Przypomnijmy wzory na pole i obwód koła. Pole koła oraz obwód koła π, gdzie jest stałą matematyczną definiowaną jako stosunek obwodu koła do jego średnicy.
Wycinek koła
Definicja: Wycinek koła
Wycinkiem koła nazywamy każdą z dwóch jego części wyznaczonych przez dwa promienie tego koła wraz z tymi promieniami. Kąt pomiędzy tymi promieniami nazywamy kątem wycinka.
R1Ln1hoIdTjvs1
Rysunek koła o środku S z zaznaczonym wycinkiem koła o kącie ASC =alfa.
Kliknij, aby uruchomić podgląd
Przykład 1
Obliczmy pole wycinka koła o promieniu , którego kąt jest równy . Zastanówmy się, jaką częścią całego koła jest ten wycinek.
R1W9gtDUWdFl41
Rysunek koła o środku S z zaznaczonym wycinkiem koła o kącie równym 45 stopni.
Kliknij, aby uruchomić podgląd
Zauważmy, że . Zatem pole wycinka stanowi ósmą część pola koła.
ł
π
Pole wycinka
Definicja: Pole wycinka
Pole wycinka koła o promieniu r i kącie jest równe
Odcinek koła
Definicja: Odcinek koła
Odcinkiem koła nazywamy każdą z dwóch części, na jakie dzieli to koło jego cięciwa wraz z tą cięciwą i łukiem okręgu.
RSPCWKZN76hd81
Rysunek koła o środku S z poprowadzoną cięciwą AB. Rysunek pokazuje definicję odcinka koła na części łuku okręgu.
Kliknij, aby uruchomić podgląd
R9EFnB8iVv7rB1
Rysunek koła o środku S z poprowadzoną cięciwą AB. Rysunek pokazuje definicję odcinka koła na drugim łuku okręgu.
Kliknij, aby uruchomić podgląd
RTMBbAI65vQyE1
Animacja pokazuje, jak obliczyć pole odcinek koła o środku w punkcie S i kącie środkowym alfa wykorzystując pole wycinka koła i trójkąta A B S. Pole odcinka koła jest równe różnicy lub sumie pola wycinka koła i pola trójkąta A B S. Pole wycinka równa się iloczynowi ilorazu alfa przez 360 stopni i pi r do potęgi drugiej.
Animacja pokazuje, jak obliczyć pole odcinek koła o środku w punkcie S i kącie środkowym alfa wykorzystując pole wycinka koła i trójkąta A B S. Pole odcinka koła jest równe różnicy lub sumie pola wycinka koła i pola trójkąta A B S. Pole wycinka równa się iloczynowi ilorazu alfa przez 360 stopni i pi r do potęgi drugiej.
Środek koła leży na zewnątrz odcinka koła. Wtedy pole tego odcinka jest mniejsze od połowy pola koła. Połączmy końce cięciwy ze środkiem okręgu. Otrzymane promienie wraz z cięciwą są bokami trójkąta równoramiennego , a kąt między ramionami i jest kątem wycinka koła . Pole odcinka koła obliczymy, odejmując od pola wycinka pole trójkąta .
R7w2Qruo5AMID1
Rysunek koła o środku w punkcie S i kącie wycinka koła opartego na łuku AB równym alfa. Poprowadzono cięciwę AB.
Kliknij, aby uruchomić podgląd
óą
przypadek
Środek koła leży wewnątrz odcinka koła. Pole odcinka jest wtedy większe od połowy pola koła. Tak jak poprzednio, połączmy końce cięciwy ze środkiem okręgu. Otrzymane promienie wraz z cięciwą są bokami trójkąta równoramiennego . Między ramionami i znajduje się kąt . Pole odcinka koła obliczymy, dodając pole trójkąta do pola wycinka.
Rp8ZXympT1Urh1
Rysunek koła o środku w punkcie S i kącie wycinka koła opartego na łuku AB równym alfa. Poprowadzono cięciwę AB.
Kliknij, aby uruchomić podgląd
óą
przypadek
Środek koła leży na cięciwie . Cięciwa jest wtedy średnicą koła o promieniu . Każdy z dwóch wyznaczonych przez nią odcinków koła jest półkolem o polu .