Jak obliczyć objętość prostopadłościanu?

Kacper postanowił sprawdzić, ile różnych prostopadłościanów można zbudować z dwunastu jednakowych klocków sześciennych. Wykorzystał małe klocki o krawędzi długości $1 cm$ .

RUSxFecCNu7621

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Paulina budowała różne prostopadłościany z szesnastu jednakowych sześciennych klocków o krawędzi długości $1 cm$ . Uzupełnij w tabeli brakujące wymiary tych prostopadłościanów.

Tabela. Dane
Numer prostopadłościanu	Wymiary prostopadłościanu			Objętość prostopadłościanu
Numer prostopadłościanu	$a$ (długość)	$b$ (szerokość)	$c$ (wysokość)	Objętość prostopadłościanu
$1 .$	$16 cm$	$\dots cm$	$\dots cm$	$16 c m^{3}$
$2 .$	$8 cm$	$1 cm$	$\dots cm$	$16 c m^{3}$
$3 .$	$\dots cm$	$1 cm$	$4 cm$	$16 c m^{3}$
$4 .$	$\dots cm$	$\dots cm$	$\dots cm$	$16 c m^{3}$

Tabela. Dane
Numer prostopadłościanu	Wymiary prostopadłościanu			Objętość prostopadłościanu
Numer prostopadłościanu	a(długość)	b(szerokość)	c(wysokość)	Objętość prostopadłościanu
$1 .$	$16 cm$	$1 cm$	$1 cm$	$16 cm 3$
$2 .$	$8 cm$	$1 cm$	$2 cm$	$16 cm 3$
$3 .$	$4 cm$	$1 cm$	$4 cm$	$16 cm 3$
$4 .$	$2 cm$	$2 cm$	$4 cm$	$16 cm 3$

Objętość prostopadłościanu

Reguła: Objętość prostopadłościanu

Aby obliczyć objętość prostopadłościanu, mnożymy jego wymiary: długość, szerokość i wysokość.
Objętość figury najczęściej oznaczamy literą $V$ .

RdSmQk5CA4X6w1

Rysunek prostopadłościanu z zaznaczonymi krawędziami podstawy a i b oraz krawędzią boczną c. Zapis: V = a razy b razy c. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ipNQjtfrAE_d5e199

Obliczanie objętości prostopadłościanów

Ćwiczenie 2

Każdy prostopadłościan zbudowany jest z sześcianów o krawędzi długości $1 cm$ . Oblicz objętości tych prostopadłościanów.

RXOr0ff7IWnBO1

Rysunek czterech prostopadłościanów. Pierwszy prostopadłościan zbudowany z osiemnastu jednakowych sześcianów. Drugi prostopadłościan zbudowany z dwudziestu czterech jednakowych sześcianów. Trzeci prostopadłościan zbudowany z dwudziestu jednakowych sześcianów. Czwarty prostopadłościan zbudowany z osiemnastu jednakowych sześcianów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$18 {cm}^{3}$
$24 {cm}^{3}$
$20 {cm}^{3}$
$18 {cm}^{3}$

Ćwiczenie 3

Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach podanych na rysunku.

Rec4c9fSuxOHP1

Rysunek czterech prostopadłościanów. Pierwszy prostopadłościan o krawędziach równych 5 cm, 4 cm i 3 cm. Drugi prostopadłościan o krawędziach równych 6 cm, 3 cm i 3 cm. Trzeci prostopadłościan o krawędziach równych 8 cm, 4 cm i 3 cm. Czwarty prostopadłościan o krawędziach równych 7 cm, 4 cm i 4 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$60 {cm}^{3}$
$54 {cm}^{3}$
$96 {cm}^{3}$
$112 {cm}^{3}$

Ćwiczenie 4

Oblicz objętość prostopadłościanu o podanych wymiarach. Wynik podaj w centymetrach sześciennych.

$12 cm, 1 dm, 6 cm$
$1,5 dm, 2 dm, 18 cm$
$25 mm, 4 cm, 1,5 cm$
$160 mm, 15 cm, 0,8 dm$

$720 {cm}^{3}$
$5400 {cm}^{3}$
$15 {cm}^{3}$
$1920$ ${cm}^{3}$

Ćwiczenie 5

Oblicz, ile litrów wody zmieści się maksymalnie w prostopadłościennym akwarium o wymiarach podanych na rysunku.

RmpEhXnMW21Zz1

Rysunek prostopadłościanu o krawędziach podstawy długości 1 m, 50 cm i krawędzi bocznej długości 4 dm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykonaj obliczenia trzema sposobami, za każdym razem wyrażając wymiary prostopadłościanu w innej jednostce.

sposób $I$

$1 m = 10 dm$
$50 cm = 5 dm$
$V = 10 ∙ 5 ∙ 4 = 200 d m^{3} = 200 l$

sposób $II$

$1 m = 100 cm$
$4 dm = 40 cm$
$V = 100 ∙ 50 ∙ 40 = 200000 {cm}^{2} = 200 {dm}^{2} = 200 l$

sposób $III$

$50 cm = 0,5 m$
$4 dm = 0,4 m$
$V = 1 ∙ 0,5 ∙ 0,4 = 0,2 m^{2} = 200 {dm}^{2} = 200 l$

ipNQjtfrAE_d5e375

Obliczanie objętości sześcianów

Każdy sześcian jest prostopadłościanem, więc jego objętość będziemy obliczać tak samo jak objętość prostopadłościanu.

