Funkcja $f$ określona jest na zbiorze liczb rzeczywistych, a fragment jej wykresu dla argumentówargumentargumentów należących do przedziału $⟨-5;5⟩$ przedstawiony został poniżej.

Rezk6rvYloYWI

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu i z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano na wysokości równej 1 poziomą prostą, którą podpisano y równa się f od x.

Może się nam wydawać, że o funkcji $f$ wiemy już wszystko.

I tak: „na pewno” jest ona stale równa $1$. Otóż niekoniecznie! Zupełnie inną możliwość pokazuje poniższy rysunek, na którym przedstawiono znacznie większy fragment wykresu tej funkcji:

R7svU5TjGtcR4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu i z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y równa się f od x. Od lewej funkcja biegnie łukowato z trzeciej ćwiartki w górę, przebija oś X w okolicach punktu x równa się minus 9,5 i biegnie daje w drugiej ćwiartce łukowato do wysokości y równa się 4, po czym dalej biegnie w dół. Przebija ponownie oś X w okolicy punktu x równa się minus 6 i jedna trzecia. Wykres biegnie w dół do wysokości y równa się minus jeden. Stąd wykres znowu odbija w górę do punktu o współrzędnych minus pięć jeden. Od tego punktu wykres przyjmuje postać poziomego odcinka, którego prawy koniec znajduje się w punkcie o współrzędnych sześć jeden. Dalej funkcja jest łukowatą krzywą, czyli biegnie w górę do wysokości y równa się 3, skąd zawraca w dół, przebija oś X w okolicach punktu x równa się 7 i dwie trzecie i biegnie dalej w dół do wysokości y równa się minus cztery. Stąd wykres odbija w górę i przebija oś X w punkcie x równa się 11 i biegnie dalej w górę w pierwszej ćwiartce.

Na podstawie wykresu funkcji $f$ znajdziemy jej:
a) dziedzinę,
b) zbiór wartości,
c) wartość największą,
d) wartość najmniejszą.

R1O8QHZQvVrAe

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y równa się f od x, który jest podwójnie wybrzuszonym łukiem. Jego lewy koniec ma współrzędne minus trzy, 2, a prawy 4, minus 1 i oba oznaczone są zamalowanymi kółkami. Łuk od lewej biegnie w dół do swojego punktu krytycznego mniej więcej w okolicy minus jeden, jedna druga. Stąd wykres odbija w prawo w górę, przebija oś Y w punkcie y równa się 1 i biegnie do kolejnego punktu krytycznego o współrzędnych 2, 3, skąd biegnie w dół do swojego prawego końca, przecinając oś X między współrzędnymi 3 i cztery.

Rozwiązanie

Zauważamy, że:

a) dziedzina funkcji to $⟨-3;4⟩$. Aby się o tym przekonać, wystarczy zauważyć, że proste pionowe o równaniu $x=a$ przecinają wykres funkcji $f$ wtedy i tylko wtedy, gdy $-3\le a\le 4$;

Rkwl4XCh2rv2s

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y równa się f od x z treści zadania, który jest podwójnie wybrzuszonym łukiem. Jego lewy koniec ma współrzędne minus trzy, 2 i zaznaczony jest zamalowanym kółkiem. Koniec ten jest zrzutowany na poziomą oś X. Przez lewy koniec przebiega również narysowana linią przerywaną pionowa prosta x równa się trzy. Prawy koniec łuku ma współrzędne 4, minus 1 i jest również oznaczone zamalowanym kółkiem. Prawy koniec również zrzutowano na poziomą oś X oraz przez koniec ten również przebiega pionowa prostą x równa się 4, którą narysowano linią przerywaną. Łuk nie wybiega względem osi X poza współrzędne iksowe swoich końców. Na osi X poprowadzono poziomy odcinek reprezentujący dziedzinę funkcji o lewym końcu x równa się minus 3 i prawym x równa się 4, przy czym oba te końce należą do dziedziny i są zaznaczone zamalowanymi kółkami. Opis wykresu funkcji: Łuk od lewej biegnie w dół do swojego punktu krytycznego mniej więcej w okolicy minus jeden, jedna druga. Stąd wykres odbija w prawo w górę, przebija oś Y w punkcie y równa się 1 i biegnie do kolejnego punktu krytycznego o współrzędnych 2, 3, skąd biegnie w dół do swojego prawego końca, przecinając oś X między współrzędnymi 3 i cztery.

b) zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨-1;3⟩$. Aby się o tym przekonać, zauważmy, że zarówno prosta $y=3$, jak i prosta $y=-1$ ma jeden punkt wspólny z wykresem  funkcji $f$. Ponadto każda prosta pozioma, leżąca pomiędzy tymi dwiema prostymi, przecina wykres funkcji $f$. Jednocześnie żadna prosta pozioma, leżąca ponad prostą $y=3$, ani żadna prosta pozioma leżąca poniżej prostej $y=-1$ nie przecinają go;

RwZlEmWBiHnir

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y równa się f od x z treści zadania, który jest podwójnie wybrzuszonym łukiem. Jego lewy koniec ma współrzędne minus trzy, 2, a prawy 4 minus 1, przy czym oba zaznaczone są zamalowanymi kółkami. Łuk od lewej biegnie w dół do swojego punktu krytycznego mniej więcej w okolicy minus jeden, jedna druga. Stąd wykres odbija w prawo w górę, przebija oś Y w punkcie y równa się 1 i biegnie do kolejnego punktu krytycznego o współrzędnych 2, 3, przy czym punkt ten jest najwyżej położonym punktem wykresu. Zrzutowano punkt na oś Y i poprowadzono przez niego linią przerywaną poziomą prostą y równa się trzy. Z punktu 2, 3 wykres biegnie w dół do swojego prawego końca, przecinając oś X między współrzędnymi 3 i cztery. Prawy koniec łuku jest najniżej położonym punktem, który również zrzutowano na oś Y i poprowadzono przez niego linią przerywaną poziomą prostą y równa się minus jeden. Na osi Y narysowano pionowy odcinek łączący oba zrzutowane punkty, czyli odcinek o końcach y równa się minus 1 i y równa się trzy. Zbiór ten reprezentuje zbiór wartości funkcji.

c) największą wartością funkcji $f$ jest liczba $3$;

d) najmniejszą wartością funkcji $f$ jest liczba $\left(-1\right)$.

Wykres funkcji $f$ jest pokazany na poniższym rysunku. Znajdziemy:
a) miejsca zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejsca zerowe funkcji $f$;
b) argumenty, dla których wartość funkcji $f$ jest dodatnia;
c) argumenty, dla których wartość funkcji $f$ jest ujemna.

R1ZEhUPVf4Gcu

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y równa się f od x. Wykres jest łamaną składającą się z trzech odcinków. Wszystkie końce każdego z odcinków należą do wykresu. Odcinek pierwszy ma lewy koniec w punkcie o współrzędnych minus 3, 3, a prawy koniec 1, minus trzy. Z tego punktu biegnie drugi odcinek o prawym końcu w punkcie o współrzędnych 2, zero. Z tego punktu biegnie ostatni odcinek o prawym końcu o współrzędnych w punkcie 4, dwa.

Rozwiązanie

Zauważamy, że:
a) wykres przecina oś $X$ w punktach $\left(-1,0\right)$ oraz $\left(2,0\right)$. Zatem $\left(-1\right)$ oraz $2$ są miejscami zerowymi funkcji $f$;
b) funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie w przedziale $\left.⟨-3,-1\right)$ oraz w przedziale $\left(2,4\right.⟩$;
c) funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne w przedziale $\left(-1;2\right)$.

