Karta pracy podsumowująca opanowanie treści zajęć realizowanych zgodnie z metodologią STEM w oparciu o zasoby Zintegrowanej Platformy Edukacyjnej, opracowana w ramach rządowego programu wspierania organów prowadzących szkoły i placówki w rozwijaniu umiejętności cyfrowych dzieci i młodzieży na lata 2025‑2029 – „Cyfrowy Uczeń” (Dz.U.2025.1254)

Imię i nazwisko autora:

Agnieszka Chomicka‑Bosy, Karolina Żelazowska‑Byczkowska

Wprowadzenie do karty pracy

Karta pracy została przygotowana jako podsumowanie treści realizowanych podczas zajęć i służy utrwaleniu najważniejszych pojęć, umiejętności oraz wniosków. Zawarte w niej zadania stanowią zestaw interaktywnych ćwiczeń z ZPE, odpowiadający zakresowi merytorycznemu scenariusza “Most hydrauliczny. Matematyka otwarta na potrzeby.”. Wypełniając kartę już po zakończeniu zajęć, można samodzielnie sprawdzić, w jakim stopniu zostały opanowane omawiane treści i jakie elementy wymagają dalszego doskonalenia. Z perspektywy przedmiotu matematyka, szczególnie istotne są ćwiczenia weryfikujące umiejętności funkcji kwadratowej.

W życiu codziennym spotykamy wiele kształtów, które przypominają fragment  wykresu funkcji kwadratowej. Np. wlot do tunelu drogowego, czy łuk przęsła mostu. Funkcja kwadratowa ma wiele ciekawych własności, które można wykorzystać do rozwiązywania problemów matematycznych.

W materiale omówimy różne zastosowania funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2$ m.in. do obliczania pól figur, których wierzchołki należą do wykresu funkcji kwadratowej, czy do wyznaczania liczby punktów przecięcia paraboli z prostymi.

1

Ćwiczenie 1

Parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej $g$ określonej wzorem $g\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2$ przesunięto wzdłuż osi $X$ i osi $Y$ i otrzymano wykres funkcji $f$. Zaznacz zdania, które są prawdziwe.

R12DYKSMshp0k

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej f będącą parabolą z wierzchołkiem w punkcie nawias minus jeden średnik cztery koniec nawiasu ora z ramionami skierowanymi w dół. Wykres funkcji przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik dwa koniec nawiasu oraz punkt nawias jeden średnik dwa koniec nawiasu.

R10G8SslSXerR

Możliwe odpowiedzi: 1. Wierzchołek paraboli po przesunięciu ma współrzędne nawias, minus, jeden przecinek cztery, zamknięcie nawiasu., 2. Wykres przesunięto o cztery jednostki wzdłuż osi X., 3. Osią symetrii paraboli przed i po przesunięciu jest ta sama prosta., 4. Zbiorem wartości funkcji po przesunięciu jest przedział nawias, minus, nieskończoność, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu ostrego.

3

Ćwiczenie 2

Wiadomo, że podstawa trójkąta przedstawionego na rysunku zawiera się w prostej, będącej wykresem funkcji określonej wzorem $g\left(x\right)=-2$, a wierzchołek trójkąta pokrywa się z wierzchołkiem paraboli, będącej wykresem funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^2$. Oblicz pole tego trójkąta.

Ro2tULCaPxdCY

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę, oraz prostą g, o równaniu $Y=-2$. Wierzchołkiem paraboli jest punkt S, o współrzędnych $\left(0;0\right)$, a jej ramiona skierowane są do dołu. Prosta g przecina parabolę w punkcie A, oraz w punkcie B. Zamalowano obszar trójkąta ograniczonego punktami A, B, S.

Pokaż rozwiązanie

Pole trójkąta obliczymy ze wzoru $P=\frac{1}{2}·a·h$.

Z rysunku możemy odczytać, że $h=2$.

Długość podstawy trójkąta jest równa odległości pomiędzy pierwszymi współrzędnymi punktów przecięcia prostej oraz paraboli, będącej wykresem funkcji $f$.

