Przeczytaj

Wyrazy zarówno ciągów skończonych, jak i nieskończonych, można dodawać.

Wyrazy ciągu	Suma wyrazów
$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{5}$ , $\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}$
$3$ , $5$ , $7$ , $9$ , $11$ , $\dots$	$3 + 5 + 7 + 9 + 11 + \dots$
$- 4$ , $- 1$ , $0$ , $1$ , $5$ , $\dots$	$- 4 + (- 1) + 0 + 1 + 5 + \dots$

Suma wyrazów ciągu skończonego jest liczbą (być może bardzo dużą, albo bardzo małą). Natomiast suma wyrazów nieskończonego ciągu liczbowego, może być nieskończona, ale też może być pewną liczbą.

Na przykład suma wyrazów nieskończonego ciągu ( $0, 27$ ; $0, 0027$ ; $0, 000027$ ; $\dots$ ) jest równa $\frac{27}{99}$ .

0, 27 + 0, 0027 + 0, 000027 + \dots = \frac{27}{99}

W tym materiale będziemy rozpatrywać tylko sumy, których wynikiem jest liczba.

Przykład 1

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem ogólnym $a_{n} = 2 (n + 3)$ dla $n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ . Obliczymy sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

Wyznaczymy najpierw wyrazy ciągu, które musimy dodać.

$a_{1} = 2 \cdot (1 + 3) = 8$

$a_{2} = 2 \cdot (2 + 3) = 10$

$a_{3} = 2 \cdot (3 + 3) = 12$

$a_{4} = 2 \cdot (4 + 3) = 14$

$a_{5} = 2 \cdot (5 + 3) = 16$

Obliczamy sumę.

$S_{5} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$

$S_{5} = 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 60$

Przykład 2

Obliczymy sumę czterech początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem ogólnym $a_{n} = 2^{n} - n$ .

Najpierw obliczymy wyrazy ciągu, które będziemy dodawać.

$a_{1} = 2^{1} - 1 = 1$

$a_{2} = 2^{2} - 2 = 2$

$a_{3} = 2^{3} - 3 = 5$

$a_{4} = 2^{4} - 4 = 12$

Obliczamy sumę wyznaczonych wyrazów.

$S_{4} = 1 + 2 + 5 + 12 = 20$

Niech $(a_{n})$ będzie ciągiem liczbowym określonym wzorem ogólnym $a_{n} = {(- 1)}^{n + 1} \cdot n$ .

Wtedy:

$S_{1} = 1$ – suma składająca się z pierwszego wyrazu ciągu

$S_{2} = 1 - 2 = - 1$ – suma dwóch początkowych wyrazów ciągu

$S_{3} = 1 - 2 + 3 = 2$ – suma trzech początkowych wyrazów ciągu

$S_{4} = 1 - 2 + 3 - 4 = - 2$ – suma czterech początkowych wyrazów ciągu

$\dots$

$S_{100} = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots - 100$ – suma stu początkowych wyrazów ciągu

$\dots$

Kolejne tak utworzone sumy nazywamy sumami częściowymi ciąguciąg sum częściowych ciągu $(a_{n})$ sumami częściowymi ciągu.

Ciąg sum częściowych ciągu

(a_{n})

Definicja: Ciąg sum częściowych ciągu

(a_{n})

Niech $(a_{n})$ będzie nieskończonym ciągiem liczbowym. Wówczas ciąg $(S_{n})$ o kolejnych wyrazach

S_{1} = a_{1}

S_{2} = a_{1} + a_{2}

S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}

S_{4} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}

\dots

S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + \dots + a_{n}

nazwany ciągiem sum częściowych ciągu $(a_{n})$ .

Przykład 3

Obliczymy sumę częściową $S_{4}$ ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{n - 2}{n}$ .

$S_{4} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$

$S_{4} = \frac{- 1}{1} + \frac{0}{2} + \frac{1}{3} + \frac{2}{4}$

$S_{4} = - \frac{1}{6}$

Obliczanie sumy niewielu wyrazów ciągu nie sprawia większych problemów. Jednak wypisywanie większej ilości liczb jest kłopotliwe, szczególnie w przypadku, gdy trudno zauważyć jakąś regularność między tymi wyrazami. W takim przypadku można zastosować operator sumowania „sigma” $\sum$ .

