Przeczytaj
Warto przeczytać
Zasada zachowania momentu pędu
Przypomnijmy brzmienie zasady zachowania momentu pędu dla pojedynczego ciała, bryły sztywnej lub punktu materialnego, na które działają siły zewnętrzne.
Moment pędu ciała pozostaje stały, gdy moment siły wypadkowej działającej na to ciało jest zerowy. Rozpatrując ruch ciała, do którego nie jest przyłożony zewnętrzny moment siły, wiemy, że w każdej chwili jego moment pędu ma stały kierunek oraz stałą wartość, tj. .
Gdy w izolowanym układzie ciał działają wyłącznie siły wewnętrzne, to moment pędu tego układu jest zachowany.
Moneta w lejku grawitacyjnym
We wspomnianym we Wprowadzeniu lejku grawitacyjnym poruszającym się ciałem jest moneta. Moneta porusza się coraz szybciej w miarę jak schodzi coraz niżej w lejku, zbliżając się do jego osi.
Zastanówmy się, czy taki ruch wynika z zasady zachowania momentu pędu.
Warunki początkowe
W chwili początkowej, w pobliżu obrzeża lejka, monecie nadano prędkość skierowaną pod kątem bliskim 90° do promienia wodzącego (Rys. 1.).
W rezultacie moneta potoczyła się. Uzyskała więc własny moment pędu w ruchu obrotowym wokół własnej osi (Rys. 2). Uzyskała też orbitalny moment pędu związany z ruchem obiegowym wokół pionowej osi, będącej osią symetrii lejka.
Moneta uzyskała także energię kinetycznąenergię kinetyczną, co jest tu istotne. W trakcie wtaczania się do lejka maleje bowiem jej energia potencjalnaenergia potencjalna - można rzec, że jest to powolne spadanie ku Ziemi. To zaś nie pozostaje bez wpływu na prędkość toczenia się monety.
Przybliżenie punktu materialnego poruszającego się bez tarcia
By uprościć opis ruchu monety, możemy uczynić dwa założenia:
1. Jest ona punktem materialnym. Pomijamy wtedy jej własny moment pędu.
2. Nie działa na nią żadna siła oporu ani siła tarcia.
Wypadkowa sił ciężkości oraz reakcji podłoża może być skierowana zgodnie z wektorem i przeciwnie do niego zwrócona. Pełniłaby ona rolę siły dośrodkowej. Jej moment byłby równy zeru, więc wspólne działanie sił ciężkości i reakcji podłoża zachowywałoby orbitalny moment pędu . Ale w takiej sytuacji punktowa moneta poruszałaby się po okręgu, w poziomej płaszczyźnie, ze stałą prędkością. Nie wtaczałaby się do lejka.
Uzyskanie opisanej tu sytuacji jest mało prawdopodobne. Wymagałoby to nadania początkowej prędkości skierowanej idealnie poziomo, o wartości specyficznie dobranej do kształtu i rozmiarów lejka.
Niewielkie odstępstwo od tych wyidealizowanych warunków spowodowałoby, że moneta poruszałaby się po znacznie bardziej skomplikowanym torze. Nie leżałby on w żadnej płaszczyźnie, lecz przebiegałby w ustalonym przez warunki początkowe zakresie wysokości. Siłą rzeczy, odległość monety od od osi symetrii lejka byłaby zmienna. Moment pędu monety miałby zmienny kierunek, choć jego rzut na oś symetrii lejka miałby stałą wartość.
Podobne zasady obowiązują w astronomii. Ziemia (a także inne planety) obiega Słońce po orbicie eliptycznej pod wpływem siły grawitacji. Jest ona siłą centralnąsiłą centralną, więc orbitalny moment pędu Ziemi jest stały. Ze względu jednak na zmienną odległość od Słońca, zmienna jest także prędkość Ziemi: tam, gdzie odległość jest duża, prędkość jest mała i odwrotnie.
Mimo słonecznego przyciągania, Ziemia krąży po zamkniętym torze i nie spada na Słońce.
Nie zaobserwowalibyśmy więc wpadania monety do lejka. Z kolei poważne odstępstwo od tych warunków, na przykład nadanie zdecydowanie zbyt małej prędkości początkowej lub skierowanie jej ku osi lejka, mogłoby spowodować wtoczenie się monety do lejka zanim wykonałaby ona pełny obieg wokół jego osi.
