Określanie wzorów funkcji danych opisem słownym i wyznaczanie wartości funkcji dla podanych argumentów - zadania

Funkcja $P\left(a\right)$ każdej liczbie dodatniej przyporządkowuje pole koła o średnicy $a$. Ustalimy wzór tej funkcji oraz obliczymy wartość funkcji dla argumentu $a=5$.

Pamiętamy, że wzór na pole koła o promieniu $r$ to $P=\pi r^2$.

Średnica ma długość dwóch promieni, zatem wzór na pole koła o średnicy $a$ to $P=\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2$. Oznacza to, że wzór tej funkcji ma postać

Obliczmy wartość tej funkcji dla argumentu $a=5$. Wówczas

Wyznaczymy wartość parametru $m$ wiedząc, że funkcja $f\left(x\right)=\left(m-2\right)x+8$ przyjmuje wartość $10$ dla argumentu $x=1$.

Zacznijmy od podstawienia podanego argumentu oraz odpowiadającej jej wartości do wzoru funkcji.

Aby wyznaczyć parametr $m$ wystarczy rozwiązać powyższe równanie.

Wypisano kolejne liczby parzyste, zaczynając od liczby $20$, czyli $20$, $22$, $24$, $\dots$. Wyznaczymy jaka liczba stoi na miejscu numer $15$.

Zacznijmy od wyznaczenia funkcji, która przyporządkowuje wartość liczby do miejsca, na którym się ona znajduje. Zauważmy, że na pierwszym miejscu stoi liczba $20$, a każda kolejna liczba jest o $2$ większa od liczby poprzedniej. Oznacza to, że wzór szukanej przez nas funkcji ma postać

gdzie $x$ oznacza numer miejsca, na którym dana liczba występuje.

Szukamy zatem wartości funkcji $f$ dla argumentu $x=15$.

Oznacza to, że na miejscu numer $15$ stoi liczba $48$.

Wyznaczymy wzór funkcji $f$, która każdej dodatniej liczbie rzeczywistej $x$ przyporządkowuje liczbę o $26\%$ większą.

Zauważmy, że jeżeli liczbę $x$ powiększymy o $26\%$ liczby $x$ to otrzymamy w rezultacie $126\%$ liczby $x$. Oznacza to, że wzór szukanej funkcji to

Wyznaczymy zależność między funkcjami $f\left(x\right)=x+5$ i $g\left(x\right)=x+9$.

Narysujemy najpierw wykresy funkcji $f$ oraz $g$.

RmO6ThuOorvlS

Ilustracja przedstawia wykresy funkcji ef od iks równa się iks plus pięć i gie od iks równa się iks plus dziewięć. Wykres funkcji ef jest prostą przechodzącą przez punkty o współrzędnych minus pięć i zero oraz zero i pięć. Wykres funkcji gie jest prostą przechodzącą przez punkty o współrzędnych minus dziewięć i zero oraz zero i dziewięć.

Zauważmy, że wykresy obu funkcji są prostymi równoległymi. Możemy stwierdzić, że wykres funkcji $g$ powstał w wyniku przesunięcia równoległego wzdłuż osi $OY$ wykresu funkcji $f$. Oznacza to, że różnica wartości tych funkcji dla każdego argumentu musi być taka sama. Obliczmy wartości obu funkcji dla argumentu $x=0$.

Oznacza to, że $g\left(x\right)=f\left(x\right)+4$ dla każdego $x$.

Wyznaczymy zależność między funkcjami $f\left(x\right)=x+4$ i $g\left(x\right)=x+6$.

Narysujemy najpierw wykresy funkcji $f$ oraz $g$.

R1PyPAgxDRgQC

Ilustracja przedstawia wykresy funkcji ef od iks równa się iks plus cztery i gie od iks równa się iks plus sześć. Wykres funkcji ef jest prostą przechodzącą przez punkty o współrzędnych minus cztery i zero oraz zero i cztery. Wykres funkcji gie jest prostą przechodzącą przez punkty o współrzędnych minus sześć i zero oraz zero i sześć.

Zauważmy, że wykresy obu funkcji są prostymi równoległymi. Możemy stwierdzić, że wykres funkcji $g$ powstał w wyniku przesunięcia równoległego wzdłuż osi $OX$ wykresu funkcji $f$. Oznacza to, że różnica argumentów tych funkcji dla każdej wartości musi być taka sama. Obliczmy argumenty obu funkcji dla wartości $y=0$.

Oznacza to, że $g\left(x\right)=f\left(x+2\right)$ dla każdego $x$.

Zapiszemy wzór funkcji $f$, która każdej dodatniej liczbie rzeczywistej $x$ przyporządkowuje wartość o $5$ mniejszą od liczby $2$ razy większej od $x$.

Zauważmy, że dla każdego $x$ liczba $2$ razy większa od $x$ to $2x$. Dodatkowo otrzymane wartości należy pomniejszyć o $5$. Oznacza to, że funkcja $f$ określona jest wzorem

Kolarz na treningu pokonuje jedno okrążenie toru o długości $200$ metrów ze średnią prędkością $20 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Wyznaczymy wzór funkcji, który opisuje czas potrzebny kolarzowi na pokonanie ustalonej liczby okrążeń.

Zacznijmy od wyznaczenia czasu w jakim kolarz pokona jedno okrążenie. Zauważmy, że $200 \mathrm{m}=0,2 \mathrm{km}$. Wykorzystajmy wzór na prędkość

zatem czas potrzebny do pokonania jednego okrążenia to

Oznacza to, że wzór poszukiwanej funkcji ma postać

gdzie $x$ to liczba przejechanych okrążeń. Wartościami tej funkcji będzie czas potrzebny na pokonanie $x$ okrążeń wyrażony w godzinach.

Rozpatrzmy wszystkie liczby trzycyfrowe, których cyfra setek jest równa $x$ i cyfra dziesiątek jest równa $x$, a suma wszystkich cyfr wynosi $8$. Funkcja $f$ argumentowi $x$ przypisuje iloczyn cyfr danej liczby. Obliczymy $f\left(3\right)$.

Zacznijmy od ustalenia jaka jest cyfra jedności rozważanej liczby. Ponieważ suma wszystkich cyfr wynosi $8$, a cyfrą setek i dziesiątek jest cyfra $3$, to cyfrą jedności tej liczby musi być cyfra $2$.

Oznacza to, że