Zapoznaj się z prezentacją multimedialną, która przybliży Ci zagadnienia związane z wartością oczekiwaną. Postaraj się najpierw samodzielnie rozwiązać prezentowane tam problemy, a następnie porównaj z zamieszczonymi w prezentacji.
Zapoznaj się z prezentacją multimedialną, która przybliży Ci zagadnienia związane z wartością oczekiwaną.
R1ZN1roTL0244
Prezentacja. Przykład pierwszy. Obliczymy wartość oczekiwaną liczby wyrzuconych oczek w jednokrotnym rzucie symetryczną kostką do gry. W jednokrotnym rzucie kostką można otrzymać jedno oczko, dwa oczka, trzy oczka, cztery oczka, pięć oczek lub sześć oczek. Prawdopodobieństwo zajścia każdego zdarzenia jest równe jedna szósta. W tabelce przedstawiony jest rozkład zmiennej losowej X, która każdemu wynikowi przypisuje liczbę wyrzuconych oczek. Tabela składa się dwóch wierszy, gdzie w pierwszym wierszu mamy wartości przyjmowane przez zmienną losową, w wierszu drugim znajdują się prawdopodobieństwa przyjęcia każdej z wartości. Tabela składa się z siedmiu kolumn, gdzie pierwsza jest kolumną nagłówkową, w wierszu pierwszym zapisano nagłówek x indeks dolny i, w wierszu drugim nagłówek p indeks dolny i. Konstrukcja tabeli: kolumna druga wiersz pierwszy 1 wiersz drugi jedna szósta, kolumna trzecia wiersz pierwszy 2 wiersz drugi jedna szósta, kolumna czwarta wiersz pierwszy 3 wiersz drugi jedna szósta, kolumna piąta wiersz pierwszy 4 wiersz drugi jedna szósta, kolumna szósta wiersz pierwszy 5 wiersz drugi jedna szósta, kolumna siódma wiersz pierwszy 6 wiersz drugi jedna szósta. Obliczamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej.
Wartość oczekiwana liczby oczek w jednokrotnym rzucie kostką wynosi trzy i pół. Przykład drugi. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe dziennej liczbie klientów odwiedzających pewnego złotnika. Przy czym złotnika może odwiedzić dziennie tylko 0, 10, 20, 30 lub 40 osób. Prawdopodobieństwo, że złotnika nikt nie odwiedzi jest równe . Prawdopodobieństwo, że przyjdzie 10 osób jest równe . Prawdopodobieństwo, że przyjdzie 20 osób jest równe . Prawdopodobieństwo, że przyjdzie 30 osób jest równe . Prawdopodobieństwo, że przyjdzie 40 osób jest równe . Rozkład zmiennej losowej X przedstawiony jest w tabelce. Tabela składa się dwóch wierszy, gdzie w pierwszym wierszu mamy wartości przyjmowane przez zmienną losową, w wierszu drugim znajdują się prawdopodobieństwa przyjęcia każdej z wartości. Tabela składa się z sześciu kolumn, gdzie pierwsza jest kolumną nagłówkową, w wierszu pierwszym zapisano nagłówek x indeks dolny i, w wierszu drugim nagłówek p indeks dolny i. Konstrukcja tabeli: kolumna druga wiersz pierwszy 0 wiersz drugi , kolumna trzecia wiersz pierwszy 10 wiersz drugi , kolumna czwarta wiersz pierwszy 20 wiersz drugi , kolumna piąta wiersz pierwszy 40, wiersz drugi . Obliczamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej.
, zatem przeciętnie dziewiętnastu klientów dziennie odwiedza tego złotnika. Przykład trzeci. Panowie Szymon i Wojciech rzucają kostką do gry. Gdy wypadnie parzysta liczba oczek, pan Szymon otrzymuje 120 złotych. Gdy wypadną trzy oczka lub gdy wypadnie jedno oczko, pan Szymon ani nie traci gotówki, ani nie otrzymuje gotówki. Natomiast gdy wypadnie pięć oczek, pan Szymon płaci panu Wojciechowi 180 złotych. Obliczymy oczekiwaną kwotę wygranej przy jednokrotnym rzucie kostką. W tabelce rozpisujemy rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości takie, jakie może stracić albo zyskać pan Szymon. Tabela składa się dwóch wierszy, gdzie w pierwszym wierszu mamy wartości przyjmowane przez zmienną losową, w wierszu drugim znajdują się prawdopodobieństwa przyjęcia każdej z wartości. Tabela składa się z czterech kolumn, gdzie pierwsza jest kolumną nagłówkową, w wierszu pierwszym zapisano nagłówek x indeks dolny i, w wierszu drugim nagłówek p indeks dolny i. Konstrukcja tabeli: kolumna druga wiersz pierwszy wiersz drugi jedna szósta, kolumna trzecia wiersz pierwszy 0 wiersz drugi dwie szóste, kolumna czwarta wiersz pierwszy 120 wiersz drugi trzy szóste. Obliczamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej.
Oczekiwana wartość wygranej przy jednokrotnym rzucie kostką to 30 złotych.
Prezentacja. Przykład pierwszy. Obliczymy wartość oczekiwaną liczby wyrzuconych oczek w jednokrotnym rzucie symetryczną kostką do gry. W jednokrotnym rzucie kostką można otrzymać jedno oczko, dwa oczka, trzy oczka, cztery oczka, pięć oczek lub sześć oczek. Prawdopodobieństwo zajścia każdego zdarzenia jest równe jedna szósta. W tabelce przedstawiony jest rozkład zmiennej losowej X, która każdemu wynikowi przypisuje liczbę wyrzuconych oczek. Tabela składa się dwóch wierszy, gdzie w pierwszym wierszu mamy wartości przyjmowane przez zmienną losową, w wierszu drugim znajdują się prawdopodobieństwa przyjęcia każdej z wartości. Tabela składa się z siedmiu kolumn, gdzie pierwsza jest kolumną nagłówkową, w wierszu pierwszym zapisano nagłówek x indeks dolny i, w wierszu drugim nagłówek p indeks dolny i. Konstrukcja tabeli: kolumna druga wiersz pierwszy 1 wiersz drugi jedna szósta, kolumna trzecia wiersz pierwszy 2 wiersz drugi jedna szósta, kolumna czwarta wiersz pierwszy 3 wiersz drugi jedna szósta, kolumna piąta wiersz pierwszy 4 wiersz drugi jedna szósta, kolumna szósta wiersz pierwszy 5 wiersz drugi jedna szósta, kolumna siódma wiersz pierwszy 6 wiersz drugi jedna szósta. Obliczamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej.
Wartość oczekiwana liczby oczek w jednokrotnym rzucie kostką wynosi trzy i pół. Przykład drugi. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe dziennej liczbie klientów odwiedzających pewnego złotnika. Przy czym złotnika może odwiedzić dziennie tylko 0, 10, 20, 30 lub 40 osób. Prawdopodobieństwo, że złotnika nikt nie odwiedzi jest równe . Prawdopodobieństwo, że przyjdzie 10 osób jest równe . Prawdopodobieństwo, że przyjdzie 20 osób jest równe . Prawdopodobieństwo, że przyjdzie 30 osób jest równe . Prawdopodobieństwo, że przyjdzie 40 osób jest równe . Rozkład zmiennej losowej X przedstawiony jest w tabelce. Tabela składa się dwóch wierszy, gdzie w pierwszym wierszu mamy wartości przyjmowane przez zmienną losową, w wierszu drugim znajdują się prawdopodobieństwa przyjęcia każdej z wartości. Tabela składa się z sześciu kolumn, gdzie pierwsza jest kolumną nagłówkową, w wierszu pierwszym zapisano nagłówek x indeks dolny i, w wierszu drugim nagłówek p indeks dolny i. Konstrukcja tabeli: kolumna druga wiersz pierwszy 0 wiersz drugi , kolumna trzecia wiersz pierwszy 10 wiersz drugi , kolumna czwarta wiersz pierwszy 20 wiersz drugi , kolumna piąta wiersz pierwszy 40, wiersz drugi . Obliczamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej.
, zatem przeciętnie dziewiętnastu klientów dziennie odwiedza tego złotnika. Przykład trzeci. Panowie Szymon i Wojciech rzucają kostką do gry. Gdy wypadnie parzysta liczba oczek, pan Szymon otrzymuje 120 złotych. Gdy wypadną trzy oczka lub gdy wypadnie jedno oczko, pan Szymon ani nie traci gotówki, ani nie otrzymuje gotówki. Natomiast gdy wypadnie pięć oczek, pan Szymon płaci panu Wojciechowi 180 złotych. Obliczymy oczekiwaną kwotę wygranej przy jednokrotnym rzucie kostką. W tabelce rozpisujemy rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości takie, jakie może stracić albo zyskać pan Szymon. Tabela składa się dwóch wierszy, gdzie w pierwszym wierszu mamy wartości przyjmowane przez zmienną losową, w wierszu drugim znajdują się prawdopodobieństwa przyjęcia każdej z wartości. Tabela składa się z czterech kolumn, gdzie pierwsza jest kolumną nagłówkową, w wierszu pierwszym zapisano nagłówek x indeks dolny i, w wierszu drugim nagłówek p indeks dolny i. Konstrukcja tabeli: kolumna druga wiersz pierwszy wiersz drugi jedna szósta, kolumna trzecia wiersz pierwszy 0 wiersz drugi dwie szóste, kolumna czwarta wiersz pierwszy 120 wiersz drugi trzy szóste. Obliczamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej.
Oczekiwana wartość wygranej przy jednokrotnym rzucie kostką to 30 złotych.
Polecenie 2
Cena pewnego towaru waha się. Przyjmuje raz w tygodniu ( dni) wartość , trzy razy w tygodniu wartość i dwa razy . Oblicz oczekiwaną cenę tego towaru.