Ćwiczenie 6

Każdy z sześcianów przedstawionych na rysunkach zbudowany jest z sześcianów o krawędzi długości $1 cm$ . Oblicz objętość każdego sześcianu.

RAnHBb5A9wl8S1

Rysunek czterech sześcianów. Pierwszy sześcian zbudowany z ośmiu jednakowych małych sześcianów. Drugi sześcian zbudowany z sześćdziesięciu czterech jednakowych małych sześcianów. Trzeci sześcian zbudowany z dwudziestu siedmiu jednakowych małych sześcianów. Czwarty sześcian zbudowany z stu dwudziestu pięciu jednakowych małych sześcianów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Aby obliczyć objętość sześcianu, podnosimy do trzeciej potęgi długości jego krawędzi.

R1JnV9BORWmTR1

Rysunek sześcianu o krawędziach długości a. Zapis: V =a do potęgi trzeciej lub V =a razy a razy a razy a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Oblicz objętość sześcianu o krawędzi podanej długości.

$6 cm$
$9 cm$
$0,5 m$
$0,7 dm$

$216 {cm}^{2}$
$729 {cm}^{2}$
$0,125 {cm}^{2}$
$0,343 {dm}^{2}$

Ćwiczenie 8

Oblicz, ile litrów wody zmieści się w pojemniku w kształcie sześcianu, jeżeli długość jego wewnętrznej krawędzi wynosi

$12 cm$
$2 dm$
$3,3 dm$
$0,8 m$

$1,728 l$
$8 l$
$35,937 l$
$0,512 l$

ipNQjtfrAE_d5e500

Ćwiczenie 9

W tabeli podane są wymiary i objętości czterech prostopadłościanów. Uzupełnij brakujące liczby.

Tabela. Dane
Numer prostopadłościanu	Wymiary prostopadłościanu			Objętość prostopadłościanu
Numer prostopadłościanu	$a$	$b$	$c$	Objętość prostopadłościanu
$1 .$	$2 cm$	$4 cm$	$\dots cm$	$24 {cm}^{3}$
$2 .$	$\dots cm$	$2 cm$	$3 cm$	$36 {cm}^{3}$
$3 .$	$5 cm$	$\dots cm$	$3 cm$	$45 {cm}^{3}$
$4 .$	$4 cm$	$4 cm$	$\dots cm$	$64 {cm}^{3}$

Tabela. Dane
Numer prostopadłościanu	Wymiary prostopadłościanu			Objętość prostopadłościanu
Numer prostopadłościanu	$a$	$b$	$c$	Objętość prostopadłościanu
$1 .$	$2 cm$	$4 cm$	$3 cm$	$24 {cm}^{3}$
$2 .$	$6 cm$	$2 cm$	$3 cm$	$36 {cm}^{3}$
$3 .$	$5 cm$	$3 cm$	$3 cm$	$45 {cm}^{3}$
$4 .$	$4 cm$	$4 cm$	$4 cm$	$64 {cm}^{3}$

Ćwiczenie 10

Która z figur przedstawionych na rysunku ma większą objętość i o ile?

R3TUpsyP3wOzx1

Rysunek prostopadłościanu i sześcianu. Prostopadłościan ma krawędzie długości 3,5 cm, 4 cm i 5 cm. Sześcian ma krawędzie długości 4 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wskaż poprawną odpowiedź.

RwDLKMVWeY52E

prostopadłościan o $6 {cm}^{3}$
sześcian o $6 {cm}^{3}$
sześcian o $0,5 {cm}^{3}$
prostopadłościan o $0,5 {cm}^{3}$

Ćwiczenie 11

Blat biurka zrobiony jest z drewnianej płyty o grubości $4 cm$ . Prostokątna powierzchnia blatu ma wymiary $50 cm$ i $110 cm$ . Oblicz objętość drewna zużytego na ten blat. Podaj wynik w decymetrach sześciennych.

$22 {dm}^{3}$

Ćwiczenie 12

Basen ma kształt prostopadłościanu. Oblicz, ile najwięcej metrów sześciennych wody mieści się w tym basenie, jeżeli jego długość wynosi $20 m$ , szerokość $12 m$ i głębokość $1,4 m$ .

$336 m^{3}$

Ćwiczenie 13

Czy prostopadłościan o podanych wymiarach można podzielić na jednakowe sześciany o krawędzi $3 cm$ ? Jeżeli tak, to ile sześcianów powstanie?

$12 cm, 8 cm, 15 cm$
$9 cm, 12 cm, 18 cm$
$9 cm, 9 cm, 9 cm$
$3 cm, 5 cm, 9 cm$

nie
tak, $72$
tak, $27$
nie

Ćwiczenie 14

Zosia skleja ścianami jednakowe sześciany. Skleiła już taką bryłę, jak ta na rysunku poniżej.
Ile co najmniej sześcianów powinna jeszcze dokleić Zosia, żeby powstał

sześcian?
prostopadłościan?
RTHQdABL2tagU1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$55$
$27$

Objętość figury. Jednostki objętości

Rozwiązywanie zadań tekstowych

Objętość prostopadłościanu

Jak obliczyć objętość prostopadłościanu?

Obliczanie objętości prostopadłościanów

Obliczanie objętości sześcianów