Funkcja $f$ rośnie w przedziale $\left(a;b\right)$, jeśli dla każdych argumentów $x_1$ oraz $x_2$ z tego przedziału prawdą jest, że:

Rj4OpnheMVpZF

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, przy czym głównie przedstawiono pierwszą ćwiartkę. Na osi X zaznaczono kolejno od lewej punkty: a, x jeden, x dwa, b. Wykresem funkcji jest podwójnie wybrzuszony łuk, który zrzutowano na oś X. Rozciąga się on między punktami a i b zaznaczonymi zamalowanymi kółkami na osi. Łuk biegnie od swojego lewego końca w górę do swojego prawego końca. Pierwsza od lewej część łuku jest wybrzuszona w dół w prawo, druga, ta przy prawym końcu, jest wybrzuszona w górę w lewo. Wybrano dwa przykładowe punkty łuku, które zrzutowano na obie osie. Punkt pierwszy ma współrzędne x 1, f od x 1, a punkt drugi ma współrzędne x 2, f od x 2, przy czym punkt x 2 leży na prawo od x 1, co oznacza, że x 2 ma większą wartość. Punkt f od x 2 leży nad punktem f od x 1, co oznacza, że punkt f od x 2 przyjmuje większą wartość od f od x 1, czyli dla coraz większych argumentów, otrzymujemy coraz większe wartości funkcji.

Wykres funkcji $f$ jest dany na rysunku poniżej. Dla jakich argumentów funkcja $f$ jest rosnąca?

R1WAgCN01JK1J

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano łamaną składającą się z trzech ukośnych odcinków, przy czym wszystkie końce odcinków należą do wykresu. Od lewej mamy: pierwszy odcinek o lewym końcu o współrzędnych minus 2, minus 1, i o prawym końcu o współrzędnych minus 1, dwa. Z tego punktu biegnie drugi odcinek o prawym końcu o współrzędnych 1, trzy. Z tego punktu biegnie trzeci odcinek o prawym końcu o współrzędnych 4, 4

Rozwiązanie

Z rysunku odczytujemy, że funkcja $f$ rośnie w przedziale $⟨-2;4⟩$.

Funkcja $f$ maleje w przedziale $\left(a;b\right)$, jeśli dla każdych argumentów $x_1$ oraz $x_2$ z tego przedziału prawdą jest, że:

Rkho2VvkeZjRj

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano w pierwszej ćwiartce łuk o lewym końcu w zamalowanym punkcie leżącym na dodatniej półosi O Y. Z tego puntu łuk biegnie w prawo w dół i jest wybrzuszony w lewo w dół. Dziedziną funkcji jest zbiór domknięty a b zaznaczony na osi X. Odcinek powstał ze zrzutowania na poziomą oś końców łuku. Wybrano dwa przykładowe punkty należące do łuku. Pierwszy punkt ma współrzędne x 1, f od x 1, drugi ma współrzędne x 2, f od x dwa. Współrzędna x 2 leży na prawo od x 1, czyli ma większą wartość. Natomiast wartości funkcji są następujące: punkt f od x 1 znajduje się nad punktem f od x 2, czyli dla mniejszego x, osiągamy większą wartość. Czyli w ogólności: dla coraz większych iksów, otrzymujemy coraz mniejsze wartości funkcji.

Dla jakich argumentów funkcja $f$ jest malejąca?

R1TwtTuZAy8qd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowano łamaną y równa się f od x, składającą się z dwóch ukośnych odcinków, przy czym wszystkie końce odcinków należą do wykresu funkcji. Od lewej mamy pierwszy odcinek o końcach o współrzędnych minus 2, 3 oraz minus 1, jeden. Z tego punktu biegnie drugi odcinek do puntu o współrzędnych 4, minus dwa.

Rozwiązanie

Z rysunku można odczytać, że funkcja $f$ jest malejąca  w przedziale $⟨-2;4⟩$.

Funkcja $f$ jest stała w przedziale $\left(a;b\right)$, jeśli dla każdych argumentów $x_1$ oraz $x_2$ z tego przedziału  zachodzi równość:

R1VrRMq5bhHkf

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y. Przedstawiono głównie pierwszą ćwiartkę. Na płaszczyźnie w pierwszej ćwiartce zaznaczono poziomy odcinek o końcach o końcach oznaczonych zamalowanymi kółkami. Oba końce zaznaczono zamalowanymi kółkami. Końce zrzutowano na oś X, lewy koniec ma współrzędną iksową równą a, prawy równą b. Oczywiście a jet mniejsze od b. Wybrano dwa przykładowe punkty należące do odcinka: punkt o współrzędnych x 2, f od x 2 oraz punkt o współrzędnych x 1, f od x jeden. Relacja pierwszych współrzędnych jest następująca: x 2 leży na lewo od x 1, więc x 2 jest mniejsze od x jeden, natomiast wartości f od x 2 oraz f od x 1 są równe i pokrywają się na osi.

Dla jakich argumentów funkcja przedstawiona na rysunku poniżej jest stała?

R1R3D6dekSNBI

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech oraz pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowano poziomy odcinek będący wykresem funkcji podpisany y równa się f od x. Odcinek ma końce w zamalowanych punktach o współrzędnych minus 2, 2 oraz 4, dwa.

Rozwiązanie

Z rysunku powyżej można odczytać, że funkcja $f$ jest stała w przedziale $⟨-2;4⟩$.

Jakie własności ma funkcja $f$ przedstawiona na rysunku poniżej?

R1ICXMXpPpOeX

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z kawałka paraboli, łuku oraz trzech połączonych ze sobą odcinków. Wszystkie punkty krańcowe należą do wykresu. Od lewej mamy kawałek prawego ramienia paraboli. Ramię to ma początek w wierzchołku o współrzędnych minus 4, 1, ramię biegnie w dół do punktu o współrzędnych minus 2, minus cztery. Z tego punktu biegnie niemal pionowy łuk do góry w prawo do punktu o współrzędnych minus 1, trzy. Stąd biegnie ukośny odcinek do punktu o współrzędnych 1, cztery. Z tego punktu biegnie poziomy odcinek o prawym końcu o współrzędnych 3, cztery. Stąd biegnie w dół ukośny odcinek do punktu o współrzędnych 4, minus dwa.

Rozwiązanie

Funkcja $f$:

• maleje w przedziale $⟨-4;-2⟩$;

• rośnie w przedziale $⟨-2;1⟩$;

• jest stała w przedziale $⟨1;3⟩$;

• maleje w przedziale $⟨3;4⟩$.

Widzimy, że w całej swej dziedzinie, czyli w przedziale $⟨-4;4⟩$, funkcja $f$ nie jest monotoniczna.

Mówimy, że przedział $⟨a;b⟩$ jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja rośnie, jeśli funkcja $f$ rośnie w przedziale $⟨a;b⟩$, lecz nie rośnie w żadnym większym przedziale zawierającym $⟨a;b⟩$.

Jakie własności ma funkcja przedstawiona na poniższym rysunku?

R1XwYAlOhNcVn

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący łukiem o lewym końcu o współrzędnych minus 4, minus trzy. Stąd łuk biegnie w górę, zakręcając w prawo. Najwyżej położonym punktem łuku jest punkt o współrzędnych 1, cztery. Z tego punktu łuk zaczyna biec w dół do swojego prawego końca o współrzędnych , minus cztery.

Rozwiązanie

Funkcja $f$:

• rośnie w przedziale $\left(-3;1\right)$, ale maksymalnym przedziałem, w którym ta funkcja rośnie jest przedział  $⟨-4;1⟩$;

• maleje w przedziale $\left(2;3\right)$, ale maksymalnym przedziałem, w którym ta funkcja maleje, jest przedział  $⟨1;4⟩$.

zmienna niezależna funkcji, będąca elementem jej dziedziny

zbiór wszystkich argumentów funkcji

przyporządkowanie elementom jednego zbioru $X$ elementów drugiego zbioru $Y$ w taki sposób, że każdemu elementowi $x\in X$ odpowiada dokładnie jeden element $y\in Y$

argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zero; miejsce przecięcia wykresu funkcji z osią $X$

zbiór wszystkich  liczb, które są wartościami dla argumentów funkcji