Pole figury

Wiemy już, jak zmierzyć odcinek. Znamy podstawowe jednostki długości: $mm$ , $cm$ , $dm$ , $m$ , $km$ . Mierzyliśmy też kąty, posługując się jednostką miary, jaką jest stopień.
A jak zmierzyć pole powierzchni figury?

Przykład 1

Policz, ile kratek zawiera każda figura.

RYCmUiSRfU08k1

Rysunek trzech figur leżących na kratownicy, wierzchołki w punktach kratowych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RxnK82x0xDIr31

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DCUIIo7FO

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

Który z tych ośmiokątów zajmuje największą liczbę kratek?

Ważne!

Jedną z podstawowych jednostek pola jest $1$ centymetr kwadratowy, który zapisujemy $1 {cm}^{2}$ .
$1 {cm}^{2}$ to pole kwadratu o boku długości $1 cm$ .

R1IUYY082WPLz1

Rysunek kwadratu o boku jednego centymetra i figury złożonej z sześciu jednakowych kwadratów. Pole kwadratu wynosi 1 centymetr kwadratowy, a pole figury wynosi 6 centymetrów kwadratowych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Zapisz, z ilu małych kwadratów zbudowana jest figura.

RYRsD3HyzQj9b1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RSDT6BFFXoi6L1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1ToGI5HurnBM1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$8$ kratek
$11$ kratek
$10$ kratek

Ćwiczenie 2

Która z poniższych figur ma większe pole i dlaczego?

R99EIpjkJpB2e1

Rysunek figur leżących na kratownicy. Na pierwszym rysunku trójkąt o polu równym połowie kwadratu kratownicy. Na drugim rysunku sześciokąt o polu równym trzy czwarte kwadratu kratownicy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Jakie pole miałaby narysowana figura, gdyby bok jednej kratki miał długość $1 cm$ ?

RemcL5I9HJPa81
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RXKj4AlpGU4qh1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1To31HKSFBzu1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1AHhTg8enyzC1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$11$
$10$
$10$
$11$

Ćwiczenie 4

Narysuj dowolną figurę, której pole jest równe

$6 {cm}^{2}$
$9 {cm}^{2}$
$15 {cm}^{2}$

Ćwiczenie 5

Rfx2EAhdP8UYX1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DCUIIo7FO

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Podstawowe jednostki pola

R14UQDljYewcW1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DCUIIo7FO

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

Pola figur narysowanych w książce lub w zeszycie możemy określić w centymetrach kwadratowych.
Pola wyrażamy w innych jednostkach.

Ważne!

Podstawowe jednostki pola to

$1$ milimetr kwadratowy $(1 {m m}^{2})$
$1$ centymetr kwadratowy $(1 {c m}^{2})$
$1$ decymetr kwadratowy $(1 {dm}^{2})$
$1$ metr kwadratowy $(1 m^{2})$
$1$ ar $(1 a), 1$ hektar $(1 ha)$
$1$ kilometr kwadratowy $(1 {km}^{2})$

Ważne!

$1 {mm}^{2}$ to pole kwadratu o boku długości $1 mm$
$1 {cm}^{2}$ to pole kwadratu o boku długości $1 cm$
$1 {dm}^{2}$ to pole kwadratu o boku długości $1 dm$
$1 m^{2}$ to pole kwadratu o boku długości $1 m$
$1 a$ to pole kwadratu o boku długości $10 m$
$1 ha$ to pole kwadratu o boku długości $100 m$
$1 {km}^{2}$ to pole kwadratu o boku długości $1 km$

classicmobile

Ćwiczenie 6

Rlef9dD7oF2vU1

Wybierz jednostkę, w której najlepiej wyrazić

$m^{2}$ , ${dm}^{2}$ , a, ${mm}^{2}$ , $m m^{2}$ , ${km}^{2}$ , ${mm}^{2}$ , ${cm}^{2}$ , $m^{2}$ , ${km}^{2}$ , ${mm}^{2}$ , ${km}^{2}$ , $m^{2}$ , ${km}^{2}$ , ha, ${cm}^{2}$ , ${mm}^{2}$ , ${dm}^{2}$ , ${dm}^{2}$ , a, ${cm}^{2}$ , ${dm}^{2}$ , ${km}^{2}$ , ha, ${km}^{2}$ , ${dm}^{2}$ , $m^{2}$ , ha, ha, ${dm}^{2}$ , ${cm}^{2}$ , $m^{2}$ , ha, ${cm}^{2}$ , a, a, $m^{2}$ , ${mm}^{2}$ , a

a) pole powierzchni pól uprawnych w gospodarstwie rolnym. ............
b) pole powierzchni podłogi w pokoju. ............
c) pole powierzchni skrzydeł muchy. ............
d) pole powierzchni Polski. ............
e) pole powierzchni niedużej działki rekreacyjnej. ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

static

Ćwiczenie 7

Korytarz szkolny ma kształt prostokąta o wymiarach $5 m$ i $20 m$ . Czy jego pole powierzchni jest większa czy mniejsza od ara? Wykorzystaj rysunki i uzupełnij zdania.

RyqW3OWJTBI0A1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Prostokąt można podzielić na dwa takie same prostokąty o wymiarach … $m$ i … $m$ i złożyć z nich ….
RXMVreIKlCxzY1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Długość boku otrzymanego kwadratu wynosi … $m$ , zatem jego pole to … $a$ . Powierzchnia korytarza wynosi dokładnie … $a$ .

$5, 10,$ kwadrat
$10, 1, 1$

Ćwiczenie 8

Szkolne boisko w kształcie prostokąta ma wymiary $60 m$ i $25 m$ . Ile arów wynosi powierzchnia tego boiska? Uzupełnij zdania.

R1cvD1Plu0nxg1

Rysunek prostokąta leżącego na kratownicy, wierzchołki w punktach kratowych. Prostokąt ma boki długości 25 metrów i 60 metrów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rzeczywista długość boku brązowego kwadratu wynosi $\dots m$ .
Pole tego kwadratu jest równe $1 \dots$ .
Powierzchnia boiska składa się z $\dots$ takich kwadratów, jest zatem równa $\dots a$ .

$10$
$a$ lub ar
$15, 15$

Zamiana jednostek

RavQcfndwPfsd1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DCUIIo7FO

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

Sprawdźmy, ile mniejszych jednostek pola mieści się w kolejnej, większej jednostce. W tym celu wykorzystamy kilkakrotnie ten sam rysunek, ale sporządzony w różnych skalach.

R1VxmyqY0DPx81

Rysunek kwadratu o polu równym 1 decymetr kwadratowy podzielonego na 100 jednakowych kwadratów jednostkowych, każdy o boku 1 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Bok małego kwadratu ma długość $1 cm$ , zatem jego pole to $1 {cm}^{2} .$

W dużym kwadracie mieści się $100$ małych kwadratów.
Zatem

1 d m^{2} = 100 c m^{2} .

Wyobraźmy sobie, że kwadrat o boku długości $1 dm$ zmniejszamy dziesięciokrotnie i umieszczamy go w dużym kwadracie o boku dziesięciokrotnie dłuższym.

R1bCUd7BYqAMA1

Rysunek kwadratu o boku 1 metra podzielonego 100 małych kwadratów o boku 1 decymetra każdy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Bok małego kwadratu ma długość $1 dm$ . Jego pole to $1 {dm}^{2}$ .

Zatem

1 m^{2} = 100 {dm}^{2} .

Teraz kwadrat o boku $1 m$ zmniejszamy stukrotnie i umieszczamy go w dużym kwadracie o boku dziesięciokrotnie dłuższym.

R1O6P83A6jXw61

Rysunek kwadratu o boku 10 metrów podzielonego na 100 małych kwadratów o boku 1 metra każdy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Bok małego kwadratu ma długość $1 m$ . Jego pole to $1 m^{2} .$

Zatem

1 a = 100 m^{2} .

Na kolejnym rysunku mały kwadrat ma bok długości $10 m .$

R1VOlcbdVx1JM1

Rysunek kwadratu o boku 100 metrów podzielonego na małe kwadraty o boku 10 metrów każdy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Bok małego kwadratu ma długość $10 m$ . Jego pole to $1 a$ .

Bok dużego kwadratu jest $10$ razy dłuższy, więc ma długość $100 m$ . Jego pole to $1 ha .$

Zatem

1 ha = 100 a .

Mały kwadrat na rysunku ma bok długości $100 m$ .

R19ezwPQiFiio1

Rysunek kwadratu o boku 1000 metrów podzielonego na 100 małych kwadratów o boku 100 metrów każdy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Bok małego kwadratu ma długość $100 m$ . Jego pole to $1 ha .$

Bok dużego kwadratu ma długość $1000 m$ , czyli $1 km$ . Jego pole to $1 {km}^{2} .$

Zatem

1 k m^{2} = 100 ha

Jeżeli kwadrat o boku długości $1 mm$ dziesięciokrotnie powiększymy, to otrzymamy taki rysunek:

RtsiesodJH5ro1

Rysunek kwadratu o boku 1 centymetra podzielonego na 100 małych kwadratów o boku 1 milimetra każdy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Bok małego kwadratu ma teraz długość $1 mm$ . Jego pole to $1 m m^{2}$ .

Bok dużego kwadratu ma długość $1 cm$ . Jego pole to $1 c m^{2} .$

Zatem

1 {cm}^{2} = 100 m m^{2}

classicmobile

Ćwiczenie 9

R1Vwz36vWy9rc1

Uzupełnij.

a) ${2 cm}^{2} =$ ............ ${mm}^{2}$
b) ${33 dm}^{2} =$ ............ ${cm}^{2}$
c) $5 a =$ ............ $m^{2}$
d) $14 ha =$ ............ $a$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

static

classicmobile

Ćwiczenie 10

RCDMsEo6OuHqx1

Uzupełnij.

a) ............ ${mm}^{2} =$ ${1,5 cm}^{2}$
b) ............ ${dm}^{2} =$ ${8,5 m}^{2}$
c) ............ $m^{2} =$ $0,01 a$
d) ............ $ha = {0,02 km}^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

static

Ćwiczenie 11

W każdym wierszu skreśl wyrażenia oznaczające równe pola, ale zapisane w różnych jednostkach.
Litery na pozostałych polach, czytane z góry na dół, dadzą hasło. Odczytaj je i wpisz w kratki. Sprawdź, co to hasło oznacza.

Tabela. Dane
$3 d m^{2}$ $K$	$0,03 m^{2}$ $B$	$300 c m^{2}$ $C$	$0,30 m^{2}$ $M$	$30000 m m^{2}$ $A$
$500 d m^{2}$ $R$	$0,05 ha$ $O$	$5 m^{2}$ $L$	$50000 c m^{2}$ $T$	$0,05 a$ $Z$
$1000 m^{2}$ $Ę$	$100000 d m^{2}$ $O$	$10 a$ $L$	$0,10 ha$ $A$	$1000 ha$ $R$
$0,015 k m^{2}$ $A$	$15000 m^{2}$ $W$	$105 a$ $G$	$1,5 ha$ $Ś$	$150 a$ $M$
$4000 m^{2}$ $A$	$400 a$ $S$	$0,04 k m^{2}$ $O$	$40000 m^{2}$ $B$	$4 ha$ $Ć$

Tabela. Dane
			$0,30 m^{2}$ $M$
	$0,05 ha$ $O$
				$1000 ha$ $R$
		$105 a$ $G$
$4000 m^{2}$ $A$

Trening mistrza – ćwiczenia przed sprawdzianem

Pole prostokąta, pole kwadratu

Pole figury. Jednostki pola

Pole figury

Podstawowe jednostki pola

Zamiana jednostek