Prezentacja multimedialna

Dzielenie wielomianów, które pokazaliśmy, nie jest jedynym sposobem, w jaki można wykonać to działanie, ale jest jedynym uniwersalnym. Drugim sposobem dzielenia wielomianów jest schemat Hornera. Niestety, możemy go używać jedynie wtedy, gdy dzielimy wielomian w uporządkowanej formie przez dwumian liniowy postaci $(x + a)$ lub $(x - a)$ , gdzie $a$ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Prezentacja multimedialna zawarta w Poleceniu $1$ wyjaśni jego sposób działania.

Polecenie 1

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną, która dotyczy schematu Hornera. Na jej podstawie rozwiąż polecenia $2$ i $3$ .

R2K6JI9ikEFBO

Wykonamy dzielnie $(- 8 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 5) : (x - 1)$ , używając schematu Hornera. Na początku budujemy tabelę. W pierwszym wierszu wpisujemy wszystkie kolejne współczynniki uporządkowanego wielomianu. To są $(- 8)$ , $(- 3)$ , $6$ i $5$ . Środkowy wiersz zostawiamy na obliczenia wykonywane w trakcie korzystania ze schematu Hornera. W lewym dolnym rogu tabeli wpisujemy liczbę, która zeruje dwumian liniowy $x - 1$ . W naszym przypadku to liczba $1$ .

	$- 8$	$- 3$	$6$	$5$
Działania
$1 \cdot$

Przepisujemy pierwszy współczynnik, czyli liczbę $(- 8)$ , bez zmian do dolnego wiersza.

	$- 8$	$- 3$	$6$	$5$
Działania
$1 \cdot$	$- 8$

Liczbę $(- 8)$ mnożymy przez liczbę $1$ , a następnie odejmujemy liczbę $3$ . Otrzymujemy wówczas $(- 11)$ .

	$- 8$	$- 3$	$6$	$5$
Działania		$1 \cdot (-8) -3= -11$
$1 \cdot$	$- 8$

Wynik $(- 11)$ wpisujemy do kolejnej komórki dolnego wiersza w schemacie Hornera.

	$- 8$	$- 3$	$6$	$5$
Działania		$1 \cdot (-8) -3= -11$
$1 \cdot$	$- 8$	$- 11$

Wykonujemy podobne obliczenia jak w poprzednim kroku. Liczbę $(- 11)$ mnożymy przez liczbę $1$ , następnie dodajemy liczbę $6$ .

	$- 8$	$- 3$	$6$	$5$
Działania		$1 \cdot (-8) -3= -11$	$1 \cdot (-11) +6= -5$
$1 \cdot$	$- 8$	$- 11$

Wynik, czyli liczbę $(- 5)$ , wpisujemy do dolnego wiersza.

	$- 8$	$- 3$	$6$	$5$
Działania		$1 \cdot (-8) -3= -11$	$1 \cdot (-11) +6= -5$
$1 \cdot$	$- 8$	$- 11$	$- 5$

Analogicznie jak w poprzednich krokach, liczbę $(- 5)$ mnożymy przez liczbę $1$ . Następnie dodajemy liczbę $5$ , która jest kolejnym współczynnikiem wielomianu.

	$- 8$	$- 3$	$6$	$5$
Działania		$1 \cdot (-8) -3= -11$	$1 \cdot (-11) +6= -5$	$1 \cdot (-5) +5= 0$
$1 \cdot$	$- 8$	$- 11$	$- 5$

Wynik równy $0$ wpisujemy do dolnego wiersza. Oznacza to, że udało nam się podzielić wielomian bez reszty.

	$- 8$	$- 3$	$6$	$5$
Działania		$1 \cdot (-8) -3= -11$	$1 \cdot (-11) +6= -5$	$1 \cdot (-5) +5= 0$
$1 \cdot$	$- 8$	$- 11$	$- 5$	$0$

Otrzymujemy całą uzupełnioną tabelę ilustrującą schemat Hornera. Liczby otrzymane w dolnym wierszu tabeli są kolejnymi współczynnikami wielomianu stopnia o jeden mniejszego niż dzielony wielomian.

Wynika stąd, że wynikiem dzielenia wielomianu $- 8 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 5$ przez dwumian liniowy $x - 1$ jest iloraz $- 8 x^{2} - 11 x^{} - 5$ .

Polecenie 2

R1RppDsnd1Ofm

R72EzUjEp2pRO

Polecenie 3

Wykonaj dzielenie, używając schematu Hornera: $(- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 25 x^{} - 25) : (x - 5)$ . Określ stopień otrzymanego ilorazu.

RoAZb2Oy2P8JD

Pojawia się tabela. W pierwszym wierszu posiada ona cztery kolumny. Wpisujemy liczby od lewej do prawej. Minus dwa, sześć, 25 oraz minus dwadzieścia pięć. W drugim wierszu zapisujemy wyniki mnożenia. Składa się on z trzech kolumn. Pod cyfrą 6 z pierwszego wiersza w drugim wierszu znajduję się minus 10, kolejno minus 20 oraz dwadzieścia pięć. W trzecim wierszu pojawiają się liczby zerujące dwumian. Pojawia się pięć kolumn. Pierwsza z cyfrą pięć, druga z cyfrą minus dwa, kolejno minus 4 pięć oraz zero.

	$- 2$	$6$	$25$	$- 25$
Wyniki mnożenia		$-10$	$-20$	$25$
$\text{Liczba zerująca dwumian}: 5$	$- 2$	$-4$	$5$	$0$

Ze schematu odczytujemy iloraz $- 2 x^{2} - 4 x + 5$ , a więc wielomian $W (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 25 x^{} - 25$ możemy zapisać jako:

$W (x) = (- 2 x^{2} - 4 x + 5) (x - 5)$ .

Iloraz jest stopnia drugiego.

Polecenie 4

Podziel wielomian $W (x) = x^{3} - 5 x - 2$ przez dwumian liniowy $P (x) = x + 1$ . Spróbuj to zrobić więcej niż jednym sposobem. Swoje rozwiązanie porównaj z przedstawionym w samouczku.

Przeczytaj

Sprawdź się