Warto przeczytać

Zasada zachowania momentu pędu

Przypomnijmy brzmienie zasady zachowania momentu pędu dla pojedynczego ciała, bryły sztywnej lub punktu materialnego, na które działają siły zewnętrzne.

Gdy w izolowanym układzie ciał działają wyłącznie siły wewnętrzne, to moment pędu tego układu jest zachowany.

Moneta w lejku grawitacyjnym

We wspomnianym we Wprowadzeniu lejku grawitacyjnym poruszającym się ciałem jest moneta. Moneta porusza się coraz szybciej w miarę jak schodzi coraz niżej w lejku, zbliżając się do jego osi.

Zastanówmy się, czy taki ruch wynika z zasady zachowania momentu pędu.

Warunki początkowe

W chwili początkowej, w pobliżu obrzeża lejka, monecie nadano prędkość $\vec{v}_0$ skierowaną pod kątem bliskim 90° do promienia wodzącego $\vec{r}$ (Rys. 1.).

R65pVnW7kLxNB

Rys. 1. Dwuczęściowy rysunek przedstawia schematycznie (a) widok z góry na lejek grawitacyjny oraz (b) widok pionowego przekroju przez środek tego samego lejka. Rysunek (a) pokazuje symboliczne zaznaczenie lejka w postaci dwóch współśrodkowych okręgów. Okrąg o dużym promieniu odpowiada górnemu obrzeżu lejka, zaś okrąg o promieniu kilkakrotnie mniejszym symbolizuje wylot z lejka. Ze wspólnego środka tych okręgów wychodzi w lewo strzałka symbolizująca wektor opisany małą literą r. Grot strzałki trafia w szarą elipsę symbolizującą monetę w lejku, położoną blisko jego obrzeża. Na przedłużeniu strzałki poza monetę wychodzi cienka linia przerywana, kończąca się tuż za obrzeżem lejka. Z monety wychodzą dwie strzałki: w górę, z oznaczeniem wielka litera F ze strzałką, z indeksem dolnym mała litera t oraz w dół, z oznaczeniem małe v ze strzałką. Pomiędzy tą ostatnią strzałką a linią przerywaną zaznaczono za pomocą łuku, kąt opisany grecką literą alfa.. Pomiędzy rysunkami (a) i (b) zapisano, że alfa jest kątem pomiędzy wektorami małe r i małe v i oraz że kąt jest w przybliżeniu równy dziewięćdziesiąt stopni. Rysunek (b) pokazuje dwie linie krzywe symbolizujące przekrój powierzchni lejka płaszczyzną rysunku w sytuacji, gdy płaszczyzna ta zawiera oś symetrii obrotowej lejka. Linie te są symetryczne względem płaszczyzny prostopadłej do płaszczyzny rysunku przechodzącej przez oś symetrii. Na rysunku pokazano także dwie linie proste przerywane: jedna pionowa, to oś obrotowej symetrii lejka. Druga, pozioma, łączy przeciwległe punkty górnego obrzeża lejka. Z tych punktów wychodzą opisane wcześniej dwie linie krzywe. Obie zbliżają się do osi symetrii lejka i jednocześnie prowadzą w dół. Nie mają stałej stromizny – jest ona początkowo niewielka, a w miarę zbliżania się do osi lejka stromizna tych linii rośnie. Linie te kończą się w bezpośrednim sąsiedztwie osi symetrii, a ich końce są praktycznie pionowe. Niewielka odległość pomiędzy końcami linii symbolizuje otwór wylotowy z lejka. Od pionowej przerywanej linii (osi symetrii lejka), z punktu leżącego nieco poniżej jej przecięcia z przerywaną linią poziomą, poprowadzona jest w prawo pozioma strzałka symbolizująca wektor małe r. Grot strzałki trafia w środek szarego odcinka, prostopadłego do powierzchni lejka i stykającego się z nim dolnym końcem. Odcinek ten symbolizuje monetę toczącą się w lejku, położoną blisko jego obrzeża. Na środku monety widnieje tzw. kółko z kropką, będące typowym symbolicznym oznaczeniem wektora prostopadłego do powierzchni rysunku i o zwrocie ku patrzącemu na rysunek. Kółko z kropką jest oznaczone symbolem małe v ze strzałką. Na punkcie styku monety z powierzchnią lejka narysowano tzw. kółko z krzyżykiem – typowe symboliczne oznaczenie wektora prostopadłego do powierzchni rysunku i o zwrocie od patrzącego, za rysunek. Kółko z krzyżykiem jest oznaczone symbolem wielkie F ze strzałką, z indeksem dolnym małe t.

W rezultacie moneta potoczyła się. Uzyskała więc własny moment pędu $\vec{L}_w$ w ruchu obrotowym wokół własnej osi (Rys. 2). Uzyskała też orbitalny moment pędu $\vec{L}$ związany z ruchem obiegowym wokół pionowej osi, będącej osią symetrii lejka.

R17RxgkW0TIFI

Rys. 2. Pokazuje dwie linie krzywe symbolizujące przekrój powierzchni lejka płaszczyzną rysunku w sytuacji, gdy płaszczyzna ta zawiera oś symetrii obrotowej lejka. Linie te są symetryczne względem płaszczyzny prostopadłej do płaszczyzny rysunku przechodzącej przez oś symetrii. Na rysunku pokazano także dwie linie proste, przerywane: jedna pionowa, to oś symetrii obrotowej lejka. Druga, pozioma, łączy przeciwległe punkty górnego obrzeża lejka. Z tych punktów wychodzą opisane wcześniej dwie linie krzywe. Obie zbliżają się do osi symetrii lejka i jednocześnie prowadzą w dół. Nie mają stałej stromizny – jest ona początkowo niewielka, a w miarę zbliżania się do osi lejka stromizna tych linii rośnie. Linie te kończą się w bezpośrednim sąsiedztwie osi symetrii, a ich końce są praktycznie pionowe. Niewielka odległość pomiędzy końcami linii symbolizuje otwór wylotowy lejka. Od pionowej przerywanej linii (osi symetrii lejka), z punktu leżącego nieco poniżej jej przecięcia z przerywaną linią poziomą, poprowadzona jest w prawo pozioma strzałka symbolizująca wektor małe r. Grot strzałki trafia w środek ukośnego szarego odcinka, prostopadłego do powierzchni lejka i stykającego się z nim dolnym końcem. Odcinek ten symbolizuje monetę toczącą się w lejku, położoną blisko jego obrzeża. Na środku monety widnieje tzw. kółko z kropką, będące typowym symbolicznym oznaczeniem wektora prostopadłego do powierzchni rysunku i o zwrocie ku patrzącemu na rysunek. Kółko z kropką jest oznaczone symbolem małe v ze strzałką. Ze środka monety wyprowadzona jest w górę pionowa strzałka symbolizująca wektor opisany wielką literą L. Ze środka monety wyprowadzono także strzałkę prostopadłą do monety, celującą w lewo i w dół. Symbolizuje ona wektor wielkie L z indeksem dolnym małe w. W punkcie styku monety z powierzchnią lejka narysowano tzw. kółko z krzyżykiem – typowe symboliczne oznaczenie wektora prostopadłego do powierzchni rysunku i o zwrocie od patrzącego, za rysunek. Kółko z krzyżykiem jest opisane wielką literą F ze strzałką, z indeksem dolnym t. Z punktu styku wyprowadzono strzałkę symbolizującą wektor wielkie F z indeksem dolnym małe r. Strzałka jest prostopadła do płaszczyzny lejka, celuje w lewo i w górę, a pierwsza jej część pokrywa się z szarym odcinkiem symbolizującym monetę. Strzałka jest opisana w pobliżu grotu wielką literą F z indeksem dolnym małe r i symbolem wektora. Z punktu styku wyprowadzono także strzałkę symbolizującą wektor wielkie F z indeksem dolnym g. Strzałka jest skierowana pionowo w dół i opisana w pobliżu grotu wielką literą F z indeksem dolnym małe g i symbolem wektora nad literą.

Moneta uzyskała także energię kinetycznąEnergia kinetycznaenergię kinetyczną, co jest tu istotne. W trakcie wtaczania się do lejka maleje bowiem jej energia potencjalnaEnergia potencjalnaenergia potencjalna - można rzec, że jest to powolne spadanie ku Ziemi. To zaś nie pozostaje bez wpływu na prędkość toczenia się monety.

Przybliżenie punktu materialnego poruszającego się bez tarcia

By uprościć opis ruchu monety, możemy uczynić dwa założenia:
1. Jest ona punktem materialnym. Pomijamy wtedy jej własny moment pędu.
2. Nie działa na nią żadna siła oporu ani siła tarcia.
Wypadkowa sił ciężkości $\vec{F}_g$ oraz reakcji podłoża $\vec{F}_r$ może być skierowana zgodnie z wektorem $\vec{r}$ i przeciwnie do niego zwrócona. Pełniłaby ona rolę siły dośrodkowej. Jej moment byłby równy zeru, więc wspólne działanie sił ciężkości i reakcji podłoża zachowywałoby orbitalny moment pędu $\vec{L}$. Ale w takiej sytuacji punktowa moneta poruszałaby się po okręgu, w poziomej płaszczyźnie, ze stałą prędkością. Nie wtaczałaby się do lejka.

Obecność tarcia zmienia charakter ruchu

R1PldcdS3DEaI1

Rys. 3. Pokazuje widok perspektywiczny, z góry i z boku, na powierzchnię o obrotowej symetrii, symbolizującą lejek zwężający się od góry do dołu. U góry, blisko obrzeża lejka, widoczna jest jego powierzchnia wewnętrzna; jej nachylenie względem poziomu jest niewielkie. Im bliżej środka lejka i osi jego symetrii, tym stromizna jego powierzchni staje się większa, a rozmiar widocznej powierzchni wewnętrznej jest mniejszy. W około połowie wysokości rysunku obrzeże lejka przesłania jego wewnętrzną powierzchnię. Widoczna staje się jego powierzchnia zewnętrzna, oddana kolorem znacznie ciemniejszym niż powierzchnia wewnętrzna. Stromizna lejka jest w jego dolnej części największa; u jego wylotu ściany są niemal pionowe. W punkcie obrzeża leżącym, przy uwzględnieniu perspektywy, najdalej od patrzącego, zaczyna się linia koloru czerwonego, biegnąca po wewnętrznej powierzchni lejka. Linia ta przypomina spiralę – okrąża wielokrotnie powierzchnię, na coraz mniejszej wysokości, systematycznie oddalając się od obrzeża i zbliżając się do osi symetrii lejka. Po sześciu okrążeniach linia zostaje przesłonięta przez obrzeże i kolejne dwanaście okrążeń uwidocznione jest na powierzchni zewnętrznej lejka. Linia kończy się w okolicy wylotu lejka.

Dlaczego więc „punktowa moneta” nie krąży w lejku w opisany wyżej sposób, lecz po torze, którego rzut wzdłuż osi lejka przypomina spiralę (Rys. 3.)? Dlaczego moneta nie wraca w okolice punktu startowego, tylko krąży coraz bliżej osi lejka? Najłatwiejszym do wskazania powodem jest obecność oporów ruchu, w tym siły tarcia tocznego monety o powierzchnię lejka. Siła ta tworzy z wektorem $\vec{r}$ kąt zbliżony do prostego (Rys. 1a.).

Moment siły tarcia zmniejsza wartość orbitalnego momentu pędu $\vec{L}$ - nie jest on w tym ruchu zachowany. Praca siły tarcia obniża całkowitą energię mechaniczną monety. Dlaczego zatem moneta toczy się coraz szybciej? Otóż spadkowi jej energii mechanicznej towarzyszy jeszcze szybszy spadek jej energii potencjalnej. Wynika to ze specyficznego kształtu lejka. W efekcie, choć brzmi to paradoksalnie, rośnie energia kinetyczna, a wraz z nią prędkość monety. Podobny proces zachodzi z orbitalnym momentem pędu. Przyjmijmy, w przybliżeniu, że jego wartość jest dana wyrażeniem

Zmniejszaniu się $r$ towarzyszy tak wolne zmniejszanie się wartości momentu pędu $L$, że - dla spełnienia powyższej równości - wzrasta wartość prędkości $v$. To także związane jest z kształtem lejka.

Podsumowanie

Ruch monety w lejku jest bardzo widowiskowy. Jego opis wymaga uwzględnienia zarówno momentu pędu, jak i energii mechanicznej monety.

Jest prawdą, że gdyby nie nadać monecie początkowego momentu pędu (lub nadać zbyt mały), to wtoczyłaby się ona (niemal) wprost do lejka, bez widowiskowego efektu związanego z wielokrotnym okrążaniem jego osi. Jednak ruchu monety nie można uznać za demonstrację zasady zachowania momentu pędu - jest on raczej ilustracją niezachowania momentu pędu w specyficznych warunkach.

Wahadło stożkowe

Zasadę zachowania momentu pędu dla punktu materialnego bez trudu zademonstrujesz nawet w warunkach domowych. Użyjesz do tego tzw. wahadła stożkowego. Jest to niewielki ciężarek, zawieszony na nici, który trzeba odpowiednio wprawić w ruch obiegowy wokół pionowej osi wyznaczonej przez położenie równowagi wahadła.

Doświadczenie 1

R130YQg2sO4Uw1

Rys. 4. Zdjęcie pokazuje krótką końcówkę kija od szczotki ustawionego poziomo. W końcówce kija znajduje się szlufka – otwór o średnicy około jednego centymetra, typowo służący do zawieszania szczotki. Przez otwór przeciągnięta jest cienka żyłka. Poziomy jej koniec dochodzi od lewego brzegu kadru, po przejściu przez szlufkę przybiera kierunek pionowy. Na końcu żyłki, kilkanaście centymetrów pod szlufką, zaczepiona jest śruba z dwiema nakrętkami.

Przygotuj nić o długości rzędu 2 metrów lub nieco więcej (Rys. 4). Na końcu tej nici zaczep ciężarek. Wykorzystaj np. kij od szczotki ze szlufką na końcu; pomyśl ewentualnie nad innym rozwiązaniem. Umocuj kij poziomo, na przykład na półce, co najmniej 1,5 metra nad podłogą. Wystająca nad podłogę część kija powinna mieć długość co najmniej pół metra. Przewlecz nitkę przez szlufkę, by uzyskać wahadło o długości $l$ około jednego metra. Drugi koniec nitki zamocuj.
Twoim zadaniem będzie skracanie wahadła w trakcie jego ruchu. Możesz ciągnąć sznurek ręką, możesz też zastanowić się nad innym rozwiązaniem.

Wychyl ciężarek z położenia równowagi na odległość $r$ rzędu kilkunastu – dwudziestu centymetrów (Rys. 5).
Odpowiada to kątowi $\alpha$ rzędu dziesięciu stopni przy długości $l$ rzędu jednego metra.

RrRGkqhN3kmxz

Rys. 5. Rysunek przedstawia ciągłą linię biegnącą ukośnie w prawo i w dół. Na dolnym końcu linii widnieje szare kółko o średnicy znacznie mniejszej od długości linii. Obok kółka widnieje oznaczenie w postaci małej litery m. Całość symbolizuje wahadło. Z każdego końca linii wyprowadzona jest w prawo krótka linia przerywana. Końce tych przerywanych linii łączy linia przerywana o tej samej długości, co linia ciągła, równoległa do niej i zakończona z obu stron grotami strzałek. Na prawo od środkowej części długiej linii przerywanej znajduje się jej opis w postaci małej litery l. Przez szare kółko przeprowadzona jest elipsa symbolizująca okrąg widziany w perspektywie. Elipsa ta jest spłaszczona w kierunku góra‑dół. Środek elipsy znajduje się poniżej górnego końca linii ciągłej i jest z nim połączony pionową linią przerywaną zakończoną z obu stron grotami strzałek. Na środku tej linii umieszczona jest mała litera h. Linia ta oraz linia ciągła są połączone, w pobliżu ich styku, łukiem oznaczającym kąt. Kąt ten jest opisano grecką literą alfa. Szare kółko i środek elipsy łączy linia przerywana biegnąca w lewo i nieco w górę, zakończona z obu stron grotami strzałek. Na środku tej linii zapisano małą literę r. Ta ostatnia jest około dwa razy krótsza od przerywanej linii opisanej małą literą h i ponad dwa razy krótsza od linii ciągłej.

Pchnij ciężarek poziomo, prostopadle do kierunku wychylenia i obserwuj jego ruch. Uzyskasz efekt w postaci niejednostajnego ruchu, na zmianę przyspieszonego i opóźnionego. W trakcie ruchu ciężarek nie krąży w jednej płaszczyźnie. Na przemian to wznosi się nieco, to opada – nastawiony na początku kąt odchylenia wahadła od pionu nie jest stały.

Związki pomiędzy wielkościami charakteryzującymi ruch wahadła stożkowego

Wielkości charakterystyczne dla ruchu wahadła stożkowego pokazane są na Rys. 6.

