Przykłady obliczania pola

Już wiesz

Pole trójkąta jest połową iloczynu długości jego podstawy oraz wysokości prostopadłej do tej podstawy.

RgvPNEk0LUgKp1

Rysunek trójkąta o boku a i wysokości h opuszczonej na bok a. Zapis: P = ułamek, licznik a razy h, mianownik 2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstawą trójkąta nazywamy ten bok trójkąta, do którego poprowadzona jest wysokość.

Przykład 1

R11KUqaRf5c981

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

Przykład 2

Obliczmy pole trójkąta, który jest fragmentem fasady budynku.

RfK3sJTuAwCnE1

Rysunek fasady budynku z zaznaczonym trójkątem równoramiennym A B C na elewacji przedniej. Wysokość CD opuszczona jest na bok AB. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

|AB| = 5 m

|CD| = 1.8 m

Pole trójkąta $ABC$ wynosi $P = \frac{5 m ∙ 1.8 m}{2} = 4,5 m^{2}$

Przykład 3

Widok z przodu karmnika ma kształt trójkąta. Jakie jest pole tego trójkąta?

RvZ0yubVrvTU11

Rysunek przodu domku letniskowego o kształcie trójkąta równoramiennego A B C. Wysokość CD opuszczona jest na bok AB. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

|AD| = 4 m

|CD| = 5,5 m

Pole trójkąta $ABF$ wynosi $P = \frac{8 m ∙ 5,5 m}{2} = 22 m^{2}$

iIr6LYPkGC_d5e155

Obliczanie pól trójkątów

Ćwiczenie 1

RyAKwJ5VudNbu1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RvNrrfx3ExjQh1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DiCZQs27f

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Ćwiczenie 2

R8T1qLIAghrVG1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Wysokość $h_{1}$ ma długość $60 cm$ , a długości boków $a, b$ i $c$ wynoszą odpowiednio $80 cm, 100 cm$
i $120 cm$ . Oblicz pole tego trójkąta oraz długości wysokości $h_{2}$ i $h_{3}$ .

RK90OcsveXQww1

Rysunek trójkąta o bokach długości a, b i c. Poprowadzone wysokości trójkąta h indeks dolny 1, h indeks dolny 2, h indeks dolny 3. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole trójkąta wynosi $2400 {cm}^{2}$ , $h_{2}$ ma długość $48 cm, a h_{3}$ ma długość $40 cm$ .

iIr6LYPkGC_d5e279

Obliczanie obwodów trójkątów

Ćwiczenie 4

Oblicz obwody trójkątów.

R3QjkV00eOKTd1

"Rysunek trzech trójkątów. Pierwszy trójkąt ma boki długości 5,4 cm — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$19,8 cm$
$21 cm$
$20,2 cm$

Ćwiczenie 5

Podaj długości boków trójkąta

równobocznego o obwodzie $51 cm$ .
równoramiennego o obwodzie $22 cm$ , w którym podstawa ma $10 cm$ długości.

$17, 17, 17$
$10, 6, 6$

Ćwiczenie 6

Długości boków trójkątów widocznych na rysunku są następujące
$|AB| = 8 cm,$
$| BE | = 10 cm,$
$|AC| = 9,67 cm,$
$|CE| = 2 cm,$
$| AE | = 11 cm$ .

Row16r57DQrVq1

Rysunek trójkątów A B E i A B C o wspólnym boku AB. Punkt C leży na boku BE trójkąta A B E. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz obwód

trójkąta $ABE$
trójkąta $ABC$

$29 cm$
$25,67 cm$

Ćwiczenie 7

Wykorzystaj dane z rysunku i oblicz obwód trójkąta $EBD$ .

R1HJAnKebsD181

Rysunek połączonych trójkątów prostokątnych A B C i E B D o przyprostokątnych równych 3 cm i 4 cm oraz przeciwprostokątnej równej 5 cm. Bok BD leży na boku BA. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obwód trójkąta $EBD$ wynosi $12 cm$ .

Ćwiczenie 8

Obwód trójkąta $ABC$ wynosi $187 cm$ , a trójkąta $ADC - 163 cm$ . Odcinek $AC$ ma $60 cm$ długości. Oblicz obwód czworokąta $ABCD$ .

R1SeCuKjXZDVL1

Rysunek czworokąta A B C D zbudowanego z dwóch trójkątów A B C i A C D o wspólnym boku AC. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obwód czworokąta $ABCD$ wynosi $230 cm$ .

Ćwiczenie 9

Oblicz długości boków trójkąta, w którym suma długości najkrótszego i średniego boku wynosi $7 cm$ , najdłuższego i średniego – $10 cm$ , a najkrótszego i najdłuższego – $9 cm$ . Oblicz obwód tego trójkąta.

Długości boków to: $3 cm, 4 cm$ i $6 cm$ . Obwód tego trójkąta wynosi $13 cm$ .

Ćwiczenie 10

R1O8y2jfDm9Mj1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

RUTQUC3PC0TtB1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iIr6LYPkGC_d5e495

Obliczanie pól i obwodów trójkątów

Ćwiczenie 12

Przyjrzyj się trójkątom na rysunku. Wykonaj potrzebne obliczenia i odpowiedz na pytania.

RNSqm3rnAhcdy1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C i trójkąta równoramiennego E D F. W trójkącie A B C przyprostokątne mają długość 4 cm, przeciwprostokątna ma długość 5,66 cm, a pole jest równe 8 centymetrów kwadratowych. W trójkącie E D F podstawa ma długość 4 cm, ramiona mają długość 4,83 cm, a pole jest równe 8.8 centymetrów kwadratowych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jaką wspólną własność mają oba trójkąty?
Jaka jest długość wysokości trójkąta $DEF$ opuszczonej na bok $DF$ ?

Trójkąty te mają jednakowe obwody.
Wysokość trójkąta $DEF$ wynosi $4,4 cm$

classicmobile

Ćwiczenie 13

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1dQqLNrAtL85

Wszystkie trójkąty o jednakowym obwodzie mają równe pola.
Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $3 cm$ i $4 cm$ ma obwód równy $12 cm$ .
Trójkąt równoramienny o podstawie $13 cm$ i ramieniu $15 cm$ ma obwód równy $28 cm$ .
Trójkąt równoramienny o podstawie $6 cm$ i ramieniu $5 cm$ ma pole równe $12 {cm}^{2}$ .
Nie ma trójkąta równoramiennego o podstawie $7 cm$ i ramieniu $4 cm$ .

static

Ćwiczenie 13

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R13Zhwg6zUwIQ

Wszystkie trójkąty o jednakowym obwodzie mają równe pola.
Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $3 cm$ i $4 cm$ ma obwód równy $12 cm$ .
Trójkąt równoramienny o podstawie $13 cm$ i ramieniu $15 cm$ ma obwód równy $28 cm$ .
Trójkąt równoramienny o podstawie $6 cm$ i ramieniu $5 cm$ ma pole równe $12 {cm}^{2}$ .
Nie ma trójkąta równoramiennego o podstawie $7 cm$ i ramieniu $4 cm$ .

Ćwiczenie 14

Figura $1$ i Figura $2$ ułożone są z takich samych wielokątów. Wydaje się jednak, że Figura $2$ ma pole mniejsze od pola Figury $1$ o pole jednej kratki. Tak jednak być nie może. Przyjrzyj się dokładnie rysunkom i znajdź w nich błąd.

R13wv117moqHF1

Rysunek dwóch figur złożonych z dwóch trójkątów i dwóch sześciokątów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trzeba zauważyć, że figury te nie są trójkątami. Dłuższy bok każdej z nich jest łamaną. Jeśli połączymy końce tej łamanej w Figurze $1 .$ odcinkiem, powstanie trójkąt rozwartokątny, którego pole jest nieco większe od pola jednej kratki, która powstała w Figurze $2 .$ po przełożeniu wielokątów. Gdzie się podziała ta niewielka nadwyżka?

Jednostki pola i ich zamiana

Obliczanie pól i obwodów czworokątów

Obliczanie pól i obwodów trójkątów

Przykłady obliczania pola

Obliczanie pól trójkątów

Obliczanie obwodów trójkątów

Obliczanie pól i obwodów trójkątów