Funkcja liczbowa jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom przyporządkowane są różne wartości, to znaczy, że dla dowolnych argumentów , z warunku wynika warunek
Definicję funkcji różnowartościowej możemy również zapisać krócej.
Funkcja liczbowa jest funkcją różnowartościową
Zwrot „dla każdego ” nazywa się kwantyfikatorem ogólnym, kwantyfikatorem dużym lub kwantyfikatorem uniwersalnym wiążącym zmienną . Kwantyfikator ogólny oznaczamy symbolem .
Jeżeli funkcja jest opisana za pomocą wykresu, to aby ustalić, czy funkcja jest różnowartościowa, czy nie jest różnowartościowa, wystarczy poprowadzić proste równoległe do osi i sprawdzić ile punktów wspólnych mają te proste z wykresem funkcji.
Poniższy przykład pokaże nam sposób sprawdzania różnowartościowości funkcji opisanej za pomocą wykresu.
Przykład 1
Funkcja opisana jest za pomocą wykresu.
R1PFPrW4hJorR
RqH9MHneVm09B
Sprawdzimy, który z wykresów opisuje funkcję różnowartościową.
Rozwiązanie:
Naszkicujmy kilka prostych równoległych do osi i sprawdźmy, czy są proste, które mają więcej niż jeden punkt wspólny z wykresem funkcji . Np. prosta ma trzy punkty wspólne z wykresem funkcji . Funkcja nie jest funkcją różnowartościową.
R13UHxxjGX8W3
Naszkicujmy kilka prostych równoległych do osi i sprawdźmy, czy są proste, które mają więcej niż jeden punkt wspólny z wykresem funkcji . Proste na rysunku mają po jednym punkcie wspólnym z wykresem funkcji. Gdybyśmy narysowali nieskończenie wiele takich prostych, to okazało by się, że każda prosta równoległa do osi ma nie więcej niż jeden punkt wspólny z wykresem funkcji . Funkcja jest funkcją różnowartościowąfunkcja różnowartościowafunkcją różnowartościową.
R1ZpCnQhVpfd7
Przykład 2
Funkcja opisana jest za pomocą tabelki.
Funkcja
Wykażemy, że funkcja nie jest funkcją różnowartościową.
Rozwiązanie:
Aby wykazać, że funkcja , opisana za pomocą tabelki, nie jest funkcją różnowartościową wystarczy przeanalizować zbiór wartości tej funkcji.
Wartość przyjmuje funkcja dla dwóch argumentów. Są nimi liczby i .
Wartość przyjmuje funkcja dla dwóch argumentów. Są nimi liczby i .
Wartość przyjmuje funkcja dla dwóch argumentów. Są nimi liczby i .
Zatem funkcja nie jest funkcją różnowartościową.
Przykład 3
Funkcja opisana jest za pomocą wzoru.
, gdy
Udowodnimy, że funkcja jest funkcją różnowartościową.
Rozwiązanie:
Założenie: , , , ,
Teza:
Dowód:
Obliczymy różnicę wartości funkcji dla argumentów i .
Z założenia wiadomo, że:
zatem
wyrażenie
zatem
czyli , stąd .
Ponieważ i są dowolnymi liczbami ze zbioru udowodniliśmy więc, że funkcja , gdy jest funkcją różnowartościową.
W dowodzeniu różnowartościowości funkcji liczbowej wygodnie jest stosować poniższą definicję. Jest ona równoważna definicji przedstawionej na początku lekcji.
funkcji różnowartościowej
Definicja: funkcji różnowartościowej
Funkcja liczbowa jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy z równości wartości tej funkcji wynika równość argumentów, to znaczy, że dla dowolnych argumentów , z równości wynika równość .
Definicję powyższą możemy zapisać krócej.
Funkcja liczbowa jest funkcją różnowartościową
W poniższych przykładach pokażemy zastosowanie tej definicji w dowodzeniu różnowartościowości funkcji liczbowej.
Przykład 4
Funkcja opisana jest za pomocą wzoru.
, gdy .
Wykażemy, że funkcja jest funkcją różnowartościową.
Rozwiązanie:
Założenie: , , , ,
Teza:
Dowód:
Z założenia wiemy, że , i , zatem
stąd
Po obu stronach równości mnożymy przez siebie sumy algebraiczne.
Po wykonaniu redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy:
, – są dowolnymi liczbami należącymi do dziedziny funkcji , więc funkcja , gdy , jest funkcją różnowartościowąfunkcja różnowartościowafunkcją różnowartościową.
Przykład 5
Funkcja opisana jest za pomocą wzoru
, gdy .
Wykażemy, że funkcja jest funkcją różnowartościową.
Rozwiązanie:
Założenie: , , , ,
Teza:
Dowód:
Z założenia wiemy, że , i , zatem
Z własności pierwiastkowania otrzymujemy:
, – są dowolnymi liczbami należącymi do dziedziny funkcji , więc funkcja , gdy , jest funkcją różnowartościową.
Aby udowodnić, że funkcja nie jest różnowartościową, wystarczy pokazać dwa różne argumenty, dla których funkcja przyjmuje tę samą wartość.
Przykład 6
Funkcja opisana jest za pomocą wzoru
, gdy .
Wykażemy, że funkcja nie jest funkcją różnowartościową.
Rozwiązanie:
Obliczmy wartość funkcji dla dwóch wybranych argumentów, np. i .
Pokazaliśmy więc, że funkcja przyjmuje taką samą wartość dla dwóch różnych argumentów.
Zatem funkcja , gdy nie jest funkcją różnowartościową.
Wszystkie funkcje rosnące i wszystkie funkcje malejące są funkcjami różnowartościowymi. Wystarczy przeanalizować definicję funkcji rosnącej i definicję funkcji malejącej. Sprawdzimy, czy każda funkcja różnowartościowa jest funkcją monotoniczną.
Przykład 7
Poniższe rysunki przedstawiają wykresy funkcji, które są różnowartościowe i nie są monotoniczne.
RFa118Vz0hhzk
RKBhOoL1zV6Hm
Ważne!
Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą wykresu, to możemy sprawdzić, czy jest różnowartościowa, szkicując proste równoległe do osi i określając ile punktów wspólnych ma dana prosta z wykresem funkcji. Funkcja różnowartościowafunkcja różnowartościowaFunkcja różnowartościowa ma z każdą z prostych równoległych do osi co najwyżej jeden punkt wspólny.
Jeżeli funkcja jest opisana za pomocą wzoru, to sprawdzamy jej różnowartościowość korzystając z definicji.
Każda funkcja rosnąca/malejąca jest funkcją różnowartościową, ale nie każda funkcja różnowartościowa jest funkcją monotoniczną.
Słownik
funkcja różnowartościowa
funkcja różnowartościowa
funkcja liczbowa, która każdą swoją wartość przyjmuje tylko jeden raz