RgfpWJ0LXvwmP

Rys. 6. Rysunek przedstawia ciągłą linię biegnącą ukośnie w prawo i w dół. Na dolnym końcu linii widnieje szare kółko o średnicy znacznie mniejszej od długości linii. Całość symbolizuje wahadło. Z każdego końca linii wyprowadzona jest w prawo krótka linia przerywana. Końce przerywanych linii łączy linia przerywana o tej samej długości, co linia ciągła, równoległa do niej i zakończona z obu stron grotami strzałek. Na prawo od środkowej części długiej linii przerywanej znajduje się jej opis w postaci małej litery l. Przez szare kółko przeprowadzona jest elipsa symbolizująca okrąg widziany w perspektywie. Elipsa jest spłaszczona w kierunku góra‑dół. Środek elipsy znajduje się poniżej górnego końca linii ciągłej i jest z nim połączony pionową linią przerywaną zakończoną z obu stron grotami strzałek. Na środku tej linii umieszczona jest mała litera h. Linia ta oraz linia ciągła są połączone, w pobliżu ich styku, łukiem oznaczającym kąt. Kąt ten jest opisano grecką literą alfa. Szare kółko i środek elipsy łączy linia przerywana biegnąca w lewo i nieco w górę, zakończona z obu stron grotami strzałek. Ta ostatnia linia jest około dwa razy krótsza od przerywanej linii opisanej małą literą h i ponad dwa razy krótsza od linii ciągłej. Z szarego kółka wyprowadzone są cztery strzałki symbolizujące cztery zaczepione tam wektory. Strzałka w kierunku na prawo i do góry jest opisana małą literą v z oznaczeniem wektora nad nią. Strzałka leżąca na linii ciągłej, krótsza od niej o ponad połowę, jest opisana wielką literą F z indeksem dolnym małe n, z symbolem wektora nad F. Strzałka leżąca na linii przerywanej łączącej szare kółko ze środkiem elipsy, krótsza od linii przerywanej o ponad połowę, jest opisana wielką literą F z indeksem dolnym małe d, z symbolem wektora nad F. Strzałka w kierunku pionowo w dół jest opisana wielką literą F z indeksem dolnym małe g, z symbolem wektora nad F. Jest ona nieco krótsza od strzałki wielkie F z indeksem dolnym małe n. Grot strzałki wielkie F z indeksem dolnym małe d jest połączony przerywaną linią pionową z grotem strzałki wielkie F z indeksem dolnym małe n oraz przerywaną linią równoległą do linii ciągłej z grotem strzałki wielkie F z indeksem dolnym małe g.

Zauważ, że siły ciężkości $\vec{F}_g$ oraz naprężenia nici $\vec{F}_n$ sumują się do siły dośrodkowej $\vec{F}_d$, zapewniającej ruch ciężarka po okręgu w poziomej płaszczyźnie.

Przeanalizuj sześć poniższych wyrażeń, które łączą poszczególne wielkości. Zapoznaj się z filmem samouczkiem w e‑materiale „Ruch jednostajny po okręgu w zadaniach”. Znajdziesz tam wyprowadzenie większości tych wyrażeń. Czy podany w filmie związek prędkości z długością wahadła i kątem jego wychylenia jest taki sam, jaki widzisz w równości (5)?

Przy ustalonej długości $l$ wahadła oraz kącie wychylenia $\alpha$ tylko jedna prędkość ciężarka $v$ zapewnia uzyskanie wahadła stożkowego:

Powyższe związki, przy znanej masie wahadła, pozwalają wyznaczyć jego moment pędu.

Doświadczenie 2

Wpraw ciężarek w ruch po okręgu w poziomej płaszczyźnie. Wykorzystaj tę część nici, która jest przewleczona przez szlufkę i bardzo powoli skracaj długość wahadła. Obserwuj jednocześnie zachowanie ciężarka. W pierwszej fazie skracania możesz niczego szczególnego nie zauważyć, poza oczywistym zmniejszaniem się odległości $h$.

Ważne!

Skracanie wahadła związane jest z oddziaływaniem przez Ciebie na ciężarek. Ręką, za pośrednictwem nici, działasz na niego siłą $\vec{F}_r$ o nieco większej wartości niż $F_n$. Ten nadmiar siły jest niezbędny, by w ogóle rozpocząć proces skracania wahadła. Z drugiej jednak strony ten sam nadmiar siły powoduje wytrącenie ciężarka z kołowego toru w poziomej płaszczyźnie. Zaobserwuj to, wykonując kilka prób, w których mniej lub bardziej gwałtownie szarpniesz za nitkę. Moment pędu ciężarka zmienia wtedy kierunek i wartość. Jego pionowa składowa zachowuje wprawdzie stałą wartość, ale wynik doświadczenia jest kompletnie nieczytelny.

