ze względu na postać równań ruchu - że na pewno nie jest sinusoidalna.

Poniżej (Rys. 2c.) prezentujemy podobne wykresy, ale dla mniejszej masy wahadła przy tym samym momencie pędu. Tu wykres bardziej przypomina wykres funkcji sinus niż poprzednio. Funkcja rośnie praktycznie liniowo w czasie - odstępstwa od linii prostej są tu zauważalnie mniejsze niż dla niebieskiej krzywej z Rys. 2b.

R1JIso1gpHcOT
Rys. 2c. Wahadło sferyczne o mniejszym niż dla Rys. 2b. ilorazie M/L. Kąt azymutalny φ rośnie praktycznie liniowo, z niewielkimi oscylacjami. Wykres zależności czasowej kąta α bardziej przypomina sinusoidę niż przedstawiony na Rys. 2b.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Różnica w częstotliwościach widocznych oscylacji wynika z różnych mas przy jednakowym momencie pędu. W przybliżeniu odpowiada za to związek opisujący wielkość powyżej, przed Poleceniem 2.

Wizualizacja wyników

Zacznijmy od obiecanych „rozetek” dla wahadła sferycznego - prześledź Animację 1. poniżej:

R1bbOzi4HbxMT1
W animacji pokazano wycinek sfery, symbolizującej dostępne dla wahadła stożkowego położenia oraz tor takiego przykładowego wahadła o ustalonej długości, w postaci czerwonej krzywej w kształcie rozetki. Animacja jest ruchomym obrazem przedstawionym bez udziału lektora.

Animacja 2. pokazuje zachowanie wahadła o nici skracanej liniowo w czasie, tj. wg przepisu

przy czym zawsze . Symbolem  oznaczamy prędkość skracania wahadła wyrażoną w metrach na sekundę.

Symulacja kończy się - choć nie musi tak być, ale tak to zaprogramowaliśmy - w chwili, gdy kąt pierwszy raz staje się prosty, tj. osiąga wartość . Obok wirującego wahadła (zakreślającego swój tor) oraz jego „cienia” - w zamyśle ułatwiającego śledzenie ruchu - pokazane są też wartości kąta równowagowego (punkt zielony) oraz rzeczywistego kąta (punkt niebieski). Pionowa oś tej części animacji jest wyskalowana w radianach. Niewielkie drgania punktu niebieskiego - na tle „wznoszenia” punktu zielonego - są praktycznie nie do zaobserwowania na animacji po lewej stronie.

Ri23l1Rnxk3YO1
W animacji pokazano tor wahadła w przypadku, gdy skracamy sznur liniowo w czasie. Po lewej stronie rysowany jest fioletowy odcinek i fioletowa kulka symbolizujące wahadło oraz jego cień w świetle docierającym z góry, w postaci szarego odcinka i szarej kulki, nieco mniejszej niż fioletowa. Po prawej stronie pokazano dwa punkty oddające na pionowej skali w zakresie od zera do pi drugich radiana chwilowy kąt alfa w danej chwili oraz odpowiedni kąt równowagi alfa zero. Punkt zielony opisuje kąt równowagi, punkt niebieski – kąt rzeczywisty. W miarę postępu animacji oba punkty poruszają się średnio rzecz biorąc w górę, przy czym punkt po lewej stronie porusza się wyłącznie w górę, a położenie punktu po prawej stronie oscyluje wokół położenia punktu po lewej stronie. Animacja jest ruchomym obrazem przedstawionym bez udziału lektora.

Tor wahadła może kojarzyć się z zieloną krzywą oplatającą szarą powierzchnię, zaprezentowaną na Rys. 7. w sekcji „Przeczytaj”. To naturalny kandydat na pierwsze skojarzenie. Jednak należy pamiętać, że rzeczywisty tor jedynie co jakiś czas przechodzi przez kolejne położenia równowagi , ale w żadnym wypadku nie jest tak dla każdej chwili czasu. Co więcej - żadnej tak prostej do opisania i naturalnie wyróżnionej powierzchni tu nie ma. Jednak mamy prawo przypuszczać (i zasugerować to na drodze „eksperymentu numerycznego”), że im mniejsza prędkość skracania nici , tym realny tor jest bliższy wspomnianej powierzchni. Dzieje się tak z uwagi na mniejsze odstępstwa od .