Obecność tarcia zmienia charakter ruchu
Dlaczego więc „punktowa moneta” nie krąży w lejku w opisany wyżej sposób, lecz po torze, którego rzut wzdłuż osi lejka przypomina spiralę (Rys. 3.)? Dlaczego moneta nie wraca w okolice punktu startowego, tylko krąży coraz bliżej osi lejka? Najłatwiejszym do wskazania powodem jest obecność oporów ruchu, w tym siły tarcia tocznego monety o powierzchnię lejka. Siła ta tworzy z wektorem kąt zbliżony do prostego (Rys. 1a.).
Moment siły tarcia zmniejsza wartość orbitalnego momentu pędu - nie jest on w tym ruchu zachowany. Praca siły tarcia obniża całkowitą energię mechaniczną monety. Dlaczego zatem moneta toczy się coraz szybciej? Otóż spadkowi jej energii mechanicznej towarzyszy jeszcze szybszy spadek jej energii potencjalnej. Wynika to ze specyficznego kształtu lejka. W efekcie, choć brzmi to paradoksalnie, rośnie energia kinetyczna, a wraz z nią prędkość monety. Podobny proces zachodzi z orbitalnym momentem pędu. Przyjmijmy, w przybliżeniu, że jego wartość jest dana wyrażeniem
Zmniejszaniu się towarzyszy tak wolne zmniejszanie się wartości momentu pędu , że - dla spełnienia powyższej równości - wzrasta wartość prędkości . To także związane jest z kształtem lejka.
Podsumowanie
Ruch monety w lejku jest bardzo widowiskowy. Jego opis wymaga uwzględnienia zarówno momentu pędu, jak i energii mechanicznej monety.
Jest prawdą, że gdyby nie nadać monecie początkowego momentu pędu (lub nadać zbyt mały), to wtoczyłaby się ona (niemal) wprost do lejka, bez widowiskowego efektu związanego z wielokrotnym okrążaniem jego osi. Jednak ruchu monety nie można uznać za demonstrację zasady zachowania momentu pędu - jest on raczej ilustracją niezachowania momentu pędu w specyficznych warunkach.
Wahadło stożkowe
Zasadę zachowania momentu pędu dla punktu materialnego bez trudu zademonstrujesz nawet w warunkach domowych. Użyjesz do tego tzw. wahadła stożkowego. Jest to niewielki ciężarek, zawieszony na nici, który trzeba odpowiednio wprawić w ruch obiegowy wokół pionowej osi wyznaczonej przez położenie równowagi wahadła.
Doświadczenie 1
Przygotuj nić o długości rzędu 2 metrów lub nieco więcej (Rys. 4). Na końcu tej nici zaczep ciężarek. Wykorzystaj np. kij od szczotki ze szlufką na końcu; pomyśl ewentualnie nad innym rozwiązaniem. Umocuj kij poziomo, na przykład na półce, co najmniej 1,5 metra nad podłogą. Wystająca nad podłogę część kija powinna mieć długość co najmniej pół metra. Przewlecz nitkę przez szlufkę, by uzyskać wahadło o długości około jednego metra. Drugi koniec nitki zamocuj.
Twoim zadaniem będzie skracanie wahadła w trakcie jego ruchu. Możesz ciągnąć sznurek ręką, możesz też zastanowić się nad innym rozwiązaniem.
Wychyl ciężarek z położenia równowagi na odległość rzędu kilkunastu – dwudziestu centymetrów (Rys. 5).
Odpowiada to kątowi rzędu dziesięciu stopni przy długości rzędu jednego metra.
Pchnij ciężarek poziomo, prostopadle do kierunku wychylenia i obserwuj jego ruch. Uzyskasz efekt w postaci niejednostajnego ruchu, na zmianę przyspieszonego i opóźnionego. W trakcie ruchu ciężarek nie krąży w jednej płaszczyźnie. Na przemian to wznosi się nieco, to opada – nastawiony na początku kąt odchylenia wahadła od pionu nie jest stały.