Im wolniej natomiast skracasz nić, tym tor ciężarka bardziej przypomina monotoniczne jego wspinanie się po linii przywodzącej na myśl rozciągniętą w pionie spiralę (Rys. 7.). Przebieg takiej linii zależy od ustawionych warunków początkowych oraz od sposobu skracania nici. Te informacje są wejściowymi parametrami komputerowego programu, w którym zapisany jest matematyczny model zachowania się skracanego wahadła.

RHQN0WkoJotZs

Rys. 7. Rysunek przedstawia ciągłą linię biegnącą ukośnie w prawo i w dół. Na dolnym końcu linii widnieje czarne kółko o średnicy znacznie mniejszej od długości linii. Całość symbolizuje wahadło. Na prawo od środkowej części długiej linii przerywanej znajduje się jej opis w postaci małej litery l. W górny koniec linii celuje strzałka, przychodząca z prawej strony i nieco z góry. U początku strzałki jest opis górnego końca linii w postaci wielkiej litery O. Przez górny koniec linii prowadzi linia pionowa. Powyżej punktu wielkie O jest ona ciągła, poniżej przerywana, zaś w dolnej części rysunku ponownie staje się ciągła. Przez czarne kółko przeprowadzona jest elipsa symbolizująca okrąg widziany w perspektywie. Elipsa ta jest spłaszczona w kierunku góra‑dół i przechodzi przez punkt, w którym pionowa linia z przerywanej przechodzi w ciągłą. Wnętrze elipsy jest wypełnione kolorem jasnoszarym. Środek elipsy znajduje się na pionowej linii przerywanej i jest połączony z czarnym kółkiem ukośną przerywaną linią biegnącą w prawo i nieco w dół. Nad środkiem tej linii umieszczona jest mała litera r. Linia ta oraz pionowa linia przerywana są połączone, w pobliżu ich styku, łukiem oznaczającym kąt. Wewnątrz łuku postawiono kropkę oznaczającą, że kąt jest prosty. Z czarnego kółka wyprowadzono strzałkę w kierunku na prawo i do góry; opisano ją małą literą v z symbolem wektora ponad v. Pod kółkiem umieszczono opis małe t równa się zero. W czarnym kółku zaczyna się czerwona linia. Biegnie ona początkowo w prawo i w górę, zgodnie z wektorem małe v, ale zakręca w lewo i podąża, choć niedokładnie, za elipsą. W miarę jej okrążania linia czerwona unosi się nieco ponad elipsę i nieco zbliża się do jej brzegu. Po jednym okrążeniu linia czerwona przecina linię ciągłą w punkcie leżącym na lewo i w górę od czarnego kółka, w odległości w przybliżeniu równej średnicy tego kółka. Linia czerwona wykonuje kilkadziesiąt takich okrążeń, biegnąc coraz wyżej ponad elipsą i coraz bliżej pionowej linii przerywanej. Cztery spośród tych przebiegów zostały oznaczone czerwonymi strzałkami celującymi w prawo, umieszczonymi w pobliżu linii pionowej. Odległości pomiędzy kolejnymi punktami przecięcia linii czerwonej z linią ciągłą symbolizującą wahadło powoli maleją, aż stają się porównywalne z grubością linii. W pobliżu punktu wielkie O rozróżnienie poszczególnych obiegów linii czerwonej staje się niemożliwe. Kolejne obiegi zlewają się tworząc eliptyczny obszar wypełniony na czerwono, którego środkiem jest punkt wielkie O. Przebieg czerwonej linii wyznacza powierzchnię w kształcie przypominającym kopułę. Jej dolnym brzegiem jest jasnoszara elipsa, zaś jej punktem najwyższym jest punkt wielkie O. Obszar rysunku ograniczony kopułą, ale leżący poza jasnoszarą elipsą, jest wypełniony kolorem ciemnoszarym.

Idealne skracanie polegałoby na tym, by przez możliwie krótki czas użyć siły o minimalnej wartości $F_r$, niezbędnej do wprawienia nici w ruch postępowy z możliwie małą prędkością, po czym tak regulować wartość tej siły, by utrzymać ten powolny, jednostajny ruch nici.

Trzeba wreszcie pamiętać, że skracanie długości wahadła powoduje, że przestaje ono krążyć po powierzchni sfery. Mimo tego oczywistego faktu, będziemy w dalszym ciągu dla badanego układu używać określenia wahadło stożkowe.

