Funkcja liczbowa $f:X\to Y$ jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom przyporządkowane są  różne wartości, to znaczy, że dla dowolnych argumentów $x_1$, $x_2$ z warunku $x_1\ne x_2$ wynika warunek

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

1. R1PFPrW4hJorR

   Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do sześciu i pionową osią y od minus dwóch do trzynastu. Na płaszczyźnie znajduje się wykres przypominający kształtem sinusoidę. Wykres zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu skąd przecinając oś x w punkcie początek nawiasu, minus 3, 0, zamknięcie nawiasu biegnie do pierwszego wierzchołka znajdującego się w drugiej ćwiartce. Dalej wykres biegnie do drugiego wierzchołka znajdującego się w czwartej ćwiartce, po drodze przecinając oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 6, zamknięcie nawiasu oraz oś x w punkcie początek nawiasu, 1, 0, zamknięcie nawiasu. Następnie wykres przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu i wybiega poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres jest podpisany $y=f\left(x\right)$.

   

2. RqH9MHneVm09B

   Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus ośmiu do czterech i pionową osią y od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie znajduje się wykres o kształcie hiperboli. Jedna z części hiperboli znajduje się w całości w ćwiartce drugiej, natomiast druga jej część przechodzi przez pierwszą, czwartą oraz trzecią ćwiartkę przecinając oś x w punkcie początek nawiasu, 1, 0, zamknięcie nawiasu oraz oś y w okolicach punktu początek nawiasu, 0, minus 0,5, zamknięcie nawiasu. Wykres jest podpisany $y=f\left(x\right)$.

   

Sprawdzimy, który z wykresów opisuje funkcję różnowartościową.

Rozwiązanie:

1. Naszkicujmy kilka prostych równoległych do osi $X$ i sprawdźmy, czy są proste, które mają więcej niż jeden punkt wspólny z wykresem funkcji $f$.
   Np. prosta $y=5$ ma trzy punkty wspólne z wykresem funkcji $f$.
   Funkcja $f$ nie jest funkcją różnowartościową.

   R13UHxxjGX8W3

   Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do sześciu i pionową osią y od minus dwóch do trzynastu. Na płaszczyźnie znajduje się wykres przypominający kształtem sinusoidę. Wykres zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu skąd przecinając oś x w punkcie początek nawiasu, minus 3, 0, zamknięcie nawiasu biegnie do pierwszego wierzchołka znajdującego się w drugiej ćwiartce. Dalej wykres biegnie do drugiego wierzchołka znajdującego się w czwartej ćwiartce, po drodze przecinając oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 6, zamknięcie nawiasu oraz oś x w punkcie początek nawiasu, 1, 0, zamknięcie nawiasu. Następnie wykres przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu i wybiega poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres jest podpisany $y=f\left(x\right)$. Dodatkowo na płaszczyźnie linią przerywaną zaznaczone zostały cztery poziome proste. Pierwsza z nich przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 11,5, zamknięcie nawiasu, druga przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 5, zamknięcie nawiasu, trzecia przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 2, zamknięcie nawiasu oraz czwarta przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu. Trzy punkty przecięcia się drugiej prostej z wykresem znajdującym się na płaszczyźnie zostały zaznaczone zamalowanymi kropkami.

   

2. Naszkicujmy kilka prostych równoległych do osi $X$ i sprawdźmy, czy są proste, które mają więcej niż jeden punkt wspólny z wykresem funkcji $f$.
   Proste na rysunku  mają po jednym punkcie wspólnym z wykresem funkcji. Gdybyśmy narysowali nieskończenie wiele takich prostych, to okazało by się, że  każda prosta równoległa do osi $X$ ma nie więcej niż  jeden punkt wspólny z wykresem funkcji $f$.
   Funkcja $f$ jest funkcją różnowartościowąfunkcja różnowartościowafunkcją różnowartościową.

   R1ZpCnQhVpfd7

   Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus ośmiu do czterech i pionową osią y od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie znajduje się wykres o kształcie hiperboli. Jedna z części hiperboli znajduje się w całości w ćwiartce drugiej, natomiast druga jej część przechodzi przez pierwszą, czwartą oraz trzecią ćwiartkę przecinając oś x w punkcie początek nawiasu, 1, 0, zamknięcie nawiasu oraz oś y w okolicach punktu początek nawiasu, 0, minus 0,5, zamknięcie nawiasu. Wykres jest podpisany $y=f\left(x\right)$. Dodatkowo na płaszczyźnie linią przerywaną zaznaczone zostały cztery poziome proste. Pierwsza z nich przecina oś y blisko punktu początek nawiasu, 0, 5, zamknięcie nawiasu, druga przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 2,5, zamknięcie nawiasu, trzecia przecina oś y blisko punktu początek nawiasu, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu oraz czwarta przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, minus 4, zamknięcie nawiasu.

   

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

Wykażemy, że funkcja $f$ nie jest funkcją różnowartościową.

Rozwiązanie:

Aby wykazać, że funkcja $f$, opisana za pomocą tabelki, nie jest funkcją różnowartościową wystarczy przeanalizować zbiór wartości tej funkcji.

Wartość $0$ przyjmuje funkcja dla dwóch argumentów. Są nimi liczby $\left(-3\right)$ i $2$.

Wartość $1$ przyjmuje funkcja dla dwóch argumentów. Są nimi liczby $0$ i $3$.

Wartość $2$ przyjmuje funkcja dla dwóch argumentów. Są nimi liczby $\left(-1\right)$ i $5$.

Zatem funkcja $f$ nie jest funkcją różnowartościową.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=-x^3+2$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$

Udowodnimy, że funkcja $f$ jest funkcją różnowartościową.

Rozwiązanie:

Założenie: $f\left(x\right)=-x^3+2$, $D_f=\mathrm{ℝ}$, $x_1$, $x_2\in \mathrm{ℝ}$, $x_1\ne x_2$

Teza: $f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$

Dowód:

Obliczymy różnicę wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$ i $x_2$.

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\left(-{x_1}^3+2\right)-\left(-{x_2}^3+2\right)=$

$=-{x_1}^3+2+{x_2}^3-2=-\left({x_1}^3-{x_2}^3\right)=$

$=-\left(x_1-x_2\right)\left({x_1}^2+x_1{x}_2+{x_2}^2\right)$

Z założenia wiadomo, że:

• $x_1\ne x_2$ zatem $x_1-x_2\ne 0$

• wyrażenie $\left({x_1}^2+x_1{x}_2+{x_2}^2\right)\ne 0$

zatem $\left(x_1-x_2\right)\left({x_1}^2+x_1{x}_2+{x_2}^2\right)\ne 0$

czyli $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\ne 0$, stąd $f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$.

Ponieważ $x_1$ i $x_2$ są dowolnymi liczbami ze zbioru $\mathrm{ℝ}$ udowodniliśmy więc, że funkcja $f\left(x\right)=-x^3+2$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$ jest funkcją różnowartościową.

Funkcja liczbowa $f:X\to Y$ jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy z równości wartości tej funkcji wynika równość argumentów, to znaczy, że dla dowolnych argumentów $x_1$, $x_2$ z równości $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ wynika równość $x_1=x_2$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\frac{x+5}{x-4}$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{4\right\}$.

Wykażemy, że funkcja $f$ jest funkcją różnowartościową.

Rozwiązanie:

Założenie: $f\left(x\right)=\frac{x+5}{x-4}$, $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{4\right\}$, $x_1$, $x_2\in D_f$, $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$

Teza: $x_1=x_2$

Dowód:

Z założenia wiemy, że $x_1$, $x_2\in D_f$ i $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$, zatem

$\frac{x_1+5}{x_1-4}=\frac{x_2+5}{x_2-4}$

stąd

$\left(x_1+5\right)\left(x_2-4\right)=\left(x_2+5\right)\left(x_1-4\right)$

Po obu stronach równości mnożymy przez siebie sumy algebraiczne.

$x_1{x}_2+5x_2-4x_1-20=x_1{x}_2+5x_1-4x_2-20$

Po wykonaniu redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy:

$-4x_1-5x_1=-4x_2-5x_2$

$-9x_1=-9x_2 |:\left(-9\right)$

$x_1=x_2$

$x_1$, $x_2$ – są dowolnymi liczbami należącymi do dziedziny funkcji $f$, więc funkcja $f\left(x\right)=\frac{x+5}{x-4}$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{4\right\}$, jest funkcją różnowartościowąfunkcja różnowartościowafunkcją różnowartościową.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru

$f\left(x\right)=3\sqrt{x-2}$, gdy $x\in \left.⟨2, \infty \right)$.