Kolejny przypadek to wahadło sferyczne (nie stożkowe), które skracamy inaczej niż poprzednio, bo niejednostajnie. Rys. 3a. pokazuje zależność ; wybraliśmy funkcję arcus tangens, tj. odwrotną do tangensa. Dobrze modeluje ona sytuację, gdy zaczynamy ciągnąć nić powoli, następnie coraz szybciej, ale pod koniec zwalniamy.

R1e3RplkDql2b
Rys. 3a. Niejednostajne skracanie nici wahadła
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Na Rys. 3b. widać wykres zależności kąta (krzywa czerwona) oraz kąta odpowiadającego równowadze (krzywa zielona). Warto zauważyć, że w miarę wzrostu czasu (a zatem malenia ) oscylacje wyraźnie zwiększają amplitudę i częstotliwość.

REoEmhNFlrndk
Rys. 3b. Zależność kąta wychylenia od pionu oraz kąta równowagowego od czasu dla l(t) przedstawionej na Rys. 3a.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Na Rys. 3c. pokazujemy odpowiednie prędkości kątowe - dla kąta azymutalnego oraz kąta .

R1F3LDI4PI1K2
Rys. 3c. Fragment przedziału czasu z Rys. 3a. i 3b., obie prędkości kątowe dla wahadła. Widać różnice w kształcie minimów i maksimów na zielonej krzywej oraz różnice w stromiznach fioletowej przy przejściu przez wartość 0 - fragmenty rosnące są stromsze od malejących.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.
Algorytm, czyli wstęp do działalności własnej

Schemat 1. przedstawia sposób uzyskiwania wyników, które posłużyły do stworzenia powyższych rysunków i animacji. Zachęcamy do prześledzenia go, konsultacji na lekcjach informatyki i fizyki oraz twórczej modyfikacji, ew. stworzenia sumulacji zachowania innego interesującego układu fizycznego. W szczególności: problemem, którego tu nie poruszyliśmy, a uważamy za ciekawy, jest zbadanie zależności stanu końcowego wahadła po ustaniu zmian jego długości od chwili, kiedy te zmiany ustały, w szczególności od tego, czy w chwili tej wahadło przechodziło przez punkt o zerowej, czy może maksymalnej prędkości kątowej dla kąta .

Zastosowane tu środowisko, języki programowania i zewnętrzne narzędzia nie są w żadnym wypadku wyborem uniwersalnym. Jedną z „wad” wyboru C++ jest nieco trudniejsza obsługa powiązania argumentów wejściowych z rodzajem symulacji, tj. konkretną postacią . Łatwiej jest to zrobić w językach takich jak C# czy Java.

RH7NPRdImZxLo1
Schemat 1. Przykładowe postępowanie prowadzące do rysunków bądź animacji podobnych do zamieszczonych wyżej. Ostatnie trzy zmienne kartezjańskie służą wyłącznie do tworzenia rysunków trójwymiarowych, będących klatkami animacji.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.
Słowniczek
Metoda Rungego‑Kutty
Metoda Rungego‑Kutty

(ang. Runge‑Kutta algorithm) - jedna z zaawansowanych metod do numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych. Dla równań opisujących drgania okazuje się być dużo dokładniejsza od najprostszego schematu polegającego na traktowaniu ruchu w każdym kroku czasowym jako ruchu jednostajnie przyspieszonego.

Metoda bisekcji
Metoda bisekcji

(ang.: binary search algorithm) - tu: sposób rozwiązywania równań metodą kolejnych podziałów na dwie równe części odcinka, o którym wiemy, że zawiera rozwiązanie. Szerzej - sposób przeszukiwania tablic ew. struktur drzewowych w programowaniu.