Zapoznaj się z prezentacją multimedialną. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać podane tam przykłady, a następnie porównaj z rozwiązaniami.
RkUkAhWOXO95K
Prezentacja. Przykład pierwszy. Wyprowadzimy zór na sumę n kolejnych początkowych liczb naturalnych nieparzystych. Ciąg nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określony jest wzorem ogólnym a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa n, minus, jeden dla n większych lub równych jeden. Obliczamy kilka sum częściowych. Każda z sum jest kwadratem liczby naturalnej. Sumy: S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, równa się, jeden indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, plus, trzy, równa się, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, S indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, plus, trzy, plus, pięć, równa się, trzy indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, S indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, plus, trzy, plus, pięć, plus, siedem, równa się, cztery indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, S indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, plus, trzy, plus, pięć, plus, siedem, plus, dziewięć, równa się, pięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego i tak dalej, w ogólności S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, plus, trzy, plus, pięć, plus, wielokropek, plus, dwa n, minus, jeden, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Suma n kolejnych liczb naturalnych nieparzystych jest równa kwadratowi liczby n. Przykład drugi. Ciąg nawias, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określony jest wzorem ogólnym b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego dla n większych lub równych jeden. Wyprowadzimy wzór na sumę n początkowych wyrazów tego ciągu. Obliczamy kilka sum częściowych. Sumy: S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, jeden indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć, równa się, nawias, jeden, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, S indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, trzy indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, trzydzieści sześć, równa się, nawias, jeden, plus, dwa, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, S indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, trzy indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, cztery indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, sto, równa się, nawias, jeden, plus, dwa, plus, trzy, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, S indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, trzy indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, cztery indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, dwieście dwadzieścia pięć, równa się, nawias, jeden, plus, dwa, plus, trzy, plus, cztery, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Każda z sum jest kwadratem sumy kolejnych liczb naturalnych. Suma sześcianów kolejnych liczb naturalnych jest równa kwadratowi sumy tych liczb. W ogólności mamy więc S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, trzy indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, wielokropek, plus, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, jeden, plus, dwa, plus, trzy, plus, wielokropek, plus, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Przykład trzeci. Ciąg nawias, c indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określony jest wzorem ogólnym c indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, logarytm z n dla n większych lub równych jeden. Wyprowadzimy sumę n początkowych wyrazów tego ciągu. Obliczamy kilka sum częściowych. Sumy: S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, logarytm z jeden, równa się, logarytm z jeden silnia, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, logarytm z jeden, plus, logarytm z dwa, równa się, logarytm z nawias, jeden, razy, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm z dwa silnia, S indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, logarytm z jeden, plus, logarytm z dwa, plus, logarytm z trzy, równa się, logarytm z nawias, jeden, razy, dwa, razy, trzy, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm z trzy silnia, S indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, logarytm z jeden, plus, logarytm z dwa, plus, logarytm z trzy, plus, logarytm z cztery, równa się, logarytm z nawias, jeden, razy, dwa, razy, trzy, razy, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm z cztery silnia, S indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, równa się, logarytm z jeden, plus, logarytm z dwa, plus, logarytm z trzy, plus, logarytm z cztery, plus, logarytm z pięć, równa się, logarytm z nawias, jeden, razy, dwa, razy, trzy, razy, cztery, razy, pięć, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm z pięć silnia. Każda z sum jest logarytmem silni. Suma logarytmów n kolejch liczb naturalnych dodatnich jest rowna logarytmowi n silnia. W ogólności możemy więc zapisać S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, logarytm z jeden, plus, logarytm z dwa, plus, logarytm z trzy, plus, wielokropek, plus, logarytm z n, równa się, logarytm z nawias, jeden, razy, dwa, razy, trzy, razy, wielokropek, razy, n, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm z n silnia.
Prezentacja. Przykład pierwszy. Wyprowadzimy zór na sumę n kolejnych początkowych liczb naturalnych nieparzystych. Ciąg nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określony jest wzorem ogólnym a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa n, minus, jeden dla n większych lub równych jeden. Obliczamy kilka sum częściowych. Każda z sum jest kwadratem liczby naturalnej. Sumy: S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, równa się, jeden indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, plus, trzy, równa się, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, S indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, plus, trzy, plus, pięć, równa się, trzy indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, S indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, plus, trzy, plus, pięć, plus, siedem, równa się, cztery indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, S indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, plus, trzy, plus, pięć, plus, siedem, plus, dziewięć, równa się, pięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego i tak dalej, w ogólności S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, plus, trzy, plus, pięć, plus, wielokropek, plus, dwa n, minus, jeden, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Suma n kolejnych liczb naturalnych nieparzystych jest równa kwadratowi liczby n. Przykład drugi. Ciąg nawias, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określony jest wzorem ogólnym b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego dla n większych lub równych jeden. Wyprowadzimy wzór na sumę n początkowych wyrazów tego ciągu. Obliczamy kilka sum częściowych. Sumy: S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, jeden indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć, równa się, nawias, jeden, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, S indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, trzy indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, trzydzieści sześć, równa się, nawias, jeden, plus, dwa, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, S indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, trzy indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, cztery indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, sto, równa się, nawias, jeden, plus, dwa, plus, trzy, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, S indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, trzy indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, cztery indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, dwieście dwadzieścia pięć, równa się, nawias, jeden, plus, dwa, plus, trzy, plus, cztery, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Każda z sum jest kwadratem sumy kolejnych liczb naturalnych. Suma sześcianów kolejnych liczb naturalnych jest równa kwadratowi sumy tych liczb. W ogólności mamy więc S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, trzy indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, wielokropek, plus, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, jeden, plus, dwa, plus, trzy, plus, wielokropek, plus, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Przykład trzeci. Ciąg nawias, c indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określony jest wzorem ogólnym c indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, logarytm z n dla n większych lub równych jeden. Wyprowadzimy sumę n początkowych wyrazów tego ciągu. Obliczamy kilka sum częściowych. Sumy: S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, logarytm z jeden, równa się, logarytm z jeden silnia, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, logarytm z jeden, plus, logarytm z dwa, równa się, logarytm z nawias, jeden, razy, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm z dwa silnia, S indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, logarytm z jeden, plus, logarytm z dwa, plus, logarytm z trzy, równa się, logarytm z nawias, jeden, razy, dwa, razy, trzy, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm z trzy silnia, S indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, logarytm z jeden, plus, logarytm z dwa, plus, logarytm z trzy, plus, logarytm z cztery, równa się, logarytm z nawias, jeden, razy, dwa, razy, trzy, razy, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm z cztery silnia, S indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, równa się, logarytm z jeden, plus, logarytm z dwa, plus, logarytm z trzy, plus, logarytm z cztery, plus, logarytm z pięć, równa się, logarytm z nawias, jeden, razy, dwa, razy, trzy, razy, cztery, razy, pięć, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm z pięć silnia. Każda z sum jest logarytmem silni. Suma logarytmów n kolejch liczb naturalnych dodatnich jest rowna logarytmowi n silnia. W ogólności możemy więc zapisać S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, logarytm z jeden, plus, logarytm z dwa, plus, logarytm z trzy, plus, wielokropek, plus, logarytm z n, równa się, logarytm z nawias, jeden, razy, dwa, razy, trzy, razy, wielokropek, razy, n, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm z n silnia.