Na przykład sumę opisaną w Przykładzie 2 możemy zapisać w postaci:

$\sum_{k = 1}^{4} (2^{k} - k)$

Zapis ten oznacza, że dodajemy kolejne wyrazy ciągu określonego wzorem $a_{k} = 2^{k} - k$ od wyrazu pierwszego $(k = 1)$ do wyrazu czwartego $(k = 4)$ włącznie.

$k$ – to indeks sumowania,
$1$ – to dolna granica sumowania,
$4$ – to górna granica sumowania.

Przykład 4

Zapiszemy sumę

$\frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{27} - \frac{1}{81} + \frac{1}{243}$

kolejnych początkowych wyrazów ciągu $(a_{k})$ za pomocą operatora $\sum$ .

Określamy najpierw wzór ciągu, którego wyrazy sumujemy.

$a_{k} = {(- 1)}^{k + 1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{k}$

Dodaliśmy pięć początkowych wyrazów ciągu.

Zapisujemy sumę za pomocą operatora sumowania:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{27} - \frac{1}{81} + \frac{1}{243} = \sum_{k = 1}^{5} {(- 1)}^{k + 1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{k}$

Sumę początkowych wyrazów niektórych ciągów, można wyznaczyć szybko, korzystając ze wzorów odkrytych przez siedemnastowiecznego matematyka szwajcarskiego Jakoba Bernoulli.

1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = \frac{n^{2} \cdot {(n + 1)}^{2}}{4}

1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + \dots + n^{4} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n - 1)}{30}

Przykład 5

Pokażemy prawdziwość jednego ze wzorów Bernoulliego – wykażemy, że suma $n$ początkowych kolejnych liczb naturalnych $1 + 2 + 3 + \dots + n$ jest równa

$\frac{n (n + 1)}{2}$ .

Oznaczmy:

$S_{n} = 1 + 2 + \dots + n$

Wtedy:

$2 S_{n} = 1 + 2 + \dots + (n - 2) + (n - 1) + n + n + (n - 1) + (n - 2) + \dots + 1$

Grupujemy odpowiednio wyrazy.

$2 S_{n} = (1 + n) + [2 + (n - 1)] + [3 + (n - 2)] + \dots + [2 + (n - 1)] + (n + 1)$

Wyrażenie to jest sumą $n$ jednakowych składników, z których każdy jest równy $(n + 1)$ . Zatem

$2 S_{n} = n (n + 1)$

$S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$

c.n.w.

Przykład 6

Obliczymy $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + 12^{2}$ , korzystając ze wzoru podanego przez Bernoulliego.

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + 12^{2} = \frac{12 (12 + 1) (2 \cdot 12 + 1)}{6}$

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + 12^{2} = 2 \cdot 13 \cdot 25$

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + 12^{2} = 650$

Znając wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ , można wyznaczyć wzór ogólny ciągu.

S_{1} = a_{1} \Rightarrow a_{1} = S_{1}

S_{2} = a_{1} + a_{2} \Rightarrow a_{2} = S_{2} - S_{1}

S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} \Rightarrow a_{3} = S_{3} - S_{2}

\dots

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} \Rightarrow a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

Podsumowując:

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

dla

n \geq 2

Przykład 7

Wyznaczymy wzór na $n$ –ty wyraz ciągu $(a_{n})$ , w którym suma n początkowych wyrazów ciągu określona jest wzorem

$S_{n} = \frac{n}{n + 1}$

Korzystamy ze wzoru

$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ dla $n \geq 2$

$a_{n} = \frac{n}{n + 1} - \frac{n - 1}{n}$

$a_{n} = \frac{n^{2} - n^{2} + 1}{n (n + 1)}$

$a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$

Obliczmy jeszcze wyraz $a_{1}$ .

$a_{1} = S_{1} = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$

Słownik

ciąg sum częściowych ciągu

(a_{n})

ciąg sum częściowych ciągu

(a_{n})

niech $(a_{n})$ będzie nieskończonym ciągiem liczbowym; wówczas ciąg $(S_{n})$ o kolejnych wyrazach

S_{1} = a_{1}

S_{2} = a_{1} + a_{2}

S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}

S_{4} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}

\dots

S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + \dots + a_{n}

nazwany ciągiem sum częściowych ciągu $(a_{n})$

Wprowadzenie

Prezentacja multimedialna

Słownik