Wykaż się więc cierpliwością i utrzymaj możliwie powolne tempo skracania długości wahadła. Zauważysz niebawem, że wzrasta przy tym kąt $\alpha$, ale maleje odległość $r$ ciężarka od osi obrotu. Wzrasta także prędkość $v$ ciężarka. Skąd ten efekt i co może oznaczać?

Podsumowanie

Malenie $r$ i wzrost $v$ może wynikać ze stałości momentu pędu ciężarka w trakcie skracania nici. $L = \text{const}$ jest spełnione tym dokładniej, im mniejszą rolę odgrywają opory ruchu i im wolniej skracasz nić.

Wiemy, że

gdzie $\gamma$ jest kątem pomiędzy $\vec{r}$ a $\vec{v}$. Dla idealnego wahadła stożkowego, nim rozpoczniesz skracanie nici, $\gamma = 90^\circ$. Im wolniej skracasz nić, tym mniejsze powodujesz odstępstwa $\gamma$ od kąta prostego. Przyjmując przybliżenie $\gamma \approx 90^\circ$, dochodzimy do wniosku, że iloczyn promienia obiegu i prędkości obiegu ma stałą wartość, równą ilorazowi momentu pędu przez masę ciężarka. Potwierdza to zależność pokazana na Rys. 8a., uzyskana teoretycznie - na drodze symulacji numerycznej. Ponieważ promień obiegu maleje w miarę skracania nici (Rys. 8b.), to prędkość obiegu rośnie (Rys. 8c.).

Strzałki przy wykresach przypominają o tym, że długość wahadła $l$ maleje wraz z upływem czasu.

Dla zainteresowanych

Przemiany energii podczas skracania wahadła stożkowego

Jak już wspomnieliśmy, rozważając ruch wahadła stożkowego, pomijamy opory ruchu, w tym opór powietrza. Jest to warunek niezbędny, by uznać jego moment pędu za stały. Trzeba jednak pamiętać, że sama zasada zachowania momentu pędu objaśnia jedynie charakter współzmienności wartości $r$ oraz $v$. W opisanym doświadczeniu są to wielkości odwrotnie proporcjonalne - ich iloczyn jest stały.
Dlaczego jednak w ogóle dochodzi do zmiany tych i innych wielkości?

Bardziej kompleksowy opis zmienności wszystkich wielkości charakteryzujących ruch wahadła stożkowego musi uwzględniać zmianę energii mechanicznej wahadła, związaną z pracą wykonaną przez siłę $\vec{F}_r$ działającą na wahadło. Skutkiem tej pracy jest wzrost jego energii mechanicznej (Rys. 9., punkty czerwone). Rośnie przy tym energia potencjalna grawitacji (punkty niebieskie), gdyż wirujący ciężarek się wznosi. Rośnie także jego energia kinetyczna (punkty zielone), bowiem rośnie prędkość $v$.

Rk2hzsncRj348

Rys. 9. Na osi odciętych wykresu odłożono długość małe l. Oś jest wyskalowana od zera do jednego metra. Znaczniki co dwie dziesiąte metra są opisane; krótsze znaczniki, co dwie setne metra, nie są opisane. Na osi rzędnych odłożono wartość wielkie E. Oś jest wyskalowana od minus pięćdziesięciu setnych dżula do plus dwudziestu setnych dżula. Znaczniki co dziesięć setnych dżula są opisane; krótsze znaczniki, co dwie setne dżula, nie są opisane. Środkową część wykresu zajmuje legenda. Zielona kropka opisana jest wielką literą E z indeksem dolnym małe k. Poniżej niebieska kropka opisana jest wielką literą E z indeksem dolnym małe p i niżej czerwona kropka opisana jest wielką literą E z indeksem dolnym małe k plus wielkie E z indeksem dolnym małe p. Wykres zależności przedstawiony w postaci zbioru zielonych kropek ułożonych na linii krzywej znajduje się najwyżej. Prawa dolna kropka zielona leży na końcu osi odciętych, przy wartości wielkie E z indeksem dolnym małe k nieco większej niż zero. Lewa górna kropka zielona odpowiada małe l równemu pięć setnych metra i wartości wielkie E z indeksem dolnym małe k równej około dwunastu setnym dżula. Wartość wielkie E z indeksem dolnym małe k nie zmienia się jednostajnie – w miarę kiedy maleje l, wielkie E z indeksem dolnym małe k początkowo się praktycznie nie zmienia, ale następnie wzrasta coraz szybciej. Wykres zależności przedstawiony w postaci zbioru niebieskich kropek ułożonych na linii krzywej znajduje się najniżej. Prawa dolna kropka niebieska leży na końcu osi odciętych, przy wartości wielkie E z indeksem dolnym małe p nieco mniejszej niż minus czterdzieści osiem setnych dżula. Lewa górna kropka niebieska odpowiada małe l równemu pięć setnych metra i wartości wielkie E z indeksem dolnym małe p równej około minus czterem setnym dżula. Wartość wielkie E z indeksem dolnym małe p nie zmienia się jednostajnie – w miarę, kiedy maleje l, wielkie E z indeksem dolnym małe p wzrasta coraz szybciej. Wykres zależności przedstawiony w postaci zbioru czerwonych kropek ułożonych na linii krzywej znajduje się nieco powyżej wykresu niebieskiego. Prawa dolna kropka czerwona leży na końcu osi odciętych, przy wartości suma wielkie E z indeksem dolnym małe k i wielkie E z indeksem dolnym małe p nieco większej niż minus czterdzieści osiem setnych dżula. Lewa górna kropka czerwona odpowiada małe l równemu pięć setnych metra i wartości suma wielkie E z indeksem dolnym małe k i wielkie E z indeksem dolnym małe p równej około plus siedmiu setnym dżula. W obszarze małych wartości małe l wykres czerwony zbliża się od dołu do wykresu zielonego. Wartość suma wielkie E z indeksem dolnym małe k i wielkie E z indeksem dolnym małe p nie zmienia się jednostajnie – w miarę, kiedy maleje l, suma wielkie E z indeksem dolnym małe k i wielkie E z indeksem dolnym małe p wzrasta coraz szybciej. Niezależnie od tego, kropki wszystkich trzech wykresów ułożone są coraz gęściej w miarę, kiedy maleje wartość l. Na wysokości legendy wykresu, blisko jego prawego brzegu, narysowano poziomą strzałkę celującą w lewo.

Jako ciekawostkę możemy wskazać, że wzrost tych form energii nie jest jednostajny. Widać także, że energia kinetyczna dość długo pozostaje praktycznie stała, podczas gdy dominuje wzrost energii potencjalnej. Podobnie - jeśli się dobrze przyjrzeć - przy małych długościach wahadła (rzędu kilkunastu cm), a więc kątach $\alpha$ zbliżających się do $90^\circ$ (por. Rys. 8d.) widać, że tempo wzrostu energii potencjalnej zaczyna maleć. Za wzrost całkowitej energii odpowiada wtedy wzrost energii kinetycznej.

Słowniczek

Siła centralna

Siła centralna

(ang: central force) - każdą z sił wzajemnego oddziaływania dwóch punktowych ciał A i B nazywamy centralną, jeśli siły te mają kierunek zgodny z prostą przechodzącą przez te ciała, jak na rysunku poniżej.

RgfTPuKTHjSYz

Rysunek przedstawia schematycznie działanie siły centralnej, którą ciało A oddziałuje na ciało B. Kierunek siły centralnej jest zawsze wyznaczony przez linię łączącą oba ciała. Zwrot natomiast zależy od charakteru samej siły - może być ona (a) przyciągająca lub (b) odpychająca. W pierwszym przypadku wektor siły wskazuje w kierunku ciała A, natomiast w drugim przypadku - w kierunku przeciwnym.

Jeśli siła działająca na ciało B jest zwrócona ku ciału A - przypadek (a) - to mówimy o przyciąganiu centralnym, jeśli od ciała A - przypadek (b) - o odpychaniu centralnym. W pierwszym przypadku punkt A nazywamy centrum przyciągania punktu B.

Przykładem siły centralnej przyciągającej jest siła grawitacji. Siła elektrostatyczna pomiędzy dwoma ładunkami także jest centralna: przyciągająca, gdy są one różnoimienne, odpychająca, gdy jednoimienne.

Siła centralna zachowuje moment pędu układu oddziałujących ciał. Wartość bowiem momentu $\vec{M}$ siły centralnej, zarówno odpychającej jak i przyciągającej, jest zawsze równa zero:

$M = |\vec{r} \times \vec{F} | = rF\sin\alpha = 0\ ,$

gdzie $\alpha$ to kąt między siłą centralną $\vec{F}$ a wektorem $\vec{r}$, będącym ramieniem jej działania. Kąt ten jest równy zeru dla siły odpychającej, a $180^\circ$ dla siły przyciągającej, zatem jego sinus wynosi zero.