Prezentacja. Przykład pierwszy. Wyprowadzimy zór na sumę n kolejnych początkowych liczb naturalnych nieparzystych. Ciąg $\left(a_n\right)$ określony jest wzorem ogólnym $a_n=2n-1$ dla n większych lub równych jeden. Obliczamy kilka sum częściowych. Każda z sum jest kwadratem liczby naturalnej. Sumy: $S_1=1=1^2$, $S_2=1+3=2^2$, $S_3=1+3+5=3^2$, $S_4=1+3+5+7=4^2$, $S_5=1+3+5+7+9=5^2$ i tak dalej, w ogólności $S_n=1+3+5+\dots +2n-1=n^2$. Suma n kolejnych liczb naturalnych nieparzystych jest równa kwadratowi liczby n.
Przykład drugi. Ciąg $\left(b_n\right)$ określony jest wzorem ogólnym $b_n=n^3$ dla n większych lub równych jeden. Wyprowadzimy wzór na sumę n początkowych wyrazów tego ciągu. Obliczamy kilka sum częściowych. Sumy: $S_1=1^3=1^2$, $S_2=1^3+2^3=9={\left(1+2\right)}^2$, $S_3=1^3+2^3+3^3=36={\left(1+2+3\right)}^2$, $S_4=1^3+2^3+3^3+4^3=100={\left(1+2+3+4\right)}^2$, $S_5=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=225={\left(1+2+3+4+5\right)}^2$. Każda z sum jest kwadratem sumy kolejnych liczb naturalnych. Suma sześcianów kolejnych liczb naturalnych jest równa kwadratowi sumy tych liczb. W ogólności mamy więc $S_n=1^3+2^3+3^3+\dots +n^3={\left(1+2+3+\dots +n^3\right)}^2$. Przykład trzeci. Ciąg $\left(c_n\right)$ określony jest wzorem ogólnym $c_n=\log n$ dla n większych lub równych jeden. Wyprowadzimy sumę n początkowych wyrazów tego ciągu. Obliczamy kilka sum częściowych. Sumy: $S_1=\log 1=\log 1!$, $S_2=\log 1+\log 2=\log \left(1·2\right)=\log 2!$, $S_3=\log 1+\log 2+\log 3=\log \left(1·2·3\right)=\log 3!$, $S_4=\log 1+\log 2+\log 3+\log 4=\log \left(1·2·3·4\right)=\log 4!$, $S_5=\log 1+\log 2+\log 3+\log 4+\log 5=\log \left(1·2·3·4·5\right)=\log 5!$. Każda z sum jest logarytmem silni. Suma logarytmów n kolejch liczb naturalnych dodatnich jest rowna logarytmowi n silnia. W ogólności możemy więc zapisać $S_n=\log 1+\log 2+\log 3+\dots +\log n=\log \left(1·2·3·\dots ·n\right)=\log n!$.