Wokół nas poruszają się zarówno ludzie, jak i zwierzęta, rzeczy czy pojazdy. Ruch jest zjawiskiem powszechnym. Opisując ruch używamy trzech pojęć: drogi, prędkości i czasu.
Prędkość, droga i czas to ważne pojęcia, z którymi spotykamy się nie tylko na matematyce, ale także na przyrodzie, fizyce i biologii.

Prędkość

W rzeczywistości obiekty poruszają się z różną prędkością. Na przykład samochód musi czasami zwolnić, a czasami może przyspieszyć. Dlatego mówiąc o prędkości mamy na myśli średnią prędkość.
Na przykład, jeśli samochód w czasie $2$ godzin przejechał drogę $180 km$ , to znaczy, że w czasie $1$ godziny przejechał $90$ kilometrów. Mówimy, że jego średnia prędkość wynosiła $90$ kilometrów na godzinę.
Zapisujemy to krótko: $90 \frac{km}{h}$ lub $90 km / h$ .

Gdy wiemy, jaką drogę i w jakim czasie pokonał dany obiekt, możemy obliczyć z jaką prędkością się poruszał.

Przykład 1

Kierowca w ciągu $3$ godzin przejechał odległość $210 km$ . Obliczmy, z jaką średnią prędkością się poruszał.
Kierowca pokonał $210 km$ w czasie $3$ godzin, zatem w ciągu $1$ godziny pokonał $70 km$ .
To oznacza, że poruszał się ze średnia prędkością $70 \frac{km}{h}$ .
Obliczenia możemy zapisać krótko:

Rl2Buvm6Nruml1

Zapis proporcji: 210 km - 3 h i poniżej 70 km – 1 h. 210 km dzielone przez 3 =70 km, to 3 h dzielone przez 3 =1 h. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź: Kierowca poruszał się ze średnią prędkością $70 \frac{km}{h}$ .

Przykład 2

Pieszy przeszedł $2,4 km$ w ciągu pół godziny. Z jaką średnią prędkością się poruszał?

sposób $I$
RYshtV6Wfk8H41
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Odpowiedź: Pieszy poruszał się ze średnią prędkością $4,8 \frac{km}{h}$ .
sposób $II$

Obliczenia można wykonać w innych jednostkach.

RHVfBYsOPKQZ51

Zapis proporcji: 2400 m – 30 min i 80 m – 1 min. 2400 m dzielone przez 30 = 80 m i 30 min dzielone przez 30 =1 min. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź: Prędkość pieszego wynosiła $80 \frac{m}{\min}$ .

Ćwiczenie 1

R1W6raUySSx2G1

Pojazd przejechał daną drogę w podanym czasie. Oblicz, z jaką średnią prędkością się poruszał.

Przeciągnij i upuść.

$60$ , $80$ , $8$ , $30$ , $40$ , $20$

a) Droga: $240 km$
Czas: $4 h$
Prędkość: ............ $\frac{km}{h}$

b) Droga: $400 km$
Czas: $5 h$
Prędkość: ............ $\frac{km}{h}$

c) Droga: $360 km$
Czas: $9 h$
Prędkość: ............ $\frac{km}{h}$

d) Droga: $1 200 m$
Czas: $40 min$
Prędkość: ............ $\frac{m}{min}$

e) Droga: $56 m$
Czas: $7 s$
Prędkość: ............ $\frac{m}{s}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Rtr41ZZH5ht3r1

Pani Karolina przejechała trasę $382, 5 km$ w ciągu $4 h 30 min$ , a pani Natalia trasę $66 km$ w ciągu $45 min$ . Oblicz, która z pań jechała z większą prędkością i o ile większą.

Uzupełnij.

Pani Karolina:
$382, 5 km - 4, 5 h | \cdot 2$
............ $km -$ ............ $h | :$ ............
............ $km - 1 h$
Prędkość pani Karoliny: ............ $\frac{km}{h}$

Pani Natalia:
............ $km - \frac{3}{4} h | : 3$
............ $km - \frac{1}{4} h | \cdot$ ............
............ $km - 1 h$
Prędkość pani Natalii: ............ $\frac{km}{h}$

Odpowiedź: Z większą prędkością jechała pani .............. . Jej prędkość była większa o ............ $\frac{km}{h}$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Słoń porusza się w biegu z prędkością $11 \frac{m}{s}$ . Z jaką prędkością, wyrażoną w kilometrach na godzinę, porusza się wówczas słoń?

R192h8Wj37Bul1

Zapis proporcji: 11 m – 1 s i poniżej 660 – 60 s. 11 m razy 60 =660 m i 1 s razy 60 =60 s. Proporcja: 0,66 km – 1 min i poniżej 39,6 km – 60 min. 0,66 km razy 60 = 39,60 km i 1 min razy 60 =60 min. 39,6 km – 1 h. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź: Słoń porusza się z prędkością $39,6 \frac{km}{h}$ .
Z powyższych obliczeń możemy także wywnioskować, że prędkość słonia wynosiła $660 \frac{m}{\min}$ , a także $0,66 \frac{km}{\min}$ czy $39600 \frac{m}{h}$ .

inNRKhJLU6_d5e307

Droga

Jeżeli znamy prędkość poruszającego się np. pojazdu, to możemy obliczyć, jaka drogę pokona ten pojazd w określonym czasie.

Ćwiczenie 3

R1Kwv0vTEQMja1

Dwa samochody jadą z różną prędkością. Samochód $A$ porusza się z prędkością $60 \frac{km}{h}$ , natomiast samochód $B$ porusza się z prędkością $80 \frac{km}{h}$ .

Uzupełnij.

Droga przebyta przez samochód $A$ (w kilometrach)
po 1 godzinie: ............
po 2 godzinach: ............
po 3 godzinach: ............
po 4 godzinach: ............

Droga przebyta przez samochód $B$ (w kilometrach)
po 1 godzinie: ............
po 2 godzinach: ............
po 3 godzinach: ............
po 4 godzinach: ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R1cP3G18nf7Jd1

Samochód jedzie z prędkością $90 \frac{km}{h}$ . Jaką drogę przejedzie we wskazanym czasie?

Uzupełnij.

Droga przejechana przez samochód (w kilometrach)
po $1$ godzinie: ............
po $1, 5$ godziny: ............
po $2$ godzinach: ............
po $2, 5$ godziny: ............
po $4$ godzinach: ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

R1KaDCuUww3UO1

Janek szedł z prędkością $64 \frac{m}{min}$ . Jaką drogę pokonał we wskazanym czasie?

Uzupełnij.

Droga przebyta przez Janka (w metrach)
po $1$ minucie: ............
po $2, 5$ minutach: ............
po $10$ minutach: ............
po $15$ minutach: ............
po $60$ minutach: ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

R1MahYfkYT3311

Uzupełnij.

a) Rowerzysta porusza się z prędkością $18 \frac{km}{h}$ . Jaką odległość pokona w czasie:
$1 h ⟶$ ............ $km$ ,    $30 min ⟶$ ............ $km$ ,    $30 s ⟶$ ............ $m$ .
b) Kangur porusza się z prędkością $20 \frac{m}{s}$ . Jaką odległość pokona w czasie:
$8 s ⟶$ ............ $m$ ,    $5 min ⟶$ ............ $km$ ,    $1 h ⟶$ ............ $km$ .
c) Ślimak porusza się z prędkością $6 \frac{cm}{min}$ . Jaką odległość pokona w czasie:
$15 min ⟶$ ............ $cm$ ,    $5 h ⟶$ ............ $m$ ,    $30 s ⟶$ ............ $cm$ .
d) Rakieta porusza się z prędkością $8 \frac{km}{s}$ . Jaką odległość pokona w czasie:
$30 s ⟶$ ............ $km$ ,    $2 min ⟶$ ............ $km$ ,    $1 h ⟶$ ............ $km$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Czas

Ćwiczenie 7

R1XjbhjhUA4lX1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Gdy wiemy, jaką drogę i z jaką prędkością poruszał się jakiś, to możemy obliczyć czas tego ruchu.

Przykład 4

Pewien samochód przejechał $140 km$ ze średnią prędkością $70 \frac{km}{h}$ . Obliczmy, ile czasu trwała ta podróż.
Skoro samochód poruszał się z prędkością $70 \frac{km}{h}$ , to znaczy, że przejechał $70 km$ w czasie $1 h$ .

RJDxKAQphNN9N1

Zapis proporcji: 70 km – 1 h i poniżej 140 km – 2 h. 70 km razy 2 =140 km i 1 h razy 2 =2 h. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź: Podróż trwała $2 h$ .

Ćwiczenie 8

R1OFDCMNH7g9s1

Uzupełnij czas w jakim obiekt pokona daną drogę z podaną prędkością.

a) Droga: $420 km$
Prędkość: $60 \frac{km}{h}$
Czas: ............ $h$

b) Droga: $320 km$
Prędkość: $80 \frac{km}{h}$
Czas: ............ $h$

c) Droga: $400 m$
Prędkość: $5 \frac{m}{s}$
Czas: ............ $s$

d) Droga: $8 000 m$
Prędkość: $4 \frac{km}{h}$
Czas: ............ $h$

e) Droga: $1 km$
Prędkość: $2 \frac{m}{s}$
Czas: ............ $s$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Oblicz czas i uzupełnij zdania.

Pociąg jadąc ze stałą prędkością $60 \frac{km}{h}$ przebył drogę $20 km$ . Podróż trwała … minut.
Samolot lecąc z prędkością $800 \frac{km}{h}$ pokonał odległość $200 km$ . Podróż trwała … minut.
Pieszy szedł z prędkością $70 \frac{m}{\min}$ i pokonał dystans $7 km$ . Pieszy szedł … minut.
Koń cwałując z prędkością $18 \frac{m}{s}$ pokonał drogę $1080 m$ . Cwał konia trwał … sekund.

$20$
$15$
$100$
$60$

Prędkość, droga i czas – zadania różne

Ćwiczenie 10

Samochód zużywa $24 l$ benzyny na trasie $320 km$ . Oblicz, ile km przejedzie samochód z tą samą prędkością zużywając $6 l$ .

Samochód przejedzie $80 km$ .

Ćwiczenie 11

Odległość między Adamowem i Piotrkowem jest równa $195 km$ . Oblicz, z jaką średnią prędkością jedzie pociąg, jeżeli z Adamowa wyjeżdża o godzinie $19 : 17$ , a w Piotrkowie jest o godzinie $21 : 47$ .

Pociąg jedzie z prędkością $78 \frac{km}{h}$ .

classicmobile

Ćwiczenie 12

Kierowca przejechał drogę z Kazimierza do miasta Łańcuta w ciągu $2$ godzin, a drogę powrotną w czasie o $10$ minut krótszym. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Rq4SAj1d2oDMj

Kierowca jechał w obie strony z taką samą prędkością.
Kierowca jechał z Kazimierza do Łańcuta szybciej niż z powrotem.
Kierowca jechał z Kazimierza do Łańcuta wolniej niż z powrotem.
Nie można stwierdzić, w którą stronę jechał szybciej, gdyż nie znamy odległości między miastami.

static

Ćwiczenie 12

Kierowca przejechał drogę z Kazimierza do miasta Łańcuta w ciągu $2$ godzin, a drogę powrotną w czasie o $10$ minut krótszym. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1NuBpKhvFwTM

Kierowca jechał w obie strony z taką samą prędkością.
Kierowca jechał z Kazimierza do Łańcuta szybciej niż z powrotem.
Kierowca jechał z Kazimierza do Łańcuta wolniej niż z powrotem.
Nie można stwierdzić, w którą stronę jechał szybciej, gdyż nie znamy odległości między miastami.

inNRKhJLU6_d5e678

Doganianie, oddalanie, spotykanie

Obserwując, czy rozważając ruch, dostrzegamy również takie sytuacje jak: wymijanie, doganianie, spotykanie i oddalenie się obiektów.

Przykład 5

Maja zauważa Sonię z odległości $40 m$ i zaczyna ją gonić. Sonia ucieka z prędkością $3 \frac{m}{s}$ , a Maja goni ją z prędkością $5 \frac{m}{s}$ . Po jakim czasie Maja dogoni Sonię?
W ciągu $1$ sekundy odległość między dziewczynkami zmniejsza się o

2 m (5 m - 3 m) .

