Zauważmy, że skoro $\left|\sphericalangle ADC\right|=50°$, to $\left|\sphericalangle BCD\right|=180°-50°=130°$ i co za tym idzie np. $\left|\sphericalangle DCA\right|=\frac{130°}{2}=65°$.

a) Wysokość rombu możemy obliczyć stosując wzór $h=a·\sin 50°$ lub $h=a·\cos 40°$.

b) $\frac{\left|AE\right|}{\left|DE\right|}=\mathrm{tg}50°$ lub $\frac{\left|AE\right|}{\left|DE\right|}=\mathrm{ctg}40°$.

c) $\frac{\left|CE\right|}{\left|AE\right|}=\mathrm{tg}25°$ lub $\frac{\left|CE\right|}{\left|AE\right|}=\mathrm{ctg}65°$.

d) $\frac{\frac{1}{2}\left|BD\right|}{\left|AB\right|}=\sin 65°$ lub $\frac{\frac{1}{2}\left|BD\right|}{\left|AB\right|}=\cos 25°$.

Należy zacząć od wyznaczenia wysokości z pola rombu, a następnie zastosować sinus kąta ostrego.

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku ($y$ – odległość punktu $A$ od podstawy masztu).

RB5EWSHpylUgS

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna ma długość y, a druga przyprostokątna ma długość 25 metrów. Wierzchołek łączący przeciwprostokątną i przyprostokątną o długości y podpisano literą A. Kąt przy wierzchołku A podpisano $\alpha =32°$. Z wierzchołka leżącego przy przeciwprostokątnej i przyprostokątnej o długości 25 metrów poprowadzono odcinek, do punktu B leżącego na przyprostokątnej o długości y. Kąt ostry przy tym punkcie ma miarę $\beta =48°$. Odległość od punktu B do drugiej przyprostokątnej podpisano literą x.

Zauważmy, że:

$\mathrm{tg} 32°=\frac{25}{y}$, zatem $y\approx \frac{25}{\mathrm{0,6249}}\approx \mathrm{40,01}\mathrm{ }\left[\mathrm{m}\right]$,

$\mathrm{tg} 48°=\frac{25}{x}$, $x\approx \frac{25}{1,1106}\approx 22,51 \left[\mathrm{m}\right]$.

Stąd: $\left|AB\right|=17,5\approx 18\mathrm{ }\left[\mathrm{m}\right]$.

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku.

RdS600uNXh9z4

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna ma długość y, a druga przyprostokątna ma długość x. Przeciwprostokątna ma długość $x+6$. Kąt pomiędzy przeciwprostokątną a przyprostokątną o długości x podpisano literą x.

Do wyznaczenia wartości $x$ wykorzystamy funkcję cosinus. Obliczmy $\cos \alpha$:

${\left(\frac{8}{17}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$,

${\cos }^2\alpha =\frac{225}{289}$,

$\cos \alpha =\frac{15}{17}$, bo $\alpha$ jest kątem ostrym.

Zatem: $\frac{15}{17} =\frac{x}{x+6}$, stąd: $x=45$ i $x+6=51$.

Z definicji sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym: $\frac{y}{51}=\frac{8}{17}$, co daje $y=24$.

Ostatecznie obwód trójkąta wynosi: $L=24+45+51=120$.

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku.

R1PLnWhBoEcdY

Ilustracja przedstawia trapez A B C D wpisany w okrąg. Podstawa AB ma długość 12, podstawa DC ma długość a. Kąt DAB podpisano literą alfa. W trapezie zaznaczono jego przekątną BD oraz wysokość h. Odległość od spodka wysokości do wierzchołka A jest podpisana literą x.

Skoro $\alpha =60°$, to $\frac{h}{\left|AD\right|}=\sin 60°$ i  $\frac{x}{\left|AD\right|}=\cos 60°$.

Ponieważ $AB$ jest średnicą okręgu, to kąt $ADB$ jest prosty. Zatem: $\frac{\left|AD\right|}{12}=\cos 60°$, czyli: $\left|AD\right|=6$.

Stąd: $h=6·\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ i $x=6·\frac{1}{2}=3$.

Obliczamy długość krótszej podstawy trapezu: $a=12-3-3=6$.

Ostatecznie pole trapezu wynosi: $P=\frac{6+12}{2}·3\sqrt{3}=27\sqrt{3}$.