Monotoniczność. Przykłady
Rysunek przedstawia wykres funkcji .
![Wykres funkcji g w postaci łamanej złożonej z pięciu odcinków leżącej w pierwszej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych oraz w przedziale obustronnie domkniętym od -3 do -1 na osi OX.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/Rbzy3vjulJsqw/5/1nUEzb1tKtCUgwNN1MrU9am13v8UFqyw.png)
Z wykresu funkcji odczytamy, że:
przedział jest przedziałem, w którym funkcja jest rosnąca,
przedział jest przedziałem, w którym funkcja jest malejąca,
przedział jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja jest stała,
przedział jest przedziałem, w którym funkcja jest niemalejąca,
przedział jest przedziałem, w którym funkcja jest nierosnąca.
Funkcja jest monotoniczna przedziałami, ale nie jest monotoniczna w całym przedziale .
Z wykresu funkcji odczytamy, że:
przedział jest przedziałem, w którym funkcja jest rosnąca.
Funkcja jest monotoniczna przedziałami, ale nie jest monotoniczna w całym przedziale .
![Wykres funkcji h leżącej w pierwszej, drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R12p540EGhFpa/5/2IeSLXbx0QuuUWIZeRavAPAVKn6PpAgX.png)
Z wykresu funkcji odczytamy, że:
przedział jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja jest rosnąca,
przedział jest przedziałem, w którym funkcja jest malejąca,
przedział jest przedziałem, w którym funkcja jest malejąca.
Funkcja jest monotoniczna przedziałami, ale nie jest monotoniczna w całym przedziale .
Na rysunku, w tym samym układzie współrzędnych, przedstawione są wykresy funkcji oraz .
Dziedziną funkcji jest przedział , a dziedziną funkcji jest przedział .
![Wykres funkcji p w postaci krzywej leżącej w pierwszej, drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych i krzywej k leżącej w pierwszej, drugiej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RAhh32Xbs7USY/5/2aEgBSaKIAmbU9BzqUlcGcs9tjZa0Wcv.png)
Z wykresów funkcji i odczytamy, że:
funkcja jest rosnąca (jako rosnąca w całej swojej dziedzinie),
funkcja jest malejąca (jako malejąca w całej swojej dziedzinie).
Dziedziną funkcji , przedstawionej na rysunku, jest zbiór .
Z wykresu odczytujemy, że:
Ponieważ
więc funkcja jest rosnąca.
Dziedziną funkcji jest zbiór . Korzystając z przedstawionego na rysunku wykresu funkcji , odczytamy, że:
Ponieważ
więc funkcja jest nierosnąca.
![Wykres funkcji składa się z dziesięciu punktów o współrzędnych (-4, 3), (-3, 3), (-2, 2), (-1, 2), (0, 0), (1, 0), (2, -1), (3, -2), (4 , -2), (5, -3).](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1FtYDZyWXB2k/5/1VcEwAdMyzhH2ZbluKK2Vi51P0Nyoywh.png)
Dziedziną funkcji , przedstawionej na rysunku, jest zbiór .
Przy zwiększaniu argumentu o również o rosną wartości funkcji.
A zatem funkcja jest rosnąca.
![Wykres funkcji składa się z ośmiu punktów o współrzędnych (1, -1), (2, 0), (3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4), (7, 5), (8, 6).](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/REyRspWISDqXy/5/20BPfUkFTkyPpO7Ijscmx2rA8tqOXRmJ.png)
Z wykresu odczytujemy, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej ze zbioru zachodzi zależność
Funkcja jest przykładem ciągu – tak nazywa się funkcje, których dziedziną jest podzbiór zbioru liczb całkowitych dodatnich.
Dla wyróżnienia tych szczególnych funkcji:
zamiast tradycyjnego zapisu wartości stosuje się zapis ,
nazywamy –tym wyrazem ciągu, zaś nazywamy indeksem (lub wskaźnikiem).
Ciąg o kolejnych wyrazach , , ,… oznaczamy symbolicznie .