Ponieważ

40 : 2 = 20

więc Maja dogoni Sonię w ciągu $20 s$ .

Ćwiczenie 13

Krzyś goni Kubę. Krzyś biegnie z prędkością $6 \frac{m}{s}$ , a Kuba ucieka przed nim z prędkością $3 \frac{m}{s}$ . Po jakim czasie Krzyś dogoni Kubę, jeśli początkowo byli oddaleni od siebie o $30 m$ .

Krzyś dogoni Kubę po $10 s$ .

Ćwiczenie 14

Wilk zobaczył zająca w odległości $140 m$ i zaczął go gonić z prędkością $20 \frac{m}{s}$ . W tym samym czasie zając zobaczył wilka i zaczął uciekać z prędkością $15 \frac{m}{s}$ . Do bezpiecznej nory zając miał $300 m$ . Ile sekund brakowało wilkowi, żeby złapać zająca?

Wilkowi brakowało $2 s$ .

Przykład 6

Oliwia i Julka zobaczyły się z odległości $120 m$ . Uradowane zaczęły biec naprzeciw siebie, Oliwia z prędkością $7 \frac{m}{s}$ , a Julka $5 \frac{m}{s}$ . Po jakim czasie dziewczynki spotkały się (dobiegły do siebie)?
W ciągu $1$ sekundy odległość między dziewczynkami zmniejsza się o

12 m (7 m + 5 m)

Ponieważ

120 : 12 = 10

więc dziewczynki spotkają się po $10 s$ .

Ćwiczenie 15

Kamil i Tomek zaczęli biec naprzeciw siebie z odległości $200 m$ . Kamil biegł z prędkością $6 \frac{m}{s}$ , a Kuba z prędkością $4 \frac{m}{s}$ . Po jakim czasie chłopcy się spotkali?

Chłopcy spotkali się po $20 s$ .

Przykład 7

Andrzej i Jola rozstają się. Zaczynają biec i oddalać się od siebie w przeciwnych kierunkach, wzdłuż tej samej ulicy. Andrzej biegnie z prędkością $6 \frac{m}{s}$ , a Jola z prędkością $3 \frac{m}{s}$ . Po ilu sekundach znajdą się od siebie w odległości $270 m$ ?
W ciągu $1$ sekundy odległość między nimi zwiększa się o

9 m (6 m + 3 m)

Ponieważ

270 : 9 = 30

więc oddalą się na odległość $270 m$ po $30 s$ .

Ćwiczenie 16

Dwa pociągi ruszyły jednocześnie z tej samej stacji, ale w przeciwnych kierunkach. Jaka będzie odległość między nimi po $2$ godzinach, jeśli jeden pociąg jedzie z prędkością $80 \frac{km}{h}$ , a drugi z prędkością $90 \frac{km}{h}$ ?

Po $2$ godzinach pociągi będą oddalone o $340 km$ .

Ćwiczenie 17

Pociąg jechał przez $4$ godziny z prędkością $75 \frac{km}{h}$ , a następnie przez $2$ godziny z prędkością $120 \frac{km}{h}$ . Oblicz, z jaką średnią prędkością ten pociąg pokonał całą trasę.

Pociąg jechał ze średnią prędkością $90 \frac{km}{h}$ .

Ćwiczenie 18

Marcin przez godzinę szedł szybko, z prędkością $6 \frac{km}{h}$ , ale zmęczył się i przez następne pół godziny szedł z prędkością $5 \frac{km}{h}$ . Ostanie pół godziny Marcin szedł bardzo wolno z prędkością $3 \frac{km}{h}$ .
Z jaką średnią prędkością przeszedł Marcin całą swoją drogę?

Marcin przeszedł drogę ze średnią prędkością $5 \frac{km}{h}$ .

Długość odcinka w skali

Procenty w życiu codziennym

Prędkość, droga i czas

Prędkość

Droga

Czas

Prędkość, droga i czas – zadania różne

Doganianie, oddalanie, spotykanie