Przeczytaj
Wyrazy zarówno ciągów skończonych, jak i nieskończonych, można dodawać.
Wyrazy ciągu | Suma wyrazów |
---|---|
, , , , | |
, , , , , | |
, , , , , |
Suma wyrazów ciągu skończonego jest liczbą (być może bardzo dużą, albo bardzo małą). Natomiast suma wyrazów nieskończonego ciągu liczbowego, może być nieskończona, ale też może być pewną liczbą.
Na przykład suma wyrazów nieskończonego ciągu (; ; ; ) jest równa .
W tym materiale będziemy rozpatrywać tylko sumy, których wynikiem jest liczba.
Ciąg określony jest wzorem ogólnym dla . Obliczymy sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.
Wyznaczymy najpierw wyrazy ciągu, które musimy dodać.
Obliczamy sumę.
Obliczymy sumę czterech początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym .
Najpierw obliczymy wyrazy ciągu, które będziemy dodawać.
Obliczamy sumę wyznaczonych wyrazów.
Niech będzie ciągiem liczbowym określonym wzorem ogólnym .
Wtedy:
– suma składająca się z pierwszego wyrazu ciągu
– suma dwóch początkowych wyrazów ciągu
– suma trzech początkowych wyrazów ciągu
– suma czterech początkowych wyrazów ciągu
– suma stu początkowych wyrazów ciągu
Kolejne tak utworzone sumy nazywamy sumami częściowymi ciągusumami częściowymi ciągu.
Niech będzie nieskończonym ciągiem liczbowym. Wówczas ciąg o kolejnych wyrazach
nazwany ciągiem sum częściowych ciągu .
Obliczymy sumę częściową ciągu określonego wzorem ogólnym .
Obliczanie sumy niewielu wyrazów ciągu nie sprawia większych problemów. Jednak wypisywanie większej ilości liczb jest kłopotliwe, szczególnie w przypadku, gdy trudno zauważyć jakąś regularność między tymi wyrazami. W takim przypadku można zastosować operator sumowania „sigma” .
Na przykład sumę opisaną w Przykładzie 2 możemy zapisać w postaci:
Zapis ten oznacza, że dodajemy kolejne wyrazy ciągu określonego wzorem od wyrazu pierwszego do wyrazu czwartego włącznie.
– to indeks sumowania,
– to dolna granica sumowania,
– to górna granica sumowania.
Zapiszemy sumę
kolejnych początkowych wyrazów ciągu za pomocą operatora .
Określamy najpierw wzór ciągu, którego wyrazy sumujemy.
Dodaliśmy pięć początkowych wyrazów ciągu.
Zapisujemy sumę za pomocą operatora sumowania:
Sumę początkowych wyrazów niektórych ciągów, można wyznaczyć szybko, korzystając ze wzorów odkrytych przez siedemnastowiecznego matematyka szwajcarskiego Jakoba Bernoulli.
Pokażemy prawdziwość jednego ze wzorów Bernoulliego – wykażemy, że suma początkowych kolejnych liczb naturalnych jest równa
.
Oznaczmy:
Wtedy:
Grupujemy odpowiednio wyrazy.
Wyrażenie to jest sumą jednakowych składników, z których każdy jest równy . Zatem
c.n.w.
Obliczymy , korzystając ze wzoru podanego przez Bernoulliego.
Znając wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu , można wyznaczyć wzór ogólny ciągu.
Podsumowując:
Wyznaczymy wzór na –ty wyraz ciągu , w którym suma n początkowych wyrazów ciągu określona jest wzorem
Korzystamy ze wzoru
dla
Obliczmy jeszcze wyraz .
Słownik
niech będzie nieskończonym ciągiem liczbowym; wówczas ciąg o kolejnych wyrazach
nazwany ciągiem sum częściowych ciągu