Prezentacja dotyka kolejnego problemu dotyczącego pomiaru odległości. Wyobraźmy sobie szeroką rzekę, trudną do przepłynięcia, zbyt szeroką lub niebezpieczną. Zadanie polega na tym, aby wykorzystując funkcje trygonometryczne spróbować wyznaczyć jej szerokość z możliwie dużą dokładnością.
Polecenie 1
Prześledź kolejne kroki prezentacji.
RlHwFqRFnZgPM
Slajd pierwszy zawiera pytanie: Jak obliczyć szerokość rzeki bez jej przekraczania? Obok znajduje się grafika przedstawiająca rzekę wijącą się między drzewami, domami i drogami. Zastanówmy się, jak obliczyć szerokość rzeki bez jej przekraczania. Slajd drugi przedstawia krok pierwszy: szukamy charakterystycznego punktu po drugiej stronie rzeki, na przykład kamienia lub drzewa. Oznaczmy go na rysunku przez punkt A. Na rysunku przedstawiającym rzekę na prawym brzegu pojawia się punkt A. Slajd trzeci przedstawia krok drugi: wybieramy punkt B na brzegu w ten sposób, aby odległość pomiędzy A i B była jak najmniejsza. Na rysunku na drugim brzegu na wysokości punktu A pojawia się punkt B. Slajd czwarty przedstawia krok trzeci: Wybieramy punkt C w ten sposób aby kąt ABC był prosty. Na rysunku na tym samym boku, na którym znajduje się punt B zaznaczono punkt C, znajduje się on nad punktem B. Kąt ABC to kąt prosty. Slajd piąty: na rysunku pojawia się trójkąt, który łączy punkty A B oraz C leżące na brzegu rzeki. Kąt ABC jest kątem prostym. Otrzymaliśmy w ten sposób trójkąt prostokątny. Slajd szósty przedstawia krok czwarty: Teraz bierzemy miarkę i mierzymy odległość od punktu B do punktu C. Punkty te znajdują się na jednym brzegu rzeki, odcinek który tworzą jest jedną z przyprostokątnych opisywanego wcześniej trójkąta, odcinek ten na rysunku zaznaczono pytajnikiem. Slajd siódmy przedstawia krok piąty: Najtrudniejsza część zadania, należy zmierzyć kąt ACB. Do tego może się przydać kompas, można wtedy wyznaczyć różnicę azymutów z punktu C na punkt B i A. Slajd ósmy przedstawia krok szósty: wyznaczamy długość odcinka AB, trzeba tylko znaleźć wartość tangensa w tablicach matematycznych i wykonać mnożenie. Obliczenia są następujące: , czyli . Slajd dziewiąty przedstawia przykład o treści: Obliczymy teraz szerokość rzeki na konkretnym przykładzie. Na mapie mamy fragment Wisły w okolicach Płocka. Punkty A i B znajdują się w charakterystycznych miejscach nawias A to Dąb Wielki, skrzyżowanie i B zakręt drogi zamknięcie nawiasu. Długość odcinka AB możemy zmierzyć jadąc samochodem, droga praktycznie pokrywa się z przyprostokątną trójkąta. Na rysunku znajduje się mapa pokazująca fragment Wisły. Wzdłuż rzeki zaznaczono odcinek AB, który ma długość 4,5 kilometra. Slajd dziesiąty: Punkt C znajduje się na przeciwległym brzegu. Miarę kąta BAC możemy zmierzyć używając kompasu i stojąc w punkcie A. Azymut na punkt B pokrywa się praktycznie z drogą, a punkt na C można przyjąć widoczne zabudowania miejscowości Dobrzyń, biorąc ewentualnie małą poprawkę na zachód. Różnica azymutów daje nam w przybliżeniu kąt 25 stopni. Na rysunku znajduje się trójkąt prostokątny ABC. Gdzie kąt ABC to kąt prosty. Przyprostokątna AB ma długość 4,5 kilometra, a kąt BAC ma miarę 25 stopni. Slajd jedenasty: Odległość , a więc praktycznie szerokość Wisły w tym miejscu obliczamy z tangensa kąta 25 stopni. Możemy jeszcze zauważyć, że punkt B nie jest przy samej rzece, co pozwala nam odjąć od otrzymanego wyniku około 150 metrów, co daje nam wynik 1950 metrów. Rzeczywista szerokość rzeki w tym miejscu wynosi 1800 m co przy naszych przybliżeniach jest dość trafnym oszacowaniem szerokości. Obliczenia są następujące .
