Kąt środkowy okręgu

Definicja:  Kąt środkowy okręgu

Kątem środkowym okręgu nazywamy kąt, którego wierzchołek jest środkiem okręgu.

RPgvZ0Zo6p0nE1

Rysunek okręgu o środku w punkcie S. Na okręgu leżą punkty A i C. Zaznaczony kąt środkowy A S C (rozwarty), równy alfa, oparty na łuku AC okręgu. Pomiędzy punktami A i C zaznaczono łuk okręgu.

RIgTw3FgTFLvd1

Rysunek okręgu o środku w punkcie S. Na okręgu leżą punkty A i C. Zaznaczony kąt środkowy A S C (wklęsły), równy alfa, oparty na łuku AC okręgu. Pomiędzy punktami A i C zaznaczono łuk okręgu.

Mówimy, że kąt środkowy $\alpha$ jest oparty na łuku $\mathrm{AC}$, mając na myśli łuk zaznaczony na rysunku.

• w przypadku kątów mniejszych niż $180°$, kąt środkowy jest oparty na krótszym z łuków $\mathrm{AC}$,

• w przypadku kątów większych niż $180°$, kąt środkowy oparty jest na dłuższym z łuków $\mathrm{AC}$.

• W przypadku kata równego $180°$, kąt środkowy oparty jest na półokręgu.

Rozpatrzymy teraz sytuację, w której kąt środkowy i kąt wpisany oparte są na tym samym łuku okręgu.

RNkDcmqEnDYte1

Animacja pokazuje związek kąta środkowego A S B równego beta z kątem wpisanym A C B równym alfa, opartych na tym samym łuku AB okręgu o środku w punkcie S. Zauważamy, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego.

Animacja pokazuje związek kąta środkowego A S B równego beta z kątem wpisanym A C B równym alfa, opartych na tym samym łuku AB okręgu o środku w punkcie S. Zauważamy, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1AXVoCXd

• I przypadek

Środek okręgu leży wewnątrz kąta wpisanego.

R1N5XpGTjsZUc1

Rysunek okręgu o środku w punkcie S. Na okręgu leżą punkty A, B i C. Zaznaczony kąt środkowy A S B równy alfa i kąt wpisany A C B równy beta oparte na tym samym łuku AB. Środek okręgu leży wewnątrz kąta wpisanego.

Na okręgu o środku w punkcie $S$ i promieniu $r$ zaznaczmy punkty $A$, $B$ i $C$. Niech $\alpha$ będzie kątem środkowym opartym na łuku $\mathrm{AB}$, a $\beta$ niech będzie kątem wpisanym opartym na tym samym łuku $\mathrm{AB}$.
Oznaczmy $\gamma =\left|\mathrm{\sphericalangle CAS}\right|$ oraz $\delta =\left|\mathrm{\sphericalangle SBC}\right|$. Poprowadźmy z punktu $C$ promień okręgu. Utworzone w ten sposób trójkąty $\mathrm{ACS}$ oraz $\mathrm{BCS}$ są równoramienne. Zatem w każdym z  tych trójkątów miary kątów przy podstawie są równe.

RETrXzSrfQdyV1

Rysunek okręgu o środku w punkcie S. Na okręgu leżą punkty A, B i C. Zaznaczony kąt środkowy A S B równy alfa i kąt wpisany A C B równy beta oparte na tym samym łuku AB. Środek okręgu leży wewnątrz kąta wpisanego. Zaznaczony kąt C A S równy gamma i kąt S B C równy delta.

Zatem $\left|\sphericalangle \mathrm{ACS}\right|=\left|\sphericalangle \mathrm{CAS}\right|=\gamma$ i  $\left|\sphericalangle \mathrm{BCS}\right|=\left|\sphericalangle \mathrm{CBS}\right|=\delta$ .
Wtedy

Suma miar kątów $\mathrm{ASC}$, $\mathrm{BSC}$, $\mathrm{ASB}$ jest równa $360°$

Czyli

ale

więc

• II przypadek

Środek okręgu leży na ramieniu kąta wpisanego.

Rq72r4IzgCHJu1

Rysunek okręgu o środku S. Na okręgu leżą punkty A, B i C. Zaznaczony kąt środkowy A S B równy alfa i kąt wpisany A C B równy beta oparte na tym samym łuku AB. Środek okręgu leży na ramieniu kąta wpisanego.

Trójkąt $\mathrm{BCS}$ jest równoramienny, stąd $\left|\mathrm{\sphericalangle SBC}\right|=\beta$. Zatem

Z drugiej strony $\left|\mathrm{\sphericalangle BSC}\right|+\alpha =180°$.
Zatem $180°-2\beta +\alpha =180°$, więc w tym przypadku także

• III przypadek

Środek okręgu leży na zewnątrz kąta wpisanego.

RmllHkrbW3vtz1

Rysunek okręgu o środku S. Na okręgu leżą punkty A, B i C. Zaznaczony kąt środkowy A S B równy alfa i kąt wpisany A C B równy beta oparte na tym samym łuku AB. Środek okręgu leży na zewnątrz kąta wpisanego.

Narysujmy średnicę okręgu przechodzącą przez punkt $C$.

R1e2Fku5fjRfW1

Rysunek okręgu o środku S. Na okręgu leżą punkty A, B, C i D Zaznaczony kąt środkowy A S B równy alfa i kąt wpisany A C B równy beta oparte na tym samym łuku AB. Zaznaczona średnica okręgu CD.

Oznaczmy przez $\gamma$ kąt pomiędzy narysowaną średnicą a ramieniem $\mathrm{AC}$ kąta wpisanego, jak na rysunku.
Zauważmy, że kąt $\mathrm{ASD}$ jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt $\gamma$ i jest to sytuacja opisana w przypadku II. Zatem

RznZHorgzJ25u1

Rysunek okręgu o środku S. Na okręgu leżą punkty A, B, C i D Zaznaczony kąt środkowy A S B równy alfa i kąt wpisany A C B równy beta oparte na tym samym łuku AB. Zaznaczona średnica okręgu CD. Zaznaczony kąt A C D równy gamma i kąt A S D równy dwa razy gamma.

Kąt $\gamma +\beta$ jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, co kąt środkowy $2\gamma +\alpha$ i jest to sytuacja opisana w przypadku II. Zatem

Stąd ponownie otrzymujemy

Udowodniliśmy w ten sposób twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym.

Z tego twierdzenia wynikają wprost twierdzenia zapisane poniżej.

o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku okręgu

Twierdzenie: o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku okręgu

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku okręgu mają równe miary.

RC6hsxUBQYZs61

Rysunek okręgu o środku S. Zaznaczono kąt wpisany A B C równy alfa i kąt wpisany ADC równy beta oparte na tym samym łuku okręgu AC.