Wykażemy, że funkcja $f$ jest funkcją różnowartościową.

Rozwiązanie:

Założenie: $f\left(x\right)=3\sqrt{x-2}$, $D_f=\left.⟨2, \infty \right)$, $x_1$, $x_2\in D_f$, $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$

Teza: $x_1=x_2$

Dowód:

Z założenia wiemy, że $x_1$, $x_2\in D_f$ i $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$, zatem

$3\sqrt{x_1-2}=3\sqrt{x_2-2} |:3$

$\sqrt{x_1-2}=\sqrt{x_2-2}$

Z własności pierwiastkowania otrzymujemy:

$x_1-2=x_2-2$

$x_1=x_2$

$x_1$, $x_2$ – są dowolnymi liczbami należącymi do dziedziny funkcji $f$, więc funkcja $f\left(x\right)=3\sqrt{x-2}$, gdy $x\in \left.⟨2, \infty \right)$, jest funkcją różnowartościową.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru

$f\left(x\right)=-5x^2$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

Wykażemy, że funkcja $f$ nie jest funkcją różnowartościową.

Rozwiązanie:

Obliczmy wartość funkcji $f$ dla dwóch wybranych  argumentów, np. $\left(-2\right)$ i $2$.

$f\left(-2\right)=-5·{\left(-2\right)}^2=-5·4=-20$

$f\left(2\right)=-5·2^2=-5·4=-20$

$f\left(-2\right)=f\left(2\right)$

Pokazaliśmy więc, że funkcja $f$ przyjmuje taką samą wartość dla dwóch różnych argumentów.

Zatem funkcja $f\left(x\right)=-5x^2$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$ nie jest funkcją różnowartościową.

Poniższe rysunki przedstawiają wykresy funkcji, które są różnowartościowe i nie są monotoniczne.

1. RFa118Vz0hhzk

   Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do sześciu pionową osią y od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie znajduje się wykres składający się z dziewięciu punktów zaznaczonych zamalowanymi kropkami, o następujących współrzędnych: początek nawiasu, minus 4 , 1, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 3, 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 0, minus 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 1, 3, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 2, 4, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 3, 5, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 4, 6, zamknięcie nawiasu. Wykres jest podpisany $y=f\left(x\right)$. Dodatkowo na płaszczyźnie linią przerywaną zaznaczone zostały cztery poziome proste. Pierwsza z nich przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 5, zamknięcie nawiasu, druga przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 2, zamknięcie nawiasu, trzecia przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 1, zamknięcie nawiasu oraz czwarta przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu.

   

2. RKBhOoL1zV6Hm

   Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do sześciu i pionową osią y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie znajduje się wykres o składający się z dwóch części. Pierwsza z części zaczyna się w punkcie początek nawiasu, minus 5, 0, zamknięcie nawiasu, który jest zaznaczony zamalowaną kropką. Z tego punktu biegnie ukośna linia prosta to punktu początek nawiasu, 0, 3, zamknięcie nawiasu, który również jest zaznaczony zamalowaną kropką. Druga część wykresu zaczyna się w punkcie początek nawiasu, 1, minus 1, zamknięcie nawiasu, który jest zaznaczony zamalowaną kropką i biegnie ukośną linią prostą do punktu początek nawiasu, 4, minus 2, zamknięcie nawiasu, który również jest zaznaczony zamalowaną kropką. Wykres jest podpisany $y=f\left(x\right)$. Dodatkowo na płaszczyźnie linią przerywaną zaznaczone zostały cztery poziome proste. Pierwsza z nich przecina oś y blisko punktu początek nawiasu, 0, 3, zamknięcie nawiasu, druga przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 1, zamknięcie nawiasu, trzecia przecina oś y blisko punktu początek nawiasu, 0, 0,5, zamknięcie nawiasu oraz czwarta przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu.

   

funkcja liczbowa, która każdą swoją wartość przyjmuje tylko jeden raz