W celu wyznaczenia tych współrzędnych rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{3}{x}^2\\ y=-2\end{array}\right.$

Zatem $-\frac{1}{3}{x}^2=-2$, więc $x^2=6$.

Rozwiązaniami równania są liczby $-\sqrt{6}$ oraz $\sqrt{6}$.

Długość podstawy wynosi:

$a=2\sqrt{6}$

Pole tego trójkąta wynosi:

$P=\frac{1}{2}·2\sqrt{6}·2=2\sqrt{6}$.

Zastanów się jakie są rozmiary atomów, a jakie jądra atomowego? Po wybraniu w Google hasła „Atom” masz natychmiastową informację z Wikipedii „Atomy mają rozmiary rzędu $10^{-10}m$”. Kiedy wpiszesz „Jądro atomowe”, dowiadujesz się, że „Jądra mają rozmiary rzędu $10^{-14}m$ – $10^{-15}m$”. Stosunek rozmiarów jądra atomowego do rozmiarów atomu to 4 rzędy wielkości lub więcej.

To dużo czy mało? Jak to sobie wyobrazić?

Cztery rzędy wielkości to tak, jakbyś porównywał ze sobą dwa przedmioty, z których jeden jest sto razy większy od jednego metra, a drugi jest sto razy mniejszy.

A teraz popatrz na rysunek poniżej (Rys. 1.). Jeśli atom miałby rozmiary boiska do piłki nożnej (długość takiego boiska wynosi 105 m), to rozmiary jądra atomowego byłyby porównywalne z rozmiarami piłki i to nie nożnej, a tej do ping‑ponga lub jeszcze mniejszej.

RsKgCMSSFR4TC

Rys. 1. Na rysunku pokazany jest plan boiska do piłki nożnej, a obok znajduje się piłeczka pingpongowa. Rysunek poglądowy przedstawia symboliczne porównanie różnic w rozmiarach atomu i jądra atomowego.

To dopiero są właściwe proporcje i powinniśmy mieć tego świadomość, patrząc na obrazki symbolizujące strukturę atomu, które choć ładnie wyglądają, pokazują zupełnie nieprawdziwe proporcje. Dopiero patrząc na ten „sportowy model struktury atomu” uświadamiamy sobie, że materia z której się składamy, i my i wszystko na świecie, jest tak naprawdę pusta, bo warto dodać, że jądro atomowe skupia 99,9% masy atomu.

Jest to przykład odpowiedzi na pytanie: jak za pomocą odpowiednio dobranego intuicyjnego rysunku można zilustrować prawdziwe relacje pomiędzy rozmiarami obiektów trudnych do bezpośredniego porównania?

1. Przedstawienie graficzne ma wielką moc oddziaływania na nasze postrzeganie rzeczywistości i w konsekwencji na naszą wyobraźnię.

2. Stanowi dlatego bardzo użyteczny sposób opisu zjawiska lub problemu, wspomagający lub wręcz zastępujący opis słowny.

3. Może jednak zarówno zafałszować obraz zjawiska, jak i wydobyć jego prawdziwe i istotne cechy.

Dla pełności informacji warto jednak dodać jeszcze jeden komentarz. Powyższe uwagi krytyczne względem graficznego przedstawienia atomu nie oznaczają, że nie powinno się ich nigdy używać. Można, ale w znaczeniu symbolu atomu, np. w logo instytucji zajmującej się atomistyką, jak te zmieszczone tutaj (Rys. 2.), ale nie w prezentacji obiektu, jakim jest atom.

RvAPMFi7GtFSl

Rys. 2. Rysunek poglądowy przedstawia logotypy (znaki graficzne) instytucji zajmujących się atomistyką - Centralne Laboratorium Ochrony Radiologicznej, Państwowa Agencja Atomistyki i Narodowe Centrum Badań Jądrowych. W każdym z tych znaków graficznych widać eliptyczne orbity, symbolizujące orbity elektronów w atomie.

Słowniczek

Audiobook do poleceń 1, 2 i 3