Slajd pierwszy zawiera pytanie: Jak obliczyć szerokość rzeki bez jej przekraczania? Obok znajduje się grafika przedstawiająca rzekę wijącą się między drzewami, domami i drogami. Zastanówmy się, jak obliczyć szerokość rzeki bez jej przekraczania. Slajd drugi przedstawia krok pierwszy: szukamy charakterystycznego punktu po drugiej stronie rzeki, na przykład kamienia lub drzewa. Oznaczmy go na rysunku przez punkt A. Na rysunku przedstawiającym rzekę na prawym brzegu pojawia się punkt A. Slajd trzeci przedstawia krok drugi: wybieramy punkt B na brzegu w ten sposób, aby odległość pomiędzy A i B była jak najmniejsza. Na rysunku na drugim brzegu na wysokości punktu A pojawia się punkt B. Slajd czwarty przedstawia krok trzeci: Wybieramy punkt C w ten sposób aby kąt ABC był prosty. Na rysunku na tym samym boku, na którym znajduje się punt B zaznaczono punkt C, znajduje się on nad punktem B. Kąt ABC to kąt prosty. Slajd piąty: na rysunku pojawia się trójkąt, który łączy punkty A B oraz C leżące na brzegu rzeki. Kąt ABC jest kątem prostym. Otrzymaliśmy w ten sposób trójkąt prostokątny. Slajd szósty przedstawia krok czwarty: Teraz bierzemy miarkę i mierzymy odległość od punktu B do punktu C. Punkty te znajdują się na jednym brzegu rzeki, odcinek który tworzą jest jedną z przyprostokątnych opisywanego wcześniej trójkąta, odcinek ten na rysunku zaznaczono pytajnikiem. Slajd siódmy przedstawia krok piąty: Najtrudniejsza część zadania, należy zmierzyć kąt ACB. Do tego może się przydać kompas, można wtedy wyznaczyć różnicę azymutów z punktu C na punkt B i A. Slajd ósmy przedstawia krok szósty: wyznaczamy długość odcinka AB, trzeba tylko znaleźć wartość tangensa w tablicach matematycznych i wykonać mnożenie. Obliczenia są następujące: , czyli . Slajd dziewiąty przedstawia przykład o treści: Obliczymy teraz szerokość rzeki na konkretnym przykładzie. Na mapie mamy fragment Wisły w okolicach Płocka. Punkty A i B znajdują się w charakterystycznych miejscach nawias A to Dąb Wielki, skrzyżowanie i B zakręt drogi zamknięcie nawiasu. Długość odcinka AB możemy zmierzyć jadąc samochodem, droga praktycznie pokrywa się z przyprostokątną trójkąta. Na rysunku znajduje się mapa pokazująca fragment Wisły. Wzdłuż rzeki zaznaczono odcinek AB, który ma długość 4,5 kilometra. Slajd dziesiąty: Punkt C znajduje się na przeciwległym brzegu. Miarę kąta BAC możemy zmierzyć używając kompasu i stojąc w punkcie A. Azymut na punkt B pokrywa się praktycznie z drogą, a punkt na C można przyjąć widoczne zabudowania miejscowości Dobrzyń, biorąc ewentualnie małą poprawkę na zachód. Różnica azymutów daje nam w przybliżeniu kąt 25 stopni. Na rysunku znajduje się trójkąt prostokątny ABC. Gdzie kąt ABC to kąt prosty. Przyprostokątna AB ma długość 4,5 kilometra, a kąt BAC ma miarę 25 stopni. Slajd jedenasty: Odległość , a więc praktycznie szerokość Wisły w tym miejscu obliczamy z tangensa kąta 25 stopni. Możemy jeszcze zauważyć, że punkt B nie jest przy samej rzece, co pozwala nam odjąć od otrzymanego wyniku około 150 metrów, co daje nam wynik 1950 metrów. Rzeczywista szerokość rzeki w tym miejscu wynosi 1800 m co przy naszych przybliżeniach jest dość trafnym oszacowaniem szerokości. Obliczenia są następujące .
Otwórz mapę, np. Szczecina i oblicz szerokość rzeki w ten sam sposób. Porównaj otrzymany wynik z rzeczywistą szerokością rzeki wynikającą z mapy i jej skali.
Na mapie Wrocławia w skali szerokość Odry wynosi . Na tej samej mapie wzdłuż jednego brzegu rzeki zaznaczono dwa punkty oraz tak, że są one oddalone od siebie o . Pierwszym punktem jest dawna przystań parowców i oznaczymy go jako . Na drugim brzegu rzeki dobrano taki punkt , aby był prostopadły do punkt . Z punktu wyznaczono azymut na punkt oraz tak, że ich równica wynosi w przybliżeniu kąt . Porównaj szerokość rzeki otrzymaną z dwóch sposobów.
