Rozważmy prostą oraz okrąg o środku w punkcie i promieniu . Prosta oraz okrąg, leżące w tej samej płaszczyźnie, mogą mieć jeden punkt wspólny, mogą mieć dwa punkty wspólne lub nie mają punktów wspólnych.
R1NT7rq2gINfp1
Animacja pokazuje trzy położenia prostej i okręgu. Prosta rozłączna nie ma punktów wspólnych z okręgiem. Prosta styczna ma jeden punkt wspólny z okręgiem. Prosta sieczna ma 2 punkty wspólne z okręgiem.
Animacja pokazuje trzy położenia prostej i okręgu. Prosta rozłączna nie ma punktów wspólnych z okręgiem. Prosta styczna ma jeden punkt wspólny z okręgiem. Prosta sieczna ma 2 punkty wspólne z okręgiem.
Rysunek okręgu o środku w punkcie S i promieniu r wraz z poprowadzoną sieczną AB okręgu.
, – punkty wspólne prostej i okręgu
Styczna do okręgu
jeden
R3Loe27im6YgW1
Rysunek okręgu o środku w punkcie S i promieniu r wraz z poprowadzoną styczną w punkcie A do okręgu.
– punkt wspólny prostej i okręgu
Rozłączna z okręgiem
zero
Rjriu2l3j097J1
Rysunek okręgu o środku w punkcie S i promieniu r wraz z poprowadzoną prostą rozłączną z okręgiem.
Prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.
Styczna do okręgu
Twierdzenie: Styczna do okręgu
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia tego okręgu poprowadzonego z punktu styczności.
R19dSEXlUTvY91
Rysunek okręgu o środku S i promieniu r i stycznej do okręgu w punkcie C.
Rozważmy okrąg o środku w punkcie i promieniu oraz punkt leżący na zewnątrz tego okręgu. Poprowadźmy dwie styczne do tego okręgu przechodzące przez punkt . Punkty styczności oznaczmy i .
RWlijNbn7kfT91
Rysunek dwóch stycznych AB i AC do okręgu o środku S przecinających się w punkcie A. Promień okręgu wraz z styczną tworzą kąt prosty.
RbG0cOy9ezSAf1
Animacja prezentuje, w 6 krokach, dowód twierdzenia o odcinkach stycznych. Na okręgu o środku S i promieniu r zaznaczono punkty B, C i D oraz punkt A leżący na zewnątrz tego okręgu. Udowodnimy, że odcinek AB jest równy odcinkowi AC. Prowadzimy odcinek AS. Zauważamy, że odcinki SB i SC. są równe promieniowi okręgu r. Bok SA jest równoodległy od ramion kąta, więc należy do dwusiecznej kąta B A C. Kąty A C S i A B S to kąty proste, więc kąty A S C i A S B mają równe miary. Z cechy b k b wynika, że trójkąty A B S i A C S są przystające, więc boki AB i AC są równe.
Animacja prezentuje, w 6 krokach, dowód twierdzenia o odcinkach stycznych. Na okręgu o środku S i promieniu r zaznaczono punkty B, C i D oraz punkt A leżący na zewnątrz tego okręgu. Udowodnimy, że odcinek AB jest równy odcinkowi AC. Prowadzimy odcinek AS. Zauważamy, że odcinki SB i SC. są równe promieniowi okręgu r. Bok SA jest równoodległy od ramion kąta, więc należy do dwusiecznej kąta B A C. Kąty A C S i A B S to kąty proste, więc kąty A S C i A S B mają równe miary. Z cechy b k b wynika, że trójkąty A B S i A C S są przystające, więc boki AB i AC są równe.
Poprowadźmy odcinek . Trójkąty i są prostokątne i mają wspólną przeciwprostokątną Przyprostokątne i mają taką samą długość . Obliczając z twierdzenia Pitagorasa trzeci z boków w obu trójkątach, otrzymujemy
oraz
zatem
o odcinkach stycznych
Twierdzenie: o odcinkach stycznych
Jeżeli styczne do okręgu w punktach i przecinają się w punkcie , to odcinki i są równej długości.
Rozważmy dwa okręgi: jeden o środku w punkcie i promieniu , drugi o środku w punkcie i promieniu , przy czym Dwa okręgi mogą mieć dwa punkty wspólne, jeden punkt wspólny lub nie mają punktów wspólnych.
Rp5mfKzkrZ45W1
Animacja pokazuje, w 10 krokach, trzy wzajemne położenia dwóch okręgów. Okręgi mogą być rozłączne zewnętrznie, rozłączne wewnętrznie, bez punktów wspólnych, styczne z jednym punktem wspólnym i przecinające się z dwoma punktami wspólnymi.
Animacja pokazuje, w 10 krokach, trzy wzajemne położenia dwóch okręgów. Okręgi mogą być rozłączne zewnętrznie, rozłączne wewnętrznie, bez punktów wspólnych, styczne z jednym punktem wspólnym i przecinające się z dwoma punktami wspólnymi.
Wzajemne położenie dwóch okręgów o różnych promieniach
Nazwa okręgów
Liczba punktów wspólnych
Zależność między środkami , okręgów a ich promieniami ,
Interpretacja graficzna
Okręgi przecinające się
dwa
R1JxUk0dYmmf11
Rysunek dwóch okręgów. Jeden o środku S z indeksem dolnym jeden i promieniu r z indeksem dolnym jeden oraz drugi o środku S z indeksem dolnym dwa i promieniu r z indeksem dolnym dwa. Okręgi przecinają się w dwóch punktach.
Okręgi styczne zewnętrznie
jeden
R5tmhIoYqJPOm1
Rysunek dwóch okręgów. Jeden o środku S z indeksem dolnym jeden i promieniu r z indeksem dolnym jeden oraz drugi o środku S z indeksem dolnym dwa i promieniu r z indeksem dolnym dwa. Okręgi są styczne zewnętrznie więc mają jeden punkt wspólny.
Okręgi styczne wewnętrznie
jeden
ReF1Ue8OmZxuG1
Rysunek dwóch okręgów. Jeden o środku S z indeksem dolnym jeden i promieniu r z indeksem dolnym jeden oraz drugi o środku S z indeksem dolnym dwa i promieniu r z indeksem dolnym dwa. Okręgi są styczne wewnętrznie więc mają jeden punkt wspólny.
Okręgi rozłączne zewnętrznie
zero
R7P5oVSrs7b7Y1
Rysunek dwóch okręgów. Jeden o środku S z indeksem dolnym jeden i promieniu r z indeksem dolnym jeden oraz drugi o środku S z indeksem dolnym dwa i promieniu r z indeksem dolnym dwa. Okręgi są rozłączne zewnętrznie więc nie mają punktów wspólnych.
Okręgi rozłączne wewnętrznie
zero
R12rAZT5ljImz1
Rysunek dwóch okręgów. Jeden o środku S z indeksem dolnym jeden i promieniu r z indeksem dolnym jeden oraz drugi o środku S z indeksem dolnym dwa i promieniu r z indeksem dolnym dwa. Okręgi są rozłączne wewnętrznie więc nie mają punktów wspólnych.