Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny
W trójkącie prostokątnym dane są długości przyprostokątnych
Obliczymy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie oraz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Ponieważ trójkąt jest prostokątny, to środek okręgu na nim opisanego jest środkiem przeciwprostokątnej.
Z twierdzenia Pitagorasa
Po uwzględnieniu, że otrzymujemy . Zatem promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy .
Niech i oznaczają odpowiednio środek i promień okręgu wpisanego w trójkąt . Okrąg ten jest styczny do przyprostokątnych i w punktach odpowiednio i , a do przeciwprostokątnej w punkcie , jak na rysunku.
Z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że
Czworokąt jest kwadratem o boku . Zatem
Ponieważ
to
Stąd
Przeprowadzając analogiczne rozumowanie dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości i i przeciwprostokątnej długości , otrzymujemy związek między długościami boków trójkąta prostokątnego i promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości i oraz przeciwprostokątnej długości jest równy