Prezentacja. Zadanie pierwsze.
Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji. Określ:
a) dziedzinę funkcji f;
b) zbiór wartości funkcji f;
c) punkt, w którym funkcja przyjmuje wartość największą i punkt, w którym przyjmuje wartość najmniejszą;
d) miejsca zerowe funkcji f;
e) przedziały, w których funkcja ma stały znak;
f) maksymalne przedziały, w których funkcja rośnie i maksymalne przedziały, w których funkcja maleją. Opis rysunku: w układzie współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech narysowano wykres funkcji składający się z łuku i z dwóch ukośnych odcinków. Od lewej mamy łuk o lewym końcu w zamalowanym punkcie o współrzędnych minus 4, minus trzy. Łuk przecina oś X w punkcie x równa się minus trzy i biegnie dalej w górę do najwyżej położonego punktu o współrzędnych minus 1, trzy. Stąd wykres zaczyna biec w prawo w dół, przecina oś Y w punkcie y równa się 2, jego prawy koniec ma współrzędne jeden, zero. Punkt ten jest początkiem pierwszego z odcinków, który biegnie ukośnie w prawo w dół o swojego końca o współrzędnych 3, minus cztery. Z tego punktu w górę w prawo biegnie drugi odcinek, który jest prawostronnie otwarty i ograniczony z prawej strony niezamalowanym punktem o współrzędnych 4, zero.
Rozwiązanie
a) Dziedziną funkcji f jest przedział prawostronnie otwarty od minus czterech do czterech. Dziedzinę możemy zaznaczyć na osi X w postaci poziomego odcinka prawostronnie otwartego o lewym końcu o współrzędnych minus 4, 0 oraz z prawej strony ograniczonego niezamalowanym punktem o współrzędnych 4, zero.
b) Zbiorem wartości funkcji f jest przedział domknięty od minus czterech do trzech. Zbiór wartości funkcji możemy zaznaczyć na Y za pomocą pionowego odcinka o dolnym końcu o współrzędnych 0, minus 4 oraz o górnym końcu o współrzędnych zero, trzy.
c) Największą wartość równą 3 funkcja przyjmuje dla x równego minus jeden, najmniejszą wartość równą minus 4 funkcja przyjmuje dla x równego trzy. Na rysunku wystarczy zrzutować najwyżej i najniżej położone punkty na oś X i odczytać rozwiązanie.
d) Miejscami zerowymi funkcji f są x 1 równe minus 3 oraz x 2 równe jeden.
e) Wartości dodatnie przyjmowane są tylko w przedziale otwartym od minus trzech do jeden. Wartości ujemne przyjmowane są w dwóch przedziałach: pierwszy: prawostronnie otwarty od minus czterech do minus trzech oraz drugi: otwarty od jeden do czterech.
f) Funkcja f rośnie w przedziale domkniętym od minus czterech do minus jeden (jest to przedział, w którym wykres funkcji f biegnie w górę). Funkcja f maleje w przedziale domkniętym od minus jeden do trzech (jest to przedział, w którym wykres funkcji f biegnie w dół). Funkcja f znów rośnie w przedziale prawostronnie otwartym od trzech do czterech (jest to przedział, w którym wykres funkcji f biegnie w górę).
Zadanie drugie.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Określ:
a) dziedzinę funkcji f;
b) zbiór wartości funkcji f.
Opis rysunku: w układzie współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech narysowano wykres funkcji f składający się z dwóch rozłącznych odcinków, które są ukośne. Pierwszy odcinek ma lewy koniec w zamalowanym punkcie o współrzędnych minus 4, minus dwa. Odcinek biegnie ukośnie w prawo w górę i z prawej strony jest ograniczony niezamalowanym punktem o współrzędnych minus 2, dwa. Drugi odcinek jest ograniczony z lewej strony niezamalowanym punktem o współrzędnych 0, trzy. Z tego punktu biegnie ukośnie w górę w prawo do zamalowanego punktu o współrzędnych 4, cztery.
Rozwiązanie
a) Dziedziną funkcji f jest zbiór wszystkich liczb należących do przedziału prawostronnie otwartego od minus czterech do minus dwóch lub przedziału lewostronnie otwartego od zera do czterech. Aby to sprawdzić, wystarczy zrzutować na oś X oba odcinki. Nasze rzuty wyznaczają dziedzinę funkcji f.
b) Zbiór wartości to zbiór wszystkich liczb z przedziału prawostronnie otwartego od minus dwóch do dwóch lub przedziału lewostronnie otwartego od trzech do czterech. Aby otrzymać zbiór wartości funkcji f wystarczy postąpić analogicznie jak w podpunkcie a, czyli zrzutować nasze odcinki na oś Y.