Przeczytaj

Wysokość trójkąta równobocznego

W architekturze, budownictwie czy sztukach użytkowych często stosuje się kształt trójkąta równobocznego. Również na lekcjach matematyki można spotkać wiele zadań, gdzie ten rodzaj trójkąta się pojawia, a wzór na jego wysokość pamięta prawie każdy. Skąd jednak on wynika?

Przykład 1

Wyznaczymy wzór na wysokość trójkąta równobocznego.

Rozwiązanie

R1K9uMSNQUP8q

Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny ABC o boku a. Z wierzchołka C poprowadzono wysokość h do punktu D w podstawie AB .

Aby wyznaczyć wzór na wysokość trójkąta równobocznego wystarczy rozpatrzyć funkcję sinus $∢ B A C$ .

Istotnie, $\sin ∢ B A C = \sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Mamy więc

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{a}$

i dalej

$2 h = a \sqrt{3}$ ,

skąd ostatecznie otrzymujemy

$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Okazuje się zatem, że wzór na wysokość trójkątawysokość trójkątawysokość trójkąta równobocznego i co za tym idzie, również na jego pole, można w łatwy sposób wyprowadzić z funkcji trygonometrycznych. Podobnie możemy wyznaczyć wzór na przekątną kwadratu.

Przekątna kwadratu

Przykład 2

Niech dany będzie kwadrat o bokach długości $a$ oraz przekątnej długości $d$ . Wyznaczymy wzór na przekątną kwadratu.

Rozwiązanie

PrzekątnaprzekątnaPrzekątna dzieli kwadrat na trójkąty równoramienne o kątach przy podstawie $45 °$ .

RQF0T7A8eqlyf

Ilustracja przedstawia kwadrat o boku a i przekątnej d. W połówce kwadratu oznaczono kąty 45°.

Mamy zatem

$\sin 45 ° = \frac{a}{d}$ ,

skąd otrzymujemy

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{d}$

i ostatecznie

$d = a \sqrt{2}$ .

Zastosowanie funkcji trygonometrycznych w praktyce

Wyobraźmy sobie teraz, że chcemy zmierzyć wysokość pionowego obiektu, np. drzewa. Wybierając punkt dostatecznie daleko od mierzonego obiektu (im dalej, tym dokładniejsze będą obliczenia) wystarczy zmierzyć odległość w poziomie między punktem, a drzewem oraz odpowiedni kąt.

Przykład 3

Czubek drzewa widać z odległości $20$ metrów pod kątem $22 °$ (z poziomu ziemi). Obliczymy wysokość drzewa.

Rozwiązanie:

Przyjmując że drzewo rośnie pionowo problem ten można przedstawić na poniższym rysunku.

R1QHc7smCTPKt

Ilustracja przedstawia drzewo. Na drzewo naniesiono trójkąt prostokątny tak , że krótsza przyprostokątna jest wysokością drzewa, dłuższa przyprostokątna ma wartość 20m a kąt pomiędzy nią a przeciwprostokątną ma wartość 22°.

Teraz, aby obliczyć wysokość drzewa, można zastosować funkcję tangens.

$tg 22 ° = \frac{wysokość drzewa}{20 m}$ .

Korzystając z tablic otrzymujemy, że $tg 22 ° \approx 0, 4040$ i co za tym idzie

$wysokość drzewa \approx 0, 4040 \cdot 20 m \approx 8, 1 m$ .

Na tym przykładzie widać, jak istotne dla geodezji czy budownictwa są funkcje trygonometryczne.

Rozpatrzmy teraz problem od innej strony. Niech tym razem znane będą odległości, a potrzebujemy wyznaczyć miarę odpowiedniego kąta.

Przykład 4

Samolot leci $6000 m$ nad ziemią prosto na lotnisko oddalone o $50 km$ . Wyznaczymy, jaki kąt opadania powinien obrać samolot, aby wylądować na lotnisku.

Rozwiązanie:

Zacznijmy od zilustrowania problemu zadania.

RswE6yKPYAg9A

Ilustracja przedstawia lotnisko z którego startuje samolot. Naniesiono trójkąt prostokątny tak że startujący samolot znajduje się przy kącie α pomiędzy przeciwprostokątną a dłuższą przyprostokątną .Dłuższa przyprostokątną ma wartość 50000m a krótsza która sięga do płyty lotniska ma 6000m.

Zauważmy, że $tg α = \frac{6000}{50000} = 0, 12$ . Wystarczy teraz odczytać wartość kąta $α$ z tablic funkcji trygonometrycznych i otrzymujemy, że kąt opadania powinien wynosić niecałe $7 °$ .

Długości odcinków w wielokątach są potrzebne m.in. do wyznaczania pola. Problem ten można jednak odwrócić, jak w poniższym przykładzie.

Przykład 5

Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę $45 °$ , a pole wynosi $x \sqrt{2}$ . Obliczymy wysokość tego rombu.

Rozwiązanie:

Z jednej strony wiemy, że $P = a h$ , z drugiej natomiast $\sin 45 ° = \frac{h}{a}$ ( $a$ – długość boku rombu; $h$ - długość jego wysokości).

Rozwiązujemy układ równań

$\{\begin{cases} a h = x \sqrt{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{a} \end{cases}$

i dalej

$\{\begin{cases} a = \frac{x \sqrt{2}}{h} \\ a = h \sqrt{2} \end{cases}$ ,

skąd

$\frac{x \sqrt{2}}{h} = h \sqrt{2}$ .

Przekształcając równanie otrzymujemy

$h^{2} \sqrt{2} = x \sqrt{2}$ ,

i ostatecznie, wiedząc, że $x > 0$ mamy

$h = \sqrt{x}$ .

Na koniec rozwiążemy jeszcze jeden przykład, tym razem z trapezem prostokątnym. Zwróćmy uwagę, że funkcje trygonometryczne często ułatwiają rozwiązać problem, ale nie są jedyną drogą do prawidłowego rozwiązania.

Przykład 6

Dany jest trapez prostokątny $A B C D$ , gdzie $A B$ jest dłuższą podstawą, $|A B| = 8 cm$ , $|A C| = 6 cm$ i $|∢ A C D| = 30 °$ . Obliczymy długość przekątnej $B D$ .

R1Qt228luevTV

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny ABCD o dłuższej podstawie równej 8 i przekątnej AC równej 6 . Kąt ACD wynosi 30°.

Rozwiązanie:

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny $A C D$ . Wtedy

$\sin 30 ° = \frac{|A D|}{6}$ ,

a dalej otrzymujemy

$\frac{1}{2} = \frac{|A D|}{6}$

i ostatecznie

$|A D| = 3 cm$ .

Zastosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta $A B D$ .

R18GQO9i2oqHI

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny ABCD o dłuższej podstawie równej 8 i boku DA równym 3. Przekątna DB jest jednocześnie przeciwprostokątną trójkąta ABD.

3^{2} + 8^{2} = {|D B|}^{2}

Oczywiście $|D B| > 0$ i otrzymujemy $|D B| = \sqrt{73} cm$ .

Uwaga:
Zadanie można rozwiązać inaczej, nie używając funkcji trygonometrycznych, a zauważając jedynie, że trójkąt $A C D$ jest połową trójkąta równobocznego $A C E$ , jak na poniższym rysunku.

R6HV32PlvU5px

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny ABCD o dłuższej podstawie równej 8 i przekątnej AC równej 6. Kąt ACD wynosi 30°. Trójkąt ACD jest połową większego trójkąta dla AEC dla którego podstawa trapezu DC jest osią symetrii.

Wtedy $|A D| = \frac{1}{2} |A C|$ skąd wynika, że $|A D| = 3 cm$ . Dalej postępujemy tak samo jak wyżej, stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta $A B D$ .

Słownik

wysokość trójkąta

odcinek łączący wierzchołek trójkąta z jego przeciwległym bokiem (lub jego przedłużeniem) i prostopadły do tego boku; przez wysokość trójkąta rozumie się również długość tego odcinka

przekątna

odcinek łączący dwa wierzchołki wielokąta, który nie jest bokiem

Wprowadzenie

Prezentacja multimedialna

Wysokość trójkąta równobocznego

Przekątna kwadratu

Zastosowanie funkcji trygonometrycznych w praktyce

Słownik