Przykład 1

W trójkącie prostokątnym ABC dane są długości przyprostokątnych

AC=16, BC=30.

Obliczymy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie oraz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Ponieważ trójkąt jest prostokątny, to środek okręgu na nim opisanego jest środkiem przeciwprostokątnej.
Z twierdzenia Pitagorasa

AB2=162+302.

Po uwzględnieniu, że AB>0, otrzymujemy AB=34. Zatem promień R okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 17.

R2V2sbQuEvIAA1

Niech Sr oznaczają odpowiednio środek i promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Okrąg ten jest styczny do przyprostokątnych ACBC w punktach odpowiednio DF, a do przeciwprostokątnej w punkcie E, jak na rysunku.

R11wQl2i2JQk41

Z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że

|CD|=|CF|, |BE|=|BF|, |AD|=AE.

Czworokąt SDCF jest kwadratem o boku r. Zatem

 |CD|=|CF|=r
 BE=BF=16-r.

Ponieważ

|AB|=|AE|+|BE|
AD=AE=30-r,

to

16-r+30-r=34.

Stąd r=6.
Przeprowadzając analogiczne rozumowanie dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości ab i przeciwprostokątnej długości c, otrzymujemy związek między długościami boków trójkąta prostokątnego i promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

RqgRUKZJTauNo1
c=a-r+b-r
 Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny
Twierdzenie:  Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny

Promień r okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości ab oraz przeciwprostokątnej długości c jest równy

r=a+b-c2.