Slajd 1. Wyznaczmy asymptoty wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2-2}{x-3}$. Slajd 2. Policzmy granicę w plus i minus nieskończoności. Zapiszmy więc. $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2-2}{x-3}$, oraz $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-2}{x-3}$. Stąd, granicą w plus nieskończoności jest plus nieskończoność. Analogicznie granicą w minus nieskończoności jest minus nieskończoność. Slajd 3. Ponieważ nie istnieje skończona granica funkcji w plus i minus nieskończoności, funkcja f nie posiada asymptoty poziomej. Slajd 4. Następnie wyznaczmy asymptotę ukośną. W tym celu obliczymy iloraz funkcji f przez x, oraz znajdziemy granicę otrzymanej funkcji w plus i minus nieskończoności. $\frac{f\left(x\right)}{x}=\frac{{\displaystyle \frac{x^2-2}{x-3}}}{x}=\frac{x^2-2}{x\left(x-3\right)}=\frac{x^2-2}{x^2-3x}$. Następnie. $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2-2}{x^2-3x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}{1-{\displaystyle \frac{3}{x}}}=1$. Granica otrzymanej funkcji jest równa współczynnikowi a, równania asymptoty ukośnej. Zatem współczynnik a asymptoty ukośnej jest równy jeden. Slajd 5. Wyznaczamy następnie wartość współczynnika b. $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-ax\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2-2}{x-3}-x=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2-2-x^2+3x}{x-3}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x-2}{x-3}=3$. Granica różnicy funkcji f i ax jest równa trzy. Otrzymujemy zatem, że wartość współczynnika b jest równa trzy. Slajd 6. Podsumowując, równaniem asymptoty ukośnej jest $y=x+3$. Slajd 7. Zauważmy, że dziedziną naszej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych za wyjątkiem liczby trzy. W tym punkcie będziemy szukać asymptoty pionowej. Slajd 8. Policzmy zatem granicę lewostronną i prawostronną w tym punkcie. $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x^2-2}{x-3}=\left[\frac{7}{0^{+}}\right]=+\infty$. Oraz $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{x^2-2}{x-3}=\left[\frac{7}{0^{-}}\right]=-\infty$. Granicą prawostronną w punkcie x równe 3 jest plus nieskończoność. Granicą lewostronną w punkcie x równe 3 jest minus nieskończoność. Slajd 9. Funkcja posiada asymptotę pionową obustronną o równaniu x równa się trzy. Slajd 10. Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do czternastu, oraz z pionową osią Y od minus dziesięć do piętnastu. Na płaszczyźnie narysowano wykres hiperboli. Zaznaczono asymptotę pionową, oraz ukośną. Odpowiedź. Funkcja f posiada asymptotę pionową x równa się trzy, oraz ukośną $y=x+3$.