Przeczytaj

Zmienna losowa

Bardzo często spotykamy się ze zdarzeniami, z którymi wiążą się pewne wartości liczbowe.

Na przykład:

liczba telefonów, którą odbierzesz w przyszłą środę,

liczba liści, które dzisiaj wiatr strąci z drzewa stojącego przed Twoim domem,

suma liczb oczek, które wypadną w czasie rzutu czterema kostkami do gry.

Choć trudno określić konkretny wynik w rozważanych powyżej sytuacjach, jednak istnieje zakres wartości liczbowych (nie zawsze prosty do ustalenia), które dana wielkość może przyjmować. Na przykład suma liczb wyrzuconych oczek na czterech kostkach będzie zawsze nie mniejsza niż $4$ i nie większa niż $24$ . Natomiast przyczyny, dla których każda z tych wielkości przyjmuje określoną wartość, są natury losowej.

Takie wielkości nazywamy zmiennymi losowymi. Zmienne losowe tradycyjnie oznaczamy dużymi literami: $X$ , $Y$ , $Z$ .

Rozważmy następującą grę: rzucamy monetą. Jeśli wypadnie orzeł – płacimy $2 zł$ , jeśli wypadnie reszka – otrzymujemy $3 zł$ .

Modelem probabilistycznym opisanego doświadczenia jest para $(Ω, P)$ , gdzie $Ω = \{O, R\}$ , $P (O) = P (R) = 0, 5$

Każdemu wynikowi tego doświadczenia $ω_{i} \in Ω$ , gdzie $i \in \{1, 2\}$ przyporządkowana jest pewna liczba $x_{k} \in \{- 2, 3\}$ , gdzie $k \in \{1, 2\}$ .

Rozkład zmiennej losowej
$ω_{i}$	$O$	$R$
$x_{k}$	$- 2$	$3$

W zbiorze $Ω$ określiliśmy więc pewną funkcję o wartościach rzeczywistych, przyjmowanych losowo. W rachunku prawdopodobieństwa funkcje określone na zbiorze $Ω$ (przyjmować będziemy, że jest to zbiór skończony) nazywa się zmiennymi losowymi.

Zmienna losowa

Definicja: Zmienna losowa

Każdą funkcję określoną na zbiorze skończonym $Ω$ o wartościach rzeczywistych nazywamy zmienną losową.

Rozpatrując zmienną losową, najczęściej interesuje nas jakie przyjmuje wartości i z jakim prawdopodobieństwem. Te informacje można przedstawić w postaci tabelki. W pierwszym wierszu tabelki wpisujemy wszystkie możliwe wartości przyjmowane przez zmienną, a w drugim – prawdopodobieństwa odpowiadające tym wartościom. Takie dane o zmiennej losowej nazywamy jej rozkładem.

Przykład 1

W urnie są trzy kule białe i cztery zielone. Gracz wyciąga losowo jedną kulę. Jeśli wyciągnie kulę białą, to płaci $5 zł$ , jeśli zieloną to otrzymuje $4 zł$ .

W tabelce przedstawiamy rozkład zmiennej losowej modelu probabilistycznego tego doświadczenia.

Rozkład zmiennej losowej
$x_{i}$	$- 5$	$4$
$p_{i}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{4}{7}$

Rozkład zmiennej losowej

Definicja: Rozkład zmiennej losowej

Rozkładem zmiennej losowej $X$ nazywamy zbiór:

\{(x_{1}, p_{1}), (x_{2}, p_{2}), . . ., (x_{n}, p_{n})\}

gdzie:
$p_{i}$ – jest prawdopodobieństwem, z jakim zmienna losowazmienna losowazmienna losowa $X$ przyjmuje wartość $x_{i}$ , $i = 1, 2, \dots, n$ .

W rozkładzie zmiennej losowej suma wszystkich prawdopodobieństw jest równa $1$ .

p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1

Rozkład zmiennej losowej $X$ zapisujemy też w postaci:

X ~ \{(x_{1}, p_{1}), (x_{2}, p_{2}), \dots, (x_{n}, p_{n})\}

Przykład 2

Rzucamy dwiema monetami. Podamy rozkład zmiennej losowej, która każdemu wynikowi przypisuje liczbę orłów, które mogą wypaść.

Rozkład zmiennej losowej
$x_{i}$	$0$	$1$	$2$
$p_{i}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{4}$	$\frac{1}{4}$

Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwanawartość oczekiwanaWartość oczekiwana w prawdopodobieństwie (wartość średnia, przeciętna, nadzieja matematyczna) to wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego, przy założonym prawdopodobieństwie jego występowania. Na przykład w rzucie $100$ razy monetą, oczekujemy, że $50$ razy wypadnie orzeł i $50$ reszka.

W statystyce, w populacji estymatorem wartości oczekiwanej w próbie jest z reguły średnia arytmetyczna, ale niekiedy też mediana czy moda.

Wartość oczekiwana

Definicja: Wartość oczekiwana

Niech $X$ będzie zmienną losową taką, że $X ~ \{(x_{1}, p_{1}), (x_{2}, p_{2}), \dots, (x_{n}, p_{n})\}$ .

Liczbę

E X = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

nazywamy wartością oczekiwaną zmiennej losowej $X$ .

Litera $E$ w nazwie wartości oczekiwanej jest pierwszą literą francuskiego słowa esperance – nadzieja.

Przykład 3

Rzucamy dwiema kostkami w kształcie czworościanów foremnych, na ściankach których zapisane są liczby $1$ , $2$ , $3$ , $4$ . Jeżeli wypadnie suma oczek podzielna przez $6$ wygrywamy $80 zł$ , w przeciwnym wypadku płacimy $16 zł$ . Obliczymy wartość oczekiwaną wygranej w tej grze.

Mamy zmienną losową $X$ , której wartościami są liczby, będące kwotami wygranej.

Rozkład zmiennej losowej
$x_{i}$	$- 16$	$80$
$p_{i}$	$\frac{13}{16}$	$\frac{3}{16}$

Wartość oczekiwana w tej grze wynosi:

$E X = - 16 \cdot \frac{13}{16} + 80 \cdot \frac{3}{16} = - 13 + 15 = 2$

W tej grze „średnio” możemy oczekiwać wygranej w jednej grze w wysokości $2 zł$ .

Grę nazywamy sprawiedliwą, jeżeli jej wartość oczekiwanawartość oczekiwanawartość oczekiwana jest równa $0$ .

Przykład 4

Rzucamy kostką do gry. Jeżeli wypadnie liczba oczek mniejsza od $5$ wygrywamy $10 zł$ , w przeciwnym razie płacimy $a zł$ . Znajdziemy liczbę $a$ wiedząc, że gra jest sprawiedliwa.

Rozkład zmiennej losowej
$x_{i}$	$- a$	$10$
$p_{i}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{4}{6}$

$E X = - a \cdot \frac{2}{6} + 10 \cdot \frac{4}{6} = - \frac{2 a}{6} + \frac{40}{6}$

Gra ma być sprawiedliwa, zatem $E X = 0$ .

$- \frac{2 a}{6} + \frac{40}{6} = 0$

$- 2 a = - 40$

$a = 20$

Odpowiedź:

Aby gra była sprawiedliwa, musielibyśmy płacić $20 zł$ w przypadku wyrzucenia liczby oczek większej od $4$ .

Przykład 5

Pudło zawiera $3$ kule czerwone i $5$ brązowych. Gra polega na jednoczesnym losowaniu trzech kul z pudła. Za każdą wylosowaną kulę brązową gracz otrzymuje $y zł$ , a za każdą wylosowaną kulę czerwoną płaci $z zł$ . Oznaczmy przez $X$ zmienną losowązmienna losowazmienną losową, opisującą wygraną gracza. Określimy związki między liczbami $y$ , $z$ przy których gra będzie sprawiedliwa, korzystna, niekorzystna dla gracza.

Przy jednoczesnym losowaniu trzech kul z danego pudła, liczba wszystkich zdarzeń elementarnych to:

$(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56$

Losując trzy kule można wylosować:

$0$ kul brązowych (same czerwone) z prawdopodobieństwem $\frac{(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix})}{56} = \frac{1}{56}$ ,

jedną kulę brązową (i dwie czerwone) z prawdopodobieństwem $\frac{(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})}{56} = \frac{15}{56}$ ,

dwie kule brązowe (i jedną czerwoną z prawdopodobieństwem) $\frac{(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})}{56} = \frac{30}{56}$ ,

trzy kule brązowe z prawdopodobieństwem $\frac{(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})}{56} = \frac{10}{56}$ .

Zapisujemy rozkład zmiennej $X$ .

Rozkład zmiennej losowej
$x_{i}$	$- 3 z$	$y + (- 2 z)$	$2 y + (- z)$	$3 y$
$p_{i}$	$\frac{1}{56}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{30}{56}$	$\frac{10}{56}$

Obliczamy wartość oczekiwaną zmiennej $X$ .

$E X = - 3 z \cdot \frac{1}{56} + [y + (- 2 z)] \cdot \frac{15}{56} + [2 y + (- z)] \cdot \frac{30}{56} + 3 y \cdot \frac{10}{56}$

$E X = \frac{105 y - 63 z}{56} = \frac{15 y - 9 z}{8}$

Gra będzie sprawiedliwa, jeżeli $E X = 0$ , czyli $\frac{15 y - 9 z}{8} = 0$ .

$\frac{15 y - 9 z}{8} = 0$

$15 y - 9 z = 0$

$z = \frac{15}{9} y = \frac{5}{3} y$

Gra będzie korzystna dla gracza, jeżeli $E X > 0$ , czyli gdy $z < \frac{5}{3} y$ .

Gra będzie niekorzystna dla gracza, jeżeli $E X < 0$ , czyli gdy $z > \frac{5}{3} y$ .

Odpowiedź:

Gra będzie sprawiedliwa, gdy $z = \frac{5}{3} y$ , korzystna dla gracza, gdy $z < \frac{5}{3} y$ , niekorzystna dla gracza, gdy $z > \frac{5}{3} y$ .

Słownik

zmienna losowa

każdą funkcję określoną na zbiorze skończonym $Ω$ o wartościach rzeczywistych nazywamy zmienną losową

wartość oczekiwana

niech $X$ będzie zmienną losową taką, że $X ~ \{(x_{1}, p_{1}), (x_{2}, p_{2}), \dots, (x_{n}, p_{n})\}$ ; liczbę

E X = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

nazywamy wartością oczekiwaną zmiennej losowej $X$

Wprowadzenie

Prezentacja multimedialna

Zmienna losowa

Wartość oczekiwana

Słownik