Zadanie pierwsze
W pięciokącie foremnym $ABCDE$ poprowadzono przekątne $AC$ i $EC$. Wyznacz miary kątów ostrych $BCA$ oraz $ACE$ oraz $ECD$. Polecenie zilustrowano rysunkiem pięciokąta foremnego. Środek figury oznaczono punktem $O$.
Rozwiązanie
Naszym zadaniem jest znaleźć miary kątów $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ przestawionych na rysunku. Rysunek przedstawia pięciokąt foremny $ABCDE$. W środku figury zaznaczono punkt $O$. Narysowano przekątne $CE$ oraz $AC$. Zaznaczono trzy kąty: $DCE$ to kąt $\alpha$, kąt $ECA$ to kąt $\beta$ oraz kąt $ACB$ to kąt $\gamma$. Opiszmy okrąg na danym pięciokącie foremnym. Wówczas kąty $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ są kątami równymi. Są to bowiem kąty wpisane, z których każdy oparty jest na piątej części okręgu. Na rysunku pokazano, że kąt $\alpha$, kąt $DCE$ oparty jest na łuku $DE$, kąt $\beta$, czyli kąt $ECA$ oparty jest na łuku $EA$ oraz kąt $\gamma$, czyli kąt $ACB$ oparty jest na łuku $AB$. Ponieważ kąt środkowy oparty na piątej części okręgu ma miarę $\frac{360°}{15}=72°$, więc na mocy twierdzenia o kącie wpisanym i kącie otrzymujemy: $\alpha =\beta =\gamma =\frac{72°}{2}=36°$.
Ilustracja przedstawia pary kątów: para zielona to kąt wpisany $\alpha$, czyli kąt $DCE$ oraz kąt środkowy opisany na tym samym łuku, czyli kąt $DOE$ o mierze $72$ stopni, para kątów pomarańczowych to kąt wpisany $\beta$, czyli kąt $ECA$ oraz kąt środkowy opisany na tym samym łuku, czyli kąt $EOA$ o mierze $72$ stopni, para kątów niebieskich to kąt wpisany $\gamma$, czyli kąt $ACB$ oraz kąt środkowy opisany na tym samym łuku, czyli kąt $AOB$ o mierze $72$ stopni.
Odpowiedź: Miara każdego z kątów $ACB$, kąta $ACE$ oraz $ECD$ jest równa $36$ stopni.

Zadanie drugie
Punkty $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ leżą w tej kolejności na okręgu przy czym punkty $A$, $B$, $D$, $F$ są wierzchołkami kwadratu, natomiast punkty $A$, $C$, $E$ są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Oblicz miarę kąta $BEC$.
Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie $O$. Na górnym biegunie okręgu zaznaczono punkt $A$. Na dolnym półokręgu zaznaczono w równych odległościach punkty od $B$ do $F$ w taki sposób, że punkt $D$ leży naprzeciwko punktu $A$. W okręgu linią przerywaną poprowadzono kilka cięciw. Cztery z nich utworzyły kwadrat $ABDF$. Kolejne cięciwy to $AC$ oraz $AE$. Kolorem wyróżniono kąt wpisany $BEC$.
Rozwiązanie:
Krótszy łuk $AC$ jest trzecią częścią danego okręgu, a krótszy łuk $AB$ jest jego czwartą częścią. Zatem kąt wpisany $BEC$ jest oparty na łuku, który stanowi jedną dwunastą okręgu.
Odpowiedź: Miara kąta $BEC$ jest równa $\frac{1}{12}·180°=15°$.

Zadanie trzecie
Kąt wpisany oparty na łuku $ABC$ ma miarę 70 stopni. Ile wynosi miara kąta opartego na łuku $ADC$?
Rozwiązanie:
Kąt środkowy oparty na pomarańczowym łuku ma miarę $140$ stopni na mocy twierdzenia o kącie wpisanym i kącie środkowym opartym na tym samym łuku. Wobec tego miara kąta środkowego opartego na łuku $ADC$ jest równa $220$ stopni, ponieważ razem z kątem $140$ stopni tworzą tworzą kąt pełny. Kąt wpisany oparty na łuku $ADC$ ma więc miarę $110$ stopni.
Odpowiedź: Kąt wpisany oparty na łuku zielonym ma miarę $110$ stopni.