Taki układ nazywamy wahadłem sferycznym. Ciężarek krąży po sferze (powierzchni kuli), której środek leży w punkcie zaczepienia nici, na końcu kija. Natomiast wahadło stożkowe to specyficzny przypadek wahadła sferycznego. Ciężarek krąży wtedy po okręgu w poziomej płaszczyźnie. Jeśli wyobrazisz sobie powierzchnię Ziemi, to powiesz, że ciężarek krąży po jednym równoleżniku południowej półkuli. Nić wahadła zakreśla powierzchnię boczną stożka – stąd nazwa „wahadło stożkowe”.
Nie jest łatwo uzyskać jednostajny ruch ciężarka po okręgu, w poziomej płaszczyźnie. Po kilku próbach nauczysz się intuicyjnie dobierać wartość początkowej prędkości , by w rozsądnym przybliżeniu uzyskiwać taki właśnie ruch.
Związki pomiędzy wielkościami charakteryzującymi ruch wahadła stożkowego
Wielkości charakterystyczne dla ruchu wahadła stożkowego pokazane są na Rys. 6.
Pominięcie oporów ruchu
Prócz sił pokazanych na Rys. 6. na wahadło stożkowe działają także siły oporu ruchu, przede wszystkim siła oporu powietrza. Jednak obecność oporów ruchu możemy pominąć w warunkach prowadzonego doświadczenia. Dlaczego, skoro nie pominęliśmy siły tarcia tocznego działającej na monetę w lejku grawitacyjnym?
Wpływ tarcia tocznego na ruch monety, w tym na jej moment pędu, jest w tym eksperymencie zauważalny. Obecność tej bowiem siły determinuje charakter obserwowanego ruchu monety. Wpadnięcie monety do lejka następuje po kilku, maksymalnie kilkunastu obiegach. Można rzec, że wpływ siły tarcia na ruch monety w lejku objawia się w czasie porównywalnym do czasu trwania jednego obiegu, czyli w czasie krótszym od czasu trwania obserwacji.
Siła oporu powietrza spowalnia również wahadło stożkowe. Jednak efekt ten jest znacznie powolniejszy niż w przypadku monety. Nawet baczny obserwator nie dopatrzy się zmalenia kąta czy wartości prędkości w skali jednego obiegu. Trudno nawet się dopatrzyć takich zmian w skali całej przeprowadzanej obserwacji. Te właśnie efekty uzasadniają pominięcie oporów ruchu w przypadku wahadła stożkowego.
Zauważ, że siły ciężkości oraz naprężenia nici sumują się do siły dośrodkowej , zapewniającej ruch ciężarka po okręgu w poziomej płaszczyźnie.
Przeanalizuj sześć poniższych wyrażeń, które łączą poszczególne wielkości. Zapoznaj się z filmem samouczkiem w e‑materiale „Ruch jednostajny po okręgu w zadaniach”. Znajdziesz tam wyprowadzenie większości tych wyrażeń. Czy podany w filmie związek prędkości z długością wahadła i kątem jego wychylenia jest taki sam, jaki widzisz w równości (5)?
Przy ustalonej długości wahadła oraz kącie wychylenia tylko jedna prędkość ciężarka zapewnia uzyskanie wahadła stożkowego:
Powyższe związki, przy znanej masie wahadła, pozwalają wyznaczyć jego moment pędu.
Doświadczenie 2
Wpraw ciężarek w ruch po okręgu w poziomej płaszczyźnie. Wykorzystaj tę część nici, która jest przewleczona przez szlufkę i bardzo powoli skracaj długość wahadła. Obserwuj jednocześnie zachowanie ciężarka. W pierwszej fazie skracania możesz niczego szczególnego nie zauważyć, poza oczywistym zmniejszaniem się odległości .
Skracanie wahadła związane jest z oddziaływaniem przez Ciebie na ciężarek. Ręką, za pośrednictwem nici, działasz na niego siłą o nieco większej wartości niż . Ten nadmiar siły jest niezbędny, by w ogóle rozpocząć proces skracania wahadła. Z drugiej jednak strony ten sam nadmiar siły powoduje wytrącenie ciężarka z kołowego toru w poziomej płaszczyźnie. Zaobserwuj to, wykonując kilka prób, w których mniej lub bardziej gwałtownie szarpniesz za nitkę. Moment pędu ciężarka zmienia wtedy kierunek i wartość. Jego pionowa składowa zachowuje wprawdzie stałą wartość, ale wynik doświadczenia jest kompletnie nieczytelny.
Im wolniej natomiast skracasz nić, tym tor ciężarka bardziej przypomina monotoniczne jego wspinanie się po linii przywodzącej na myśl rozciągniętą w pionie spiralę (Rys. 7.). Przebieg takiej linii zależy od ustawionych warunków początkowych oraz od sposobu skracania nici. Te informacje są wejściowymi parametrami komputerowego programu, w którym zapisany jest matematyczny model zachowania się skracanego wahadła.
Idealne skracanie polegałoby na tym, by przez możliwie krótki czas użyć siły o minimalnej wartości , niezbędnej do wprawienia nici w ruch postępowy z możliwie małą prędkością, po czym tak regulować wartość tej siły, by utrzymać ten powolny, jednostajny ruch nici.
Trzeba wreszcie pamiętać, że skracanie długości wahadła powoduje, że przestaje ono krążyć po powierzchni sfery. Mimo tego oczywistego faktu, będziemy w dalszym ciągu dla badanego układu używać określenia wahadło stożkowe.
Wykaż się więc cierpliwością i utrzymaj możliwie powolne tempo skracania długości wahadła. Zauważysz niebawem, że wzrasta przy tym kąt , ale maleje odległość ciężarka od osi obrotu. Wzrasta także prędkość ciężarka. Skąd ten efekt i co może oznaczać?
Podsumowanie
Malenie i wzrost może wynikać ze stałości momentu pędu ciężarka w trakcie skracania nici. jest spełnione tym dokładniej, im mniejszą rolę odgrywają opory ruchu i im wolniej skracasz nić.
Wiemy, że
gdzie jest kątem pomiędzy a . Dla idealnego wahadła stożkowego, nim rozpoczniesz skracanie nici, . Im wolniej skracasz nić, tym mniejsze powodujesz odstępstwa od kąta prostego. Przyjmując przybliżenie , dochodzimy do wniosku, że iloczyn promienia obiegu i prędkości obiegu ma stałą wartość, równą ilorazowi momentu pędu przez masę ciężarka. Potwierdza to zależność pokazana na Rys. 8a., uzyskana teoretycznie - na drodze symulacji numerycznej. Ponieważ promień obiegu maleje w miarę skracania nici (Rys. 8b.), to prędkość obiegu rośnie (Rys. 8c.).
Opis Rys. 8.:
Rys. 8a. Na osi odciętych wykresu odłożono długość małe l. Oś jest wyskalowana od zera do jednego metra. Znaczniki co dwie dziesiąte metra są opisane; krótsze znaczniki, co dwie setne metra, nie są opisane. Na osi rzędnych odłożono wartość iloczynu małe r razy małe v. Oś jest wyskalowana od dziewięciu setnych do jednej dziesiątej metra kwadratowego na sekundę. Znaczniki co dwie tysięczne metra kwadratowego na sekundę są opisane; krótsze znaczniki, co cztery dziesięciotysięczne metra kwadratowego na sekundę, nie są opisane. Wykres zależności przedstawiony jest w postaci zbioru kropek ułożonych poziomo, począwszy od małe l równego pięć setnych metra do prawego brzegu wykresu. W miarę, kiedy maleje wartość l kropki ułożone są coraz gęściej. Kropki leżą na wysokości odpowiadającej wartości rzędnej dziewięćset pięćdziesiąt dwie dziesięciotysięczne metra kwadratowego na sekundę. Nad kropkami, blisko prawego brzegu wykresu, narysowana jest pozioma strzałka celująca w lewo.
Rys. 8b. Na osi odciętych wykresu odłożono długość małe l. Oś jest wyskalowana od zera do jednego metra. Znaczniki co dwie dziesiąte metra są opisane; krótsze znaczniki, co dwie setne metra, nie są opisane. Na osi rzędnych odłożono wartość małe r. Oś jest wyskalowana od zera do dwóch dziesiątych metra. Znaczniki co pięć setnych metra są opisane; krótsze znaczniki, co jedną setną metra, nie są opisane. Wykres zależności przedstawiony jest w postaci zbioru kropek ułożonych na linii krzywej. Prawa górna kropka leży na końcu osi odciętych, przy wartości małe r około siedemnaście setnych metra. Lewa dolna kropka odpowiada małe l równemu pięć setnych metra i małe r równemu niecałe pięć setnych metra. Wartość małe r nie zmienia się jednostajnie – w miarę, kiedy maleje l, r maleje coraz szybciej. Niezależnie od tego, kropki ułożone są coraz gęściej w miarę, kiedy maleje wartość l. Nad linią kropek, blisko prawego brzegu wykresu, narysowana jest ukośna strzałka celująca w lewo i nieco w dół.
Rys. 8c. Na osi odciętych wykresu odłożono długość małe l. Oś jest wyskalowana od zera do jednego metra. Znaczniki co dwie dziesiąte metra są opisane; krótsze znaczniki, co dwie setne metra, nie są opisane. Na osi rzędnych odłożono wartość małe v. Oś jest wyskalowana od zera do dwóch i pół metra na sekundę. Znaczniki co pięć dziesiątych metra na sekundę są opisane; krótsze znaczniki, co jedną dziesiątą metra na sekundę, nie są opisane. Wykres zależności przedstawiony jest w postaci zbioru kropek ułożonych na linii krzywej. Prawa dolna kropka leży na końcu osi odciętych, przy wartości małe v około pięćdziesięciu pięciu setnych metra na sekundę. Lewa górna kropka odpowiada małe l równemu pięć setnych metra i małe v równemu nieco ponad dwóm i jednej dziesiątej metra na sekundę. Wartość małe v nie zmienia się jednostajnie – w miarę, kiedy maleje l, v wzrasta coraz szybciej. Niezależnie od tego, kropki ułożone są coraz gęściej w miarę, kiedy maleje wartość l. Pod linią kropek, blisko prawego brzegu wykresu, narysowana jest ukośna strzałka celująca w lewo i nieco w górę.
Rys. 8d. Na osi odciętych wykresu odłożono długość małe l. Oś jest wyskalowana od zera do jednego metra. Znaczniki co dwie dziesiąte metra są opisane; krótsze znaczniki, co dwie setne metra, nie są opisane. Na osi rzędnych odłożono wartość kąta alfa. Oś jest wyskalowana od zera do dziewięćdziesięciu stopni. Znaczniki co dziesięć stopni są opisane; krótsze znaczniki, co dwa stopnie, nie są opisane. Wykres zależności przedstawiony jest w postaci zbioru kropek ułożonych na linii krzywej. Prawa dolna kropka leży na końcu osi odciętych, przy wartości alfa około dziesięciu stopni. Lewa górna kropka odpowiada małe l równemu pięć setnych metra i alfa równemu około osiemdziesięciu pięciu stopniom. Wartość alfa nie zmienia się jednostajnie – w miarę, kiedy maleje l, alfa wzrasta coraz szybciej. Niezależnie od tego, kropki ułożone są coraz gęściej w miarę, kiedy maleje wartość l. Nad linią kropek, blisko prawego brzegu wykresu, narysowana jest ukośna strzałka celująca w lewo i nieco w górę.
Strzałki przy wykresach przypominają o tym, że długość wahadła maleje wraz z upływem czasu.
Zasada zachowania momentu pędu nie wyjaśnia bezpośrednio wzrostu kąta w miarę skracania wahadła (Rys. 8d.). Trzeba zauważyć, że rosnąca prędkość i malejący promień obiegu wymuszają wzrost wartości siły dośrodkowej:
Z kolei związek (3) pomiędzy siłą dośrodkową a siłą ciężkości pokazuje, że przy ustalonej wartości tylko wzrost kąta zapewnia wzrost wartości .
Wróć na chwilę do Rys. 7. Szara powierzchnia, na której narysowano tor wahadła sferycznego o malejącej długości, to zbiór wszystkich możliwych położeń tego wahadła przy ustalonej wartości orbitalnego momentu pędu, początkowym kącie wychylenia i energii całkowitej. Przecinając tę powierzchnię płaszczyzną przechodzącą przez oś symetrii obrotowej, uzyskamy pewną krzywą o symetrii zwierciadlanej. Przecinając tę krzywą na pół, uzyskamy dwie krzywe. Każda z osobna będzie miała kształt wykresu zależności przedstawionego na Rys. 8b.
