Własności prostopadłościanu i sześcianu

Przypomnijmy najważniejsze własności prostopadłościanu i sześcianu.

RmJNh6cTxfB0U1

Rysunek sześcianu i prostopadłościanu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Siatka prostopadłościanu

RZgOqHY6k5J2P1

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja 3D pokazuje kolumny. Kreślone są krawędzie jednej kolumny – powstaje prostopadłościan. Dwa jednakowe prostopadłościany rozkładają się na dwie różne siatki prostopadłościanu.

Siatka prostopadłościanu

R8diH9BEOdtba1

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja 3D pokazuje dwie różne siatki prostopadłościanu, które składają się w jednakowe prostopadłościany. Prostopadłościan zmienia się w kolumnę, która stoi obok innych kolumn.

Siatka sześcianu

R17lAXXZmKmlK1

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja 3D pokazuje leżące na stole kostki do gry. Kreślone są krawędzie jednej kostki – powstaje sześcian. Dwa jednakowe sześciany rozkładają się na dwie różne siatki sześcianu.

Siatka sześcianu

R1EgN3tj6cmXF1

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja 3D pokazuje dwie różne siatki sześcianu, które składają się w jednakowe sześciany. Sześcian zamienia się w kostkę do gry, która leży z innymi kostkami na stole.

Ćwiczenie 1

R1EWuylADaD7T1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iQfrn0QRsc_d5e159

Obliczanie pola powierzchni prostopadłościanu

Już wiesz

R1d2d02r8u9jg1

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja 3D pokazuje prostopadłościan, który rozkłada się na siatkę prostopadłościanu. Zaznaczone są pola poszczególnych ścian: P = a razy b, P = b razy c, P = a razy c. Zapis: P = 2a razy b +2b razy c +2a razy c.

Ćwiczenie 2

RhI6iRXDuWwVb1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

P = P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4} + P_{5} + P_{6}

RvK3N1ZsVUS1F1

Rysunek siatki prostopadłościanu. Zaznaczone pola poszczególnych ścian: P indeks dolny jeden, P indeks dolny dwa, P indeks dolny trzy, P indeks dolny cztery, P indeks dolny pięć, P indeks dolny sześć. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W prostopadłościanie są trzy pary ścian o tych samych wymiarach, czyli także o tych samych polach:

P_{1} = P_{3} P_{2} = P_{4} P_{5} = P_{6}

Pole powierzchni prostopadłościanu możemy także obliczyć, korzystając ze wzorów:

P = 2 ∙ (a ∙ b + a ∙ c + b ∙ c)

lub

P = 2 ∙ a ∙ b + 2 ∙ a ∙ c + 2 ∙ b ∙ c

gdzie: $a, b$ i $c$ to wymiary prostopadłościanu.

RI5VePrerKXBa1

Rysunek prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

R9n1Jm6s3zgyt1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R1HeNoXdY9BXb1

Przeciągnij i upuść pola powierzchni prostopadłościanów o podanych wymiarach.

$195, 2 m^{2}$ , $206 m^{2}$ , $38 {cm}^{2}$ , $1 952 {dm}^{2}$ , $0, 0038 {dm}^{2}$ , $15 200 {cm}^{2}$ , $15, 2 m^{2}$ , $206 000 {cm}^{2}$

a) $1 cm \times 3 cm \times 4 cm$ ,    $P =$ ....................
b) $2 dm \times 6 dm \times 8 dm$ ,    $P =$ ....................
c) $30 dm \times 500 cm \times 11 m$ ,    $P =$ ....................
d) $40 cm \times 4 dm \times 12 m$ ,    $P =$ ....................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iQfrn0QRsc_d5e306

Obliczanie pola powierzchni sześcianu

Już wiesz

RnIeWyzaiEWiZ1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja 3D pokazuje sześcian, który rozkłada się na siatkę sześcianu o krawędzi długości a. Zapis P = 6 razy a do kwadratu.

Ćwiczenie 5

Rh1B9mBwqjmjQ1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Oblicz pole powierzchni sześcianu, jeżeli suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu wynosi

$60 cm$
$84 cm$
$96 cm$

$150 {cm}^{2}$
$294 {cm}^{2}$
$384 {cm}^{2}$

Ćwiczenie 7

Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi sześcianu, jeżeli jego pole powierzchni wynosi

$1,5 {cm}^{2}$
$8,64 {cm}^{2}$
$2,94 {cm}^{2}$

Możesz skorzystać z kalkulatora.

$6 cm$
$14,4 cm$
$8,4 cm$

iQfrn0QRsc_d5e424

classicmobile

Ćwiczenie 8

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1Js21al7JSax

Pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach $1 x 1 x 3$ jest $4$ razy mniejsze od pola powierzchni prostopadłościanu o wymiarach $2 x 2 x 6$ .
Sześcian o krawędzi długości $3$ ma pole powierzchni o $2$ mniejsze od pola powierzchni prostopadłościanu o wymiarach $2 x 3 x 4$ .

static

Ćwiczenie 8

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1PH8535qsG6k

Pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach $1 x 1 x 3$ jest $4$ razy mniejsze od pola powierzchni prostopadłościanu o wymiarach $2 x 2 x 6$ .
Sześcian o krawędzi długości $3$ ma pole powierzchni o $2$ mniejsze od pola powierzchni prostopadłościanu o wymiarach $2 x 3 x 4$ .

Ćwiczenie 9

Jakie wymiary i jakie pole powierzchni ma sześcian, którego siatkę można wykonać wykorzystując cały arkusz papieru przedstawiony na rysunku? Z arkusza wycinamy pojedyncze ściany, z których następnie formujemy siatkę. Kratka ma bok długości $1$ .

RWOEbmOlFV3R01

Rysunek dwóch prostokątnych arkuszy papieru o bokach długości 6 i 4 oraz 3 i 18. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wymiary: $2 x 2 x 2$ , pole: $24$
Wymiary: $3 x 3 x 3$ , pole: $54$

Ćwiczenie 10

Jakie wymiary i jakie pole powierzchni może mieć prostopadłościan, którego siatkę można wykonać wykorzystując cały arkusz papieru przedstawiony na rysunku? Z arkusza wycinamy pojedyncze ściany, z których następnie formujemy siatkę. Kratka ma bok długość $1$ .

R1ApQ3zY6CIfZ1

Rysunek dwóch prostokątnych arkuszy papieru o bokach długości 7 i 4 oraz 6 i 5. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wymiary $1 x 2 x 4$ , pole: $28$
$1 x 3 x 3$ , pole: $30$

Ćwiczenie 11

Skrzynka na owoce ma wymiary zewnętrzne: $50 cm$ (długość), $60 cm$ (szerokość) i $40 cm$ (wysokość). Jakie jest „zewnętrzne” pole powierzchni tej skrzynki? Podaj wynik w decymetrach kwadratowych.

Pole powierzchni tej skrzynki wynosi $118 {dm}^{2}$ (skrzynka nie ma górnej ściany - pokrywki).

Graniastosłupy proste

Objętość prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu

Własności prostopadłościanu i sześcianu

Obliczanie pola powierzchni prostopadłościanu

Obliczanie pola powierzchni sześcianu