Slajd pierwszy przedstawia definicję pierwszą funkcji różnowartościowej. Funkcja liczbowa $f: X\to Y$ jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości to znaczy, że dla dowolnych $x_1$, $x_2$ z warunku $x_1\ne x_2$ wynika warunek $f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$. Slajd drugi przedstawia przykład pierwszy. Funkcja $f$ jest opisana za pomocą wykresu znajdującego się na płaszczyźnie układu współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech i pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Wykres przypomina kształt tangensoidy, rozpoczyna się w trzeciej ćwiartce, następnie przecina oś $X$ i biegnie do punktu początek nawiasu, 0, 2, zamknięcie nawiasu, w tym miejscu występuje przegięcie wykresu i biegnie on dalej przez pierwszą ćwiartkę aż poza płaszczyznę układu współrzędnych. Wykres jest podpisany $y=f\left(x_1\right)$. Sprawdźmy, czy funkcja jest funkcją różnowartościową. Slajd trzeci zawiera kontynuację przykładu pierwszego. Na rysunku przedstawiony jest fragment funkcji $f$, w związku z tym rozważania dotyczące różnowartościowości funkcji $f$ ograniczymy tylko do tej części wykresu. Szkicujemy proste równoległe do osi x i sprawdzamy, ile punktów wspólnych ma każda prosta z wykresem funkcji. Zatem na płaszczyźnie układu współrzędnych z poziomą osią x od minus czterech do czterech i pionową osią y od minus czterech do czterech znajduje się wykres, którego kształt przypomina kształt tangensoidy, rozpoczyna się on w trzeciej ćwiartce, następnie przecina oś x i biegnie do punktu początek nawiasu, 0, 2, zamknięcie nawiasu, w tym miejscu występuje przegięcie wykresu i biegnie on dalej przez pierwszą ćwiartkę aż poza płaszczyznę układu współrzędnych. Dodatkowo na płaszczyźnie zaznaczone zostały dwie proste: pierwsza o równaniu $x=1$, a druga o równaniu $x=-3$. Każda prosta przecina się z wykresem w jednym punkcie. Punkty przecięcia się prostych z wykresem zostały zaznaczone zamalowanymi kropkami. W związku z tym, że każda prosta równoległa do osi x ma tylko jeden punkt wspólny z wykresem funkcji to możemy stwierdzić, że funkcja $f$ jest funkcją różnowartościową. Slajd czwarty przedstawia przykład drugi. Funkcja $f$ jest opisana za pomocą wykresu znajdującego się na płaszczyźnie układu współrzędnych z poziomą osią x od minus czterech do czterech i pionową osią y od minus czterech do czterech. Wykres ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie początek nawiasu, 0, minus 4, zamknięcie nawiasu. Wykażemy, że funkcja $f$ nie jest funkcją różnowartościową. Slajd piąty przedstawia kontynuację przykładu drugiego. Aby wykazać, ze funkcja nie jest funkcją różnowartościową wystarczy wskazać dwa różne argumenty dla których funkcja przyjmuje taką samą wartość. W przypadku wykresu funkcji wystarczy naszkicować jedną prostą równoległą a do osi x, która przecina wykres funkcji w więcej niż jednym punkcie. Na przykład prosta y, równa się, cztery ma dwa punkty wspólne z wykresem funkcji są to punkty o współrzędnych: początek nawiasu, minus 2, 4, zamknięcie nawiasu i początek nawiasu, 2, 4, zamknięcie nawiasu. Zatem funkcja $f$ nie jest funkcją różnowartościową. Rozwiązanie na płaszczyźnie układu współrzędnych z poziomą osią x od minus czterech do czterech i pionową osią y od minus czterech do czterech jest wykres, który ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie początek nawiasu, 0, minus 4, zamknięcie nawiasu. Dodatkowo na płaszczyźnie znajduje się prosta o równaniu y, równa się, cztery. Prosta ma dwa punkty wspólne z wykresem, które zostały zaznaczone za pomocą zamalowanych kropek. Slajd szósty przedstawia przykład trzeci. Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x, plus, cztery, gdy x, należy do, liczby rzeczywiste. Korzystając z definicji pierwszej, udowodnimy, że funkcja $f$ jest funkcją różnowartościową. Slajd siódmy zawiera kontynuację przykładu trzeciego. Zapisujemy, założenie, tezę i przeprowadzamy dowód. Nasze założenie brzmi: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x, plus, cztery, D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego należy do, liczby rzeczywiste oraz x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego jest różne od x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Teza jest następująca: f nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest różne od f nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Dowód: Wygodniej jest obliczyć różnicę wartości funkcji $f$ dla argumentów x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. f nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, minus, f nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, minus, dwa x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, minus, nawias, minus, dwa x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, cztery, plus, dwa x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, minus, cztery, równa się, minus, dwa x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, dwa x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa nawias ostry x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu Z założenia wiadomo, że x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego jest różne od x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, czyli x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego jest różne od zera. Zatem minus, dwa nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest różne od zera. Stąd f nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, minus, f nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest różne od zera, czyli f nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest różne od f nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego są dowolnymi liczbami, że zbioru liczb rzeczywistych. Zatem funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x, plus, cztery, gdy x, należy do, liczby rzeczywiste jest funkcją różnowartościową, co należało dowieść. Slajd ósmy zawiera definicję drugą funkcji różnowartościowej równoważną definicji pierwszej. Funkcja liczbowa f: X, strzałka, Y jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy z równości wartości tej funkcji wynika równość argumentów, to znaczy, że dla dwóch dowolnych argumentów x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego z równości f nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu wynika równość x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Slajd dziewiąty przedstawia przykład czwarty. Korzystając z definicji drugiej wykażemy, że funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery, minus, początek ułamka, x, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, przecinek, gdy x, należy do, liczby rzeczywiste różnica nawias klamrowy, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego jest funkcją różnowartościową. Slajd dziesiąty zawiera kontynuację przykładu czwartego. Zapisujemy założenie, tezę i przeprowadzamy dowód. Założenie jest następujące: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery, minus, początek ułamka, x, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, przecinek, D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste różnica nawias klamrowy, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego należy do, D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, f nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu Teza brzmi: x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego Slajd jedenasty również zawiera kontynuację przykładu czwartego. Znajduje się tutaj dowód. Z założenia wiadomo, że x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego należy do, D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego oraz f nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu Zatem cztery, minus, początek ułamka, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, cztery, minus, początek ułamka, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, mianownik, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, koniec ułamka Stąd minus, początek ułamka, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, mianownik, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, koniec ułamka, czyli początek ułamka, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, mianownik, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, koniec ułamka, po zlikwidowaniu ułamków otrzymujemy x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, po wymnożeniu nawiasów mamy x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego i statecznie x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnegosą dowolnymi liczbami należącymi do dziedziny funkcji $f$ Zatem funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery, minus, początek ułamka, x, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, przecinek, gdy x, należy do, liczby rzeczywiste różnica nawias klamrowy, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego jest funkcją różnowartościową, co należało udowodnić.