Przemiany energii podczas skracania wahadła stożkowego
Jak już wspomnieliśmy, rozważając ruch wahadła stożkowego, pomijamy opory ruchu, w tym opór powietrza. Jest to warunek niezbędny, by uznać jego moment pędu za stały. Trzeba jednak pamiętać, że sama zasada zachowania momentu pędu objaśnia jedynie charakter współzmienności wartości oraz . W opisanym doświadczeniu są to wielkości odwrotnie proporcjonalne - ich iloczyn jest stały.
Dlaczego jednak w ogóle dochodzi do zmiany tych i innych wielkości?
Bardziej kompleksowy opis zmienności wszystkich wielkości charakteryzujących ruch wahadła stożkowego musi uwzględniać zmianę energii mechanicznej wahadła, związaną z pracą wykonaną przez siłę działającą na wahadło. Skutkiem tej pracy jest wzrost jego energii mechanicznej (Rys. 9., punkty czerwone). Rośnie przy tym energia potencjalna grawitacji (punkty niebieskie), gdyż wirujący ciężarek się wznosi. Rośnie także jego energia kinetyczna (punkty zielone), bowiem rośnie prędkość .
Jako ciekawostkę możemy wskazać, że wzrost tych form energii nie jest jednostajny. Widać także, że energia kinetyczna dość długo pozostaje praktycznie stała, podczas gdy dominuje wzrost energii potencjalnej. Podobnie - jeśli się dobrze przyjrzeć - przy małych długościach wahadła (rzędu kilkunastu cm), a więc kątach zbliżających się do (por. Rys. 8d.) widać, że tempo wzrostu energii potencjalnej zaczyna maleć. Za wzrost całkowitej energii odpowiada wtedy wzrost energii kinetycznej.
Słowniczek
(ang. kinetic energy) – postać energii ciała związana z jego ruchem, obserwowanym z ustalonego układu odniesienia.
(ang. potential energy) – postać energii związana ze wzajemnym oddziaływaniem dwóch (lub więcej) ciał. Energia potencjalna zależy od położenia oddziałujących ciała względem siebie.
Często wyróżnia się jedno z ciał poprzez przyjęcie, że jest ono nieruchome. Wtedy energię potencjalną układu przypisuje się drugiemu ciału, które zmienia położenie w układzie odniesienia pierwszego. Tak postępuje się z energią potencjalną grawitacji ciała w pobliżu powierzchni Ziemi, wiążąc tę energię z wysokością ciała nad powierzchnią Ziemi.
(ang: central force) - każdą z sił wzajemnego oddziaływania dwóch punktowych ciał A i B nazywamy centralną, jeśli siły te mają kierunek zgodny z prostą przechodzącą przez te ciała, jak na rysunku poniżej.
Jeśli siła działająca na ciało B jest zwrócona ku ciału A - przypadek (a) - to mówimy o przyciąganiu centralnym, jeśli od ciała A - przypadek (b) - o odpychaniu centralnym. W pierwszym przypadku punkt A nazywamy centrum przyciągania punktu B.
Przykładem siły centralnej przyciągającej jest siła grawitacji. Siła elektrostatyczna pomiędzy dwoma ładunkami także jest centralna: przyciągająca, gdy są one różnoimienne, odpychająca, gdy jednoimienne.
Siła centralna zachowuje moment pędu układu oddziałujących ciał. Wartość bowiem momentu siły centralnej, zarówno odpychającej jak i przyciągającej, jest zawsze równa zero:
gdzie to kąt między siłą centralną a wektorem , będącym ramieniem jej działania. Kąt ten jest równy zeru dla siły odpychającej, a dla siły przyciągającej, zatem jego sinus wynosi zero.
(ang. Steiner's theorem) – Jeśli przez oznaczymy moment bezwładności bryły względem pewnej osi przechodzącej przez środek masy tej bryły, a w odległości od tej osi ustawimy oś równoległą, to moment bezwładności bryły względem tej nowej osi będzie dany przez
gdzie to masa bryły. Sformułował je szwajcarski geometra, Jakob Steiner.