Zadanie
Na rysunku mamy skonstruowane cztery proste i wyróżnione dwa kąty. Proste $a$ i $b$ są równoległe. Suma miar kątów $\alpha$ i $\beta$ jest równa $90°$. Uzasadnimy, że proste $c$ i $d$ są prostopadłe.
Rysunek przedstawia dwie pionowe proste: z lewej strony $a$, z prawej $b$. Proste te są przecięte drugą parą ukośnych prostych układających się w $X$, przy czym punkt przecięcia ukośnych prostych, czyli punkt $P$ znajduje się między prostymi $a$ i $b$. Prosta $d$ przecina prostą $a$ w górnej części w punkcie $E$ i prostą $b$ w dolnej części w punkcie $B$. Między prostą $b$ a prostą $d$ zaznaczono kąt ostry o wierzchołku w punkcie ich przecięcia $B$. Kąt ten oznaczono literą $\beta$. Ukośna prosta $c$ przecina prostą $a$ w dolnej części w punkcie $A$. Między prostymi zaznaczono kąt ostry $\alpha$ o wierzchołku w punkcie $A$. Prosta $c$ przecina prostą $b$ w jej górnej części w punkcie $C$.
Rozwiązanie
Mamy wykazać, że któryś z kątów $CPE$ lub $EPA$ lub $APB$ lub $BPC$ (czyli któryś z kątów o wierzchołku $P$) jest kątem prostym. Z warunków zadanie wiemy, że suma miar kątów $\alpha$ i $\beta$ jest równa $90°$. Zauważmy, że nie mówimy tutaj o konkretnych miarach kątów. Mamy pokazać, że dla dowolnych dwóch kątów, których suma miar jest równa mierze kąta prostego, gdzie proste $a$ i $b$ są położone wobec siebie jak na rysunku, proste $c$ i $d$ są prostopadłe. Spróbujmy jednak najpierw sprawdzić jako to będzie w przypadku konkretnych kątów widocznych na rysunku. Możemy oszacować, że kąt $\alpha$ na naszym rysunku ma około $50°$, a kąt $\beta$ około $40°$. 
Rysunek pomocniczy przedstawia dwie pionowe proste: z lewej strony $a$, z prawej $b$. Proste te są przecięte drugą parą ukośnych prostych układających się w $X$, przy czym punkt przecięcia ukośnych prostych, czyli punkt $P$ znajduje się między prostymi $a$ i $b$. Prosta $d$ przecina prostą $b$ w górnej części w punkcie $E$ i prostą $b$ w dolnej części w punkcie $B$. Między prostą $b$ a prostą $d$ zaznaczono kąt ostry o wierzchołku w punkcie ich przecięcia $B$. Kąt ten ma miarę $40°$. Ukośna prosta $c$ przecina prostą $a$ w dolnej części w punkcie $A$. Między prostymi zaznaczono kąt ostry o mierze $50°$ o wierzchołku w punkcie $A$. Prosta $c$ przecina prostą $b$ w jej górnej części w punkcie $C$.
Zastanówmy się, z czego możemy skorzystać, aby uzasadnić, że proste $c$ i $d$ są prostopadłe. Na rysunku proste tworzą trójkąty: trójkąt $APE$ i trójkąt $PBC$.
Rozważmy trójkąt $PBC$. Aby obliczyć miarę kąta $BPC$, musimy znać miary dwóch pozostały kątów tego trójkąta. Zastanów się chwilę, jak możemy obliczyć miary tych kątów. Kąt $CBP$ jest kątem wierzchołkowym do kąta pomiędzy prostymi $b$ i $d$, który ma miarę $40°$, a więc również ten kąt ma miarę $40°$. Kąt $BCP$ i kąt ostry pomiędzy prostymi $a$ i $c$ to kąty odpowiadające, ponieważ oba zostały utworzone w wyniku przecięcia prostych równoległych $a$ i $b$ prostą $c$, a więc mają równe miary. Tak więc kąt $BCP$ ma miarę $50°$.
Mamy miary dwóch kątów trójkąta, więc korzystając z sumy kątów w trójkącie, możemy obliczyć miarę trzeciego kąta. Jest ona równa $90°$. Tak więc kąt $BPC$ jest kątem prostym, czyli proste $c$ i $d$ są do siebie prostopadłe.
Sprawdziliśmy, że w tym konkretnym przypadku proste $c$ i $d$ są do siebie prostopadłe. Pamiętajmy jednak bardzo ważną uwagę. Rozpatrzenie nawet wielu konkretnych przypadków nie stanowi dowodu twierdzenia. Stanowi jednak czasami pomoc, gdy nie mamy pomysłu, jak zacząć dowód twierdzenia w przypadku ogólnym.
Teraz rozwiążemy nasze zadanie w przypadku ogólnym, gdy kąty oznaczone są symbolami. Nasz dowód będziemy zapisywać w sposób formalny krok po kroku. Będziemy zapisywać też uzasadnienie każdego kroku, aby dowód był czytelny i zrozumiały.
Założenia:
Proste $a$ i $b$ są równoległe, suma miast kąta ostrego pomiędzy prostymi $a$ i $c$ oraz kąta pomiędzy prostymi $b$ i $d$ jest równa $90°$.
Teza:
Proste $c$ i $d$ są prostopadłe.
Dowód:
Oznaczamy kąt ostry pomiędzy prostymi $a$ i $c$ przez $\alpha$, zaś kąt ostry pomiędzy prostymi $b$ i $d$ przez $\beta$.
Rozważmy trójkąt $PBC$. Kąt $CBP$ jest kątem wierzchołkowym do kąta ostrego pomiędzy prostymi $b$ i $d$ o mierze $\beta$.
$\left|\sphericalangle CBP\right|=\beta$
Kąt $BCP$ i kąt ostry o mierze $\alpha$ pomiędzy prostymi $a$ i $c$ to kąty odpowiadające, ponieważ oba zostały utworzone w wyniku przecięcia prostych równoległych $a$ i $b$ prostą $c$.
$\left|\sphericalangle BCP\right|=\alpha$
Z warunków zadania wiemy, że suma miast kątów $\alpha$ i $\beta$ jest równa $90°$.
$\alpha +\beta =90°$
Zatem
$\left|\sphericalangle BPC\right|=180°-\left(\alpha +\beta \right)=90°$
Z tego wynika, że proste $c$ i $d$ są do siebie prostopadłe.
Zapamiętaj!
Pamiętaj, że rozpatrzenie twierdzenia w konkretnym przypadku nie stanowi dowodu.
Pamiętaj, aby zawsze zapisywać wszystkie kroki dowodu i uzasadnić je.
Pamiętaj, że starannie wykonany rysunek pomocniczy jest bardzo pomocny w rozwiązywaniu zadania.