Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RbvBkz1zxra6e1

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Rzucamy kostką do gry. Wartość oczekiwana liczby wyrzuconych oczek jest równa:

$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{6}{2}$
$\frac{7}{2}$

Rat1XLC3zHyCa1

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Rzucamy $5$ razy monetą. Jeśli zmienna losowa przyjmuje wartości równe liczbie otrzymanych reszek, to jej wartość oczekiwana jest równa:

$1$
$1, 5$
$2$
$2, 5$
$3$

R1cmEdF756UDu2

Ćwiczenie 3

Rzucamy dwiema kostkami do gry. Interesuje nas suma liczb wyrzuconych oczek. Uzupełnij tabelkę rozkładu zmiennej losowej opisującej to doświadczenie.
Przeciągnij odpowiednie ułamki zwykłe nieskracalne.

$2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , $10$ , $11$ , $12$ , $\frac{5}{36}$ , $\frac{2}{36}$

$x_{i}$	$p_{i}$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$	$\frac{5}{36}$
$7$
$8$
$9$
$10$
$11$	$\frac{2}{36}$
$12$

RTldjrJPiJIYw2

Ćwiczenie 4

Czesław bierze udział w następującej grze. Rzuca monetą i kostką. Jeżeli wypadnie orzeł lub reszka i parzysta liczba oczek, to wygrywa $x_{1} = 10 zł$ . Jeśli wypadnie orzeł lub reszka i $1$ to wygrywa $x_{2} = 20 zł$ . Jeśli wypadnie $3$ lub $5$ i orzeł lub reszka, musi zapłacić pewną kwotę $x_{3}$ . Ustal jaka to kwota, jeśli gra jest sprawiedliwa. Uzupełnij tabelkę, przeciągając odpowiednie liczby.

$10$ , $20$ , $\frac{1}{6}$ , $- 35$ , $- 15$ , $- 30$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{6}$ , $\frac{1}{2}$

$x_{i}$	$p_{i}$
$10$
$20$	$\frac{1}{6}$

Ćwiczenie 5

Rzucamy cztery razy monetą. Zmienna losowa $X$ przyjmuje wartości równe liczbie reszek, które wypadły w tych rzutach. W tabelce przedstawiono jej rozkład.

Rozkład zmiennej losowej
$x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$p_{i}$	$\frac{1}{16}$	$a$	$b$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$

R1V6N1UlTg5Kh

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Liczba $a$ jest równa $0, 25$ .
Liczba $b$ stanowi $1, 5$ liczby $a$ .
$E X = 2, 5$ .
Po obliczeniu wartości oczekiwanej możemy powiedzieć, że w rzucie czterema monetami przeciętnie wypadają więcej niż dwa orły.

Ćwiczenie 6

Na niesymetrycznej monecie orzeł pojawia się średnio w $60 %$ rzutów. Grasz w następującą grę. Rzucasz raz tą monetą. Jeżeli wypadnie orzeł – płacisz $2 zł$ . Jeżeli wypadnie reszka – otrzymujesz $3 zł$ .
Wskaż prawidłowe odpowiedzi.

RhOrNTITPBize

Rozkładem zmiennej losowej $X$ opisującej tę grę jest zbiór

$"{"(- 2, \frac{3}{5}), (3, \frac{2}{5})"}"$
$"{"(- 2, \frac{2}{5}), (3, \frac{2}{5})"}"$
$"{"(- 2, \frac{3}{5}), (3, \frac{3}{5})"}"$

RyiRIfLGIhOaF

$E X$

$- 2 \cdot \frac{2}{5} + 3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$
$2 \cdot \frac{3}{5} + 3 \cdot \frac{2}{5} = 1$
$- 2 \cdot \frac{3}{5} + 3 \cdot \frac{2}{5} = 0$

RzDYqkVIENHiw

Gra

jest sprawiedliwa
nie jest sprawiedliwa

Ćwiczenie 7

Niech $X$ będzie zmienną losową przyjmującą wartości równe liczbie sukcesów w jednej próbie Bernoulliego. Oznaczmy przez $p$ prawdopodobieństwo sukcesu w tej próbie. Znajdź wartość oczekiwaną zmiennej $X$ .

$E X = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p$

$E X = 1 \cdot p = p$ .

Ćwiczenie 8

W koszyku znajduje się nie mniej niż sześć kul, w tym trzy białe. Z koszyka wyciągamy od razu trzy kule. Niech $X$ oznacza liczbę wyciągniętych kul białych. Oblicz, ile jest wszystkich kul w koszyku, jeśli wartość oczekiwana zmiennej losowej $X$ jest równa $\frac{3}{2}$ .

Liczba zdarzeń elementarnych:

$|Ω| = (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})$

Rozkład zmiennej losowej
$x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$
$p_{i}$	$\frac{(\begin{matrix} n - 3 \\ 3 \end{matrix})}{(\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})}$	$\frac{(\begin{matrix} n - 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot 3}{(\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})}$	$\frac{(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (n - 3)}{(\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})}$	$\frac{1}{(\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})}$

$E X = \frac{0 \cdot (\begin{matrix} n - 3 \\ 3 \end{matrix}) + 1 \cdot 3 \cdot (\begin{matrix} n - 3 \\ 2 \end{matrix}) + 2 \cdot (n - 3) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) + 3 \cdot 1}{(\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})}$

Ponieważ $E X = \frac{3}{2}$ , zatem należy rozwiązać równanie $3 \cdot (\begin{matrix} n - 3 \\ 2 \end{matrix}) + 6 \cdot (n - 3) + 3 = \frac{3}{2} \cdot (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})$ .

$3 \cdot (\begin{matrix} n - 3 \\ 2 \end{matrix}) + 6 \cdot (n - 3) + 3 = \frac{3}{2} \cdot (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) | : 3$

$(\begin{matrix} n - 3 \\ 2 \end{matrix}) + 2 \cdot (n - 3) + 1 = \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})$

$\frac{(n - 3) (n - 4)}{2} + 2 n - 5 = \frac{n (n - 1) (n - 2)}{12}$

$n^{3} - 9 n^{2} + 20 n - 12 = 0$

Aby rozwiązać równanie stopnia trzeciego, rozkładamy lewą stronę równania na czynniki.

$n^{3} - n^{2} - 8 n^{2} + 8 n + 12 n - 12 = 0$

$n^{2} (n - 1) - 8 n (n - 1) + 12 \cdot (n - 1) = 0$

$(n - 1) (n^{2} - 8 n + 12) = 0$

$(n - 1) (n - 2) (n - 6) = 0$

Stąd:

$n = 1$ lub $n = 2$ lub $n = 6$

Z treści zadania wynika, że w koszu znajduje się nie mniej niż sześć kul, zatem $n = 6$ .

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela