Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1NOiSCIrIBFt1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Wiedząc, że w trójkącie $A B C$ : $\sin α = 0, 48$ oraz $h = 3, 12$ , wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

RcH12GUhAViFk

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC, gdzie kąt ABC podpisano literą alfa. Z wierzchołka C na bok AB opuszczono wysokość h, jej spodek podpisano literą D.

RzgZmbzSfJ8xp

Ćwiczenie 3

Dany jest romb $A B C D$ o bokach długości $a$ jak na rysunku. Uzupełnij „ $?$ ” odpowiednimi funkcjami trygonometrycznymi.

RaZ5Ko1vawSNR

Ilustracja przedstawi romb A B C D, w którym kąt CDA ma miarę α=50°.W rombie liniami przerywanymi zaznaczono obie jego przekątne. Z wierzchołka A na ramię CD opuszczono wysokość h, jej spodek podpisano literą E.

a) Wysokość rombu możemy obliczyć stosując wzór $h = a \cdot ?$ lub $h = a \cdot ?$

b) $\frac{| A E |}{| D E |} =$ $?$ lub $\frac{|A E|}{|D E|} =$ $?$

c) $\frac{|C E|}{|A E|} =$ $?$ lub $\frac{|C E|}{|A E|} =$ $?$

d) $\frac{\frac{1}{2} |B D|}{|A B|} =$ $?$ lub $\frac{\frac{1}{2} |B D|}{|A B|} =$ $?$

Zauważmy, że skoro $|∢ A D C| = 50 °$ , to $|∢ B C D| = 180 ° - 50 ° = 130 °$ i co za tym idzie np. $|∢ D C A| = \frac{130 °}{2} = 65 °$ .

a) Wysokość rombu możemy obliczyć stosując wzór $h = a \cdot \sin 50 °$ lub $h = a \cdot \cos 40 °$ .

b) $\frac{|A E|}{|D E|} = tg 50 °$ lub $\frac{|A E|}{|D E|} = ctg 40 °$ .

c) $\frac{|C E|}{|A E|} = tg 25 °$ lub $\frac{|C E|}{|A E|} = ctg 65 °$ .

d) $\frac{\frac{1}{2} |B D|}{|A B|} = \sin 65 °$ lub $\frac{\frac{1}{2} |B D|}{|A B|} = \cos 25 °$ .

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawiono trójkąt $A B C$ .

R135ZuAUYDo7y

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC, gdzie kąt ABC podpisano α=40°, a kąt BAC podpisano β=50°, a kąt ACB jest kątem prostym. Z wierzchołka C na bok AB opuszczono wysokość h, jej spodek podpisano literą D.

RwGH2oJ1P6Dy5

Połącz w pary funkcje trygonometryczne podanych kątów z odpowiadającymi im wartościami. tangens czterdzieści stopni Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, długość odcinka, B D, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 3. początek ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 4. początek ułamka, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, koniec ułamka sinus pięćdziesiąt stopni Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, długość odcinka, B D, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 3. początek ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 4. początek ułamka, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, koniec ułamka kotangens czterdzieści stopni Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, długość odcinka, B D, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 3. początek ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 4. początek ułamka, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, koniec ułamka kosinus pięćdziesiąt stopni Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, długość odcinka, B D, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 3. początek ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 4. początek ułamka, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, koniec ułamka

Ćwiczenie 5

RnyoxL98y3Ieq

Ćwiczenie 6

Wierzchołek masztu widać z punktu $A$ pod kątem $32 °$ , a z punktu $B$ pod kątem $48 °$ . Podstawa masztu oraz punkty $A$ i $B$ leżą na jednej prostej. Maszt ma wysokość $25 m$ . Jaka jest odległość (z dokładnością do $1 m$ ) między punktami $A$ i $B$ , jeśli leżą one po tej samej stronie masztu?

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku ( $y$ – odległość punktu $A$ od podstawy masztu).

RB5EWSHpylUgS

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna ma długość y, a druga przyprostokątna ma długość 25 metrów. Wierzchołek łączący przeciwprostokątną i przyprostokątną o długości y podpisano literą A. Kąt przy wierzchołku A podpisano α=32°. Z wierzchołka leżącego przy przeciwprostokątnej i przyprostokątnej o długości 25 metrów poprowadzono odcinek, do punktu B leżącego na przyprostokątnej o długości y. Kąt ostry przy tym punkcie ma miarę β=48°. Odległość od punktu B do drugiej przyprostokątnej podpisano literą x.

Zauważmy, że:

$tg 32 ° = \frac{25}{y}$ , zatem $y \approx \frac{25}{0,6249} \approx 40,01 [m]$ ,

$tg 48 ° = \frac{25}{x}$ , $x \approx \frac{25}{1, 1106} \approx 22, 51 [m]$ .

Stąd: $|A B| = 17, 5 \approx 18 [m]$ .

Ćwiczenie 7

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest o $6$ dłuższa od dłuższej przyprostokątnej. Sinus mniejszego kąta ostrego tego trójkąta wynosi $\frac{8}{17}$ . Wyznacz obwód tego trójkąta.

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku.

RdS600uNXh9z4

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna ma długość y, a druga przyprostokątna ma długość x. Przeciwprostokątna ma długość x+6. Kąt pomiędzy przeciwprostokątną a przyprostokątną o długości x podpisano literą x.

Do wyznaczenia wartości $x$ wykorzystamy funkcję cosinus. Obliczmy $\cos α$ :

${(\frac{8}{17})}^{2} + \cos^{2} α = 1$ ,

$\cos^{2} α = \frac{225}{289}$ ,

$\cos α = \frac{15}{17}$ , bo $α$ jest kątem ostrym.

Zatem: $\frac{15}{17} = \frac{x}{x + 6}$ , stąd: $x = 45$ i $x + 6 = 51$ .

Z definicji sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym: $\frac{y}{51} = \frac{8}{17}$ , co daje $y = 24$ .

Ostatecznie obwód trójkąta wynosi: $L = 24 + 45 + 51 = 120$ .

Ćwiczenie 8

Dłuższa podstawa trapezu jest średnicą okręgu o promieniu $6$ , a krótsza – równoległą do niej cięciwą. Oblicz pole powstałego trapezu, jeżeli kąt ostry tego trapezu ma miarę $60 °$ .

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku.

R1PLnWhBoEcdY

Ilustracja przedstawia trapez A B C D wpisany w okrąg. Podstawa AB ma długość 12, podstawa DC ma długość a. Kąt DAB podpisano literą alfa. W trapezie zaznaczono jego przekątną BD oraz wysokość h. Odległość od spodka wysokości do wierzchołka A jest podpisana literą x.

Skoro $α = 60 °$ , to $\frac{h}{|A D|} = \sin 60 °$ i $\frac{x}{|A D|} = \cos 60 °$ .

Ponieważ $A B$ jest średnicą okręgu, to kąt $A D B$ jest prosty. Zatem: $\frac{|A D|}{12} = \cos 60 °$ , czyli: $|A D| = 6$ .

Stąd: $h = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}$ i $x = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ .

Obliczamy długość krótszej podstawy trapezu: $a = 12 - 3 - 3 = 6$ .

Ostatecznie pole trapezu wynosi: $P = \frac{6 + 12}{2} \cdot 3 \sqrt{3} = 27 \sqrt{3}$ .

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela