Mówimy, że prosta $x=x_0$ jest asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji $f$ (lub że funkcja $f$ ma asymptotę pionową lewostronną postaci $x=x_0$), jeżeli granica lewostronna funkcji $f$ w punkcie $x_0$ jest nieskończona:

Sprawdzimy, czy wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{x}{1-x}$, $x\ne 1$, posiada asymptoty pionowe.

Rozwiązanie

Zauważmy, że funkcja jest ciągła wszędzie, poza punktem $x=1$, gdzie jest nieokreślona, więc musimy sprawdzić granice funkcji jedynie w tym punkcie. Obliczmy je zatem. Mamy:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x}{1-x}=\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\infty$,

oraz

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x}{1-x}=\left[\frac{1}{0^{-}}\right]=-\infty$,

czyli wykres funkcji $f$ ma asymptotę pionową obustronną o równaniu $x=1$.

R1XpsjB2RiL2o

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią Y od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji. Hiperbola znajduje się w drugiej, oraz czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Asymptotę pionową, obustronną wykresu opisuje równanie x równa się jeden.

Wykażemy, że wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2}{x}$ nie posiada asymptoty pionowej.

Rozwiązanie

Funkcja $f$ nie jest określona dla $x=0$, ale ma w tym punkcie granicę właściwą (skończoną), równą $0$. Zatem nie istnieje asymptota pionowa wykresu tej funkcji.

Pokażemy, że wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{\sin {\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)}}{x}$ nie posiada asymptoty pionowej.

Rozwiązanie

Przeanalizujmy wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{\sin {\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)}}{x}$:

Rp95JD4zkxi0Q

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech dziesiątych do trzech dziesiątych z podziałką co jedna dziesiąta oraz z pionową osią Y od minus dwudziestu do dwudziestu z podziałką co dziesięć. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y równa się początek ułamka sinus nawias jeden podzielić na x zamknięcie nawiasu mianownik x. Wykres tej funkcji jest silnie zagęszczoną wokół zera przekształconą sinusoidą, która w okolicy zera osiąga bardzo wysokie i bardzo niskie wartości, dopiero od argumentów około 0,03 amplituda wahań wykresu maleje, osiągając wartości z zakresu plus minus dwadzieścia. Im dalej od zera, tym wykres bardziej łagodnieje. Wykres jest symetryczny względem pionowej osi Y.

Zauważmy, że funkcja przyjmuje nieograniczenie duże wartości w pobliżu punktu $x=0$, w którym nie jest określona, ale nie posiada w tym punkcie granicy, tym samym nie posiada również asymptoty pionowej.

Mówimy, że prosta $y=y_0$ jest asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji $f$ (lub że funkcja $f$ ma asymptotę poziomą lewostronną postaci $y=y_0$), jeżeli granica funkcji $f$ dla $x$ dążącego do $-\infty$ jest skończona i równa $y_0$,

Sprawdzimy, czy wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{x}{1-x}$, $x\ne 1$, posiada asymptoty poziome.

Rozwiązanie

Wyznaczymy w tym celu granice tej funkcji w nieskończonościach:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{1-x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{x}-1}}=\frac{1}{0-1}=-1$

oraz

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{1-x}=-1$,

czyli wykres podanej funkcji posiada asymptotę poziomą obustronną o równaniu: $y=-1$.

Asymptoty poziome lewo- i prawostronne nie muszą być określone tymi samymi równaniami.

Pokażemy, że wykres funkcji:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{2}^x-3 \mathrm{dla} x\le 1\\ {\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-1}-2 \mathrm{dla} x>1\end{array}\right.$,

posiada różne asymptoty poziome z lewej i prawej strony.

Rozwiązanie

Narysujmy wykres tej funkcji:

R1DuDLMuWN2fK

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią Y od minus pięciu do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji. Funkcja jest rosnąca w przedziale od minus nieskończoności do jeden. Od minus jeden do plus nieskończoności funkcja jest malejąca. Na płaszczyźnie zaznaczono asymptotę poziomą lewostronną funkcji, którą opisuje równanie y równa się minus trzy, oraz asymptotę prawostronną funkcji y równa się minus dwa.

Zauważmy, że

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-3$

oraz

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-2$,

czyli prosta $y=-3$ jest asymptotą poziomą lewostronną, a prosta $y=-2$ jest asymptotą poziomąasymptota poziomaasymptotą poziomą prawostronną tej funkcji.

Mówimy, że prosta $y=ax+b$ jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji $f$ (lub że funkcja $f$ ma asymptotę ukośną lewostronną postaci $y=ax+b$), jeżeli granica różnicy funkcji $f$ i $ax+b$ dla $x$ dążącego do $-\infty$ jest równa $0$:

Sprawdzimy, czy wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^3+x^2+2x+3}{x^2+2}$ posiada asymptotę ukośną.

Rozwiązanie

Zobaczmy najpierw, czy jesteśmy w stanie wyznaczyć wartość parametru $a$:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^3+x^2+2x+3}{x^3+2x}=$

$=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^3}}{1+\frac{2}{x^2}}=\frac{1+0+0+0}{1+0}=1$ ,

czyli $a=1$.

Wyznaczymy następnie wartość parametru $b$:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-ax\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{x^3+x^2+2x+3}{x^2+2}-x\right)=$

$=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+3}{x^2+2}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\frac{3}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}}=\frac{1+0}{1+0}=1$,

czyli $b=1$.

Te same wyniki otrzymamy dla granic przy $x$ dążącym do $+\infty$ i ostatecznie możemy stwierdzić, że prosta $y=x+1$ jest asymptotą ukośnąasymptota ukośnaasymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^3+x^2+2x+3}{x^2+2}$.

Sprawdzimy, czy wykres funkcji $f\left(x\right)=\sqrt{x-x^2}$ posiada asymptoty ukośne.

Rozwiązanie

Dziedziną tej funkcji jest zbiór $\left\{x\in \mathrm{ℝ}:0⩽x⩽1\right\}$, zatem nie posiada w ogóle granic w nieskończonościach, i nie może posiadać asymptot ukośnych.

Wykażemy, że wykres funkcji $f\left(x\right)=x-x^2$ nie posiada asymptot ukośnych.

Rozwiązanie

Sprawdzimy, czy da się wyznaczyć wartość $a$. Dla asymptoty ukośnej lewostronnej mamy:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1-x\right)=+\infty$.

Zatem funkcja nie posiada asymptoty ukośnej lewostronnej. Podobnie sprawdzamy, że nie istnieje asymptota prawostronna.

Wykażemy, że wykres funkcji $f\left(x\right)=2x+\sin x$ nie posiada asymptot ukośnych.

Rozwiązanie

Wyznaczymy najpierw wartość $a$. Zarówno z lewej, jak i prawej strony:

$a=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(2+\frac{\sin x}{x}\right)=2$.

Wyznaczamy wartość $b$:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-ax\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-2x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\sin x$

Granice te jednak nie istnieją.

Ostatecznie nie istnieje ani lewostronna, ani prawostronna asymptota ukośna tej funkcji.

prosta $x=x_0$, jeżeli granica funkcji dla $x$ dążącego do $x_0$ jest nieskończona ($-\infty$ lub $+\infty$)

prosta $y=y_0$, jeżeli granica funkcji w nieskończoności ($-\infty$ lub $+\infty$) jest skończona i równa $y_0$

prosta $y=ax+b$, jeżeli w nieskończoności ($-\infty$ lub $+\infty$) granica różnicy $\left(f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right)